2009年北京市高考数学试卷（理科）

2009年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）)1.在复平面内，复数＝ሺͳ对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知向量ሺ量，ሺ量，ͳሺ，，如果，那么（）A.且与同向B.且与反向C.且与同向D.且与反向ͳ䁌3.为了得到函数lg的图象，只需把函数lg的图象上所有的点（）A.向左平移䁌个单位长度，再向上平移个单位长度B.向右平移䁌个单位长度，再向上平移个单位长度C.向左平移䁌个单位长度，再向下平移个单位长度D.向右平移䁌个单位长度，再向下平移个单位长度4.若正四棱柱ܤܥܤܥ的底面边长为，ܤ与底面ܤܥ成角，则到底面ܤܥ的距离为（）䁌A.B.C.D.䁌䁌5.“ͳሺ”是“cos”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.若ሺͳͳ（，为有理数），则ͳሺA.B.C.D.7.用到这个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A.䁌B.䁌C.䁌D.8.点在直线ǣ上，若存在过的直线交抛物线于，ܤ两点，且ܤ，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是()A.直线上的所有点都是“点”B.直线上仅有有限个点是“点”C.直线上的所有点都不是“点”D.直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”试卷第1页，总8页 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）)lim9.________．ͳ10.若实数，满足则的最小值为________．11.设ሺ是偶函数，若曲线ሺ在点（量ሺ）处的切线的斜率为，则该曲线在（量ሺ）处的切线的斜率为________．12.椭圆ͳ的焦点为、，点在椭圆上，若，则________，的大小为________．晦13.若函数ሺ则不等式ሺ的解集为________．䁌ሺ䁌14.满足：，，，则________；䁌________．三、解答题（共6小题，满分80分）)15.在ܤ中，角，ܤ，的对边分别为量量量ܤ，cos，䁌．䁌（1）求sin的值；（2）求ܤ的面积．16.如图，在三棱锥ܤ中，底面ܤ，ܤ，ܤ，ܤ，点ܥ、分别在棱ܤ、上，且ܥܤ．（1）求证：ܤ平面；（2）当ܥ为ܤ的中点时，求ܥ与平面所成的角的正弦值；（3）是否存在点使得二面角ܥ为直二面角？并说明理由．17.某学生在上学路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是min．䁌（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望．试卷第2页，总8页 18.设函数ሺሺ．（1）求曲线ሺ在点（量ሺ）处的切线方程；（2）求函数ሺ的单调区间；（3）若函数ሺ在区间ሺ量内单调递增，求的取值范围．䁌19.已知双曲线ǣሺ量的离心率为䁌，右准线方程为䁌（1）求双曲线的方程；（2）设直线是圆ǣͳ上动点ሺ量ሺ处的切线，与双曲线交于不同的两点，ܤ，证明ܤ的大小为定值．20.已知数集量量量ሺ晦晦量具有性质；对任意的，ሺ，与两数中至少有一个属于．（1）分别判断数集量䁌量与量量䁌量是否具有性质，并说明理由；ͳͳͳ（2）证明：，且ͳͳͳ；（3）证明：当时，，，䁌，，成等比数列．试卷第3页，总8页 参考答案与试题解析2009年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1.B2.D3.C4.D5.A6.C7.B8.A二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9.10.11.12.,13.䁌量14.,三、解答题（共6小题，满分80分）15.解：（1）∵、ܤ、为ܤ的内角，且ܤ，cos，䁌∴为锐角，䁌则sincos∴䁌䁌䁌ͳ䁌∴sinsinሺcosͳsin；䁌䁌䁌ͳ䁌（2）由（1）知sin，sin，又∵ܤ，䁌，䁌∴在ܤ中，由正弦定理，得sin∴，sinܤ䁌ͳ䁌䁌ͳ䁌∴ܤ的面积sin䁌．16.（1）证明：∵底面ܤ，∴ܤ．试卷第4页，总8页 又ܤ，∴ܤ，∴ܤ平面．（2）解：∵ܥ为ܤ的中点，ܥܤ，∴ܥܤ．又由（1）知，ܤ平面，∴ܥ平面，垂足为点，∴ܥ是ܥ与平面所成的角．∵底面ܤ，∴ܤ．又ܤ，∴ܤ为等腰直角三角形，∴ܥܤ．在ܤ中，ܤ，∴ܤܤ，ܥܤ∴在ܥ中，sinܥ，ܥܥ即ܥ与平面所成角的正弦值为．（3）解：∵ܥܤ，又由（1）知，ܤ平面，∴ܥ平面．又∵平面，平面ܤ，∴ܥ，ܥ，∴为二面角ܥ的平面角．∵底面ܤ，∴，∴，∴在棱上存在一点，使得．这时，，故存在点使得二面角ܥ是直二面角．17.解：（1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件，∵事件等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，∴事件的概率为ሺሺሺ䁌䁌䁌（2）由题意可得可能取的值为，，，，（单位：min）事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”ሺ量量量䁌量，ሺሺሺ量量量䁌量，∴ሺ䁌䁌∴即的分布列是试卷第5页，总8页 䁌䁌∴的期望是ͳͳͳͳ䁌18.解：（1）̵ሺሺͳ，̵ሺ，ሺ，曲线ሺ在点（量ሺ）处的切线方程为；（2）由̵ሺሺͳ，得ሺ，若，则当ሺ量时，̵ሺ晦，函数ሺ单调递减，当（量ͳ,）时，̵ሺ，函数ሺ单调递增，若晦，则当ሺ量时，̵ሺ，函数ሺ单调递增，当（量ͳ,）时，̵ሺ晦，函数ሺ单调递减；（3）由（2）知，若，则当且仅当，即时，函数ሺሺ量内单调递增，若晦，则当且仅当，即时，函数ሺሺ量内单调递增，综上可知，函数ሺሺ量内单调递增时，的取值范围是量ሺ量．䁌19.解：（1）由题意，䁌，䁌解得，䁌，，∴所求双曲的方程．（2）设ሺ䁪量ሺ䁪在ͳ上，䁪圆在点ሺ䁪量处的切线方程为ሺ䁪，化简得䁪ͳ．以及䁪ͳ得䁪ͳሺ䁌䁪䁪ͳ䁪，∵切与双曲线交于不同的两点、ܤ，且晦䁪晦，䁌䁪，且䁪ሺ䁌䁪ሺ䁪，设、ܤ两点的坐标分别ሺ量，ሺ量，试卷第6页，总8页 䁪䁪ͳ䁌䁪，䁌䁪．∵cosܤܤ，且ܤͳͳሺሺͳ䁪ሺͳͳ䁪䁪䁪䁪䁪ሺ䁪ͳͳ䁌䁪䁪䁌䁪䁌䁪䁪䁪．䁌䁪䁌䁪∴ܤ的大小为．20.解：（1）由于䁌与均不属于数集，䁌，，∴该数集不具有性质．䁌由于，䁌，，䁌，，，，，，都属于数集，，䁌，，䁌䁌∴该数集具有性质．（2）∵量量量具有性质，∴与中至少有一个属于，由于晦晦晦，∴故．从而，．∵晦晦，，∴ሺ量䁌量,…,，故ሺ量䁌量,…,．由具有性质可知ሺ量䁌量,…,．又∵晦晦晦晦，∴，，…，，从而ͳͳͳͳͳͳͳ，ͳͳͳ∴且ͳͳͳ；（3）由（2）知，当时，有，䁌，即䁌，䁌∵晦晦晦，∴䁌，∴䁌，由具有性质可知．䁌䁌由䁌，得，䁌䁌䁌且晦，∴，䁌试卷第7页，总8页 䁌∴，䁌即，，䁌，，是首项为，公比为等比数列．试卷第8页，总8页