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2018年北京市高考数学试卷(理科)

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2018年北京市高考数学试卷(理科)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。)1.已知集合A={x||x|<2},B={-2, 0, 1, 2},则A∩B=()A.{0, 1}B.{-1, 0, 1}C.{-2, 0, 1, 2}D.{-1, 0, 1, 2}2.在复平面内,复数11-i的共轭复数对应的点位于(    )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.执行如图所示的程序框图,输出的s值为()A.12B.56C.76D.7124.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为(    )A.32fB.322fC.1225fD.1227f5.某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为(    )A.1B.2C.3D.4试卷第9页,总9页 6.设a→,b→均为单位向量,则“|a→-3b→|=|3a→+b→|”是“a→⊥b→”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在平面直角坐标系中,记d为点P(cosθ, sinθ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m变化时,d的最大值为()A.1B.2C.3D.48.设集合A={(x, y)|x-y≥1, ax+y>4, x-ay≤2},则()A.对任意实数a,(2, 1)∈AB.对任意实数a,(2, 1)∉AC.当且仅当a<0时,(2, 1)∉AD.当且仅当a≤32时,(2, 1)∉A二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。)9.设{an}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{an}的通项公式为________.10.在极坐标系中,直线ρcosθ+ρsinθ=a(a>0)与圆ρ=2cosθ相切,则a=________.11.设函数f(x)=cos(ωx-π6)(ω>0),若f(x)≤f(π4)对任意的实数x都成立,则ω的最小值为________.12.若x,y满足x+1≤y≤2x,则2y-x的最小值是________.13.能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0, 2]都成立,则f(x)在[0, 2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.14.已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0),双曲线N:x2m2-y2n2=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为________;双曲线N的离心率为________.三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。)15.在△ABC中,a=7,b=8,cosB=-17.(1)求∠A;(2)求AC边上的高.16.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,D,E,F,G分别为AA1,AC,A1C1,BB1的中点,AB=BC=5,AC=AA1=2.(1)求证:AC⊥平面BEF;试卷第9页,总9页 (2)求二面角B-CD-C1的余弦值;(3)证明:直线FG与平面BCD相交.17.电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.假设所有电影是否获得好评相互独立.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜欢.“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1, 2, 3, 4, 5, 6).写出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小关系.18.设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex.(1)若曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与x轴平行,求a;(2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.19.已知抛物线C:y2=2px经过点P(1, 2),过点Q(0, 1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围;(2)设O为原点,QM→=λQO→,QN→=μQO→,求证:1λ+1μ为定值.20.设n为正整数,集合A={α|α=(t1, t2, ...tn), tk∈{0, 1}, k=1, 2, ..., n},对于集合A中的任意元素α=(x1, x2,…,xn)和β=(y1, y2,…yn),记M(α, β)=12[(x1+y1-|x1-y1|)+(x2+y2-|x2-y2|)+...(xn+yn-|xn-yn|)](Ⅰ)当n=3时,若α=(1, 1, 0),β=(0, 1, 1),求M(α, α)和M(α, β)的值;(Ⅱ)当n=4时,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意元素α,β,当α,β相同时,M(α, β)是奇数;当α,β不同时,M(α, β)是偶数.求集合B中元素个数的最大值;(Ⅲ)给定不小于2的n,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意两个不同的元素α,β,M(α, β)=0,写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由.试卷第9页,总9页 参考答案与试题解析2018年北京市高考数学试卷(理科)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1.A2.D3.B4.D5.C6.C7.C8.D二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。9.an=6n-310.1+211.2312.313.f(x)=sinx14.3-1,2三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。15.解:(1)在△ABC中,因为cosB=-17,所以sinB=1-cos2B=437.由正弦定理得sinA=asinBb=32.由题知π2<B<π,所以0<A<π2.所以∠A=π3.(2)在△ABC中,因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=3314,所以AC边上的高为asinC=7×3314=332.16.(1)证明:∵E,F分别是AC,A1C1的中点,∴EF // CC1,∵CC1⊥平面ABC,∴EF⊥平面ABC,又AC⊂平面ABC,∴EF⊥AC,∵AB=BC,E是AC试卷第9页,总9页 的中点,∴BE⊥AC,又BE∩EF=E,BE⊂平面BEF,EF⊂平面BEF,∴AC⊥平面BEF.(2)解:以E为原点,以EB,EC,EF为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示:则B(2, 0, 0),C(0, 1, 0),D(0, -1, 1),∴BC→=(-2, 1, 0),CD→=(0, -2, 1),设平面BCD的法向量为n→=(x, y, z),则n→⋅BC→=0n→⋅CD→=0,即-2x+y=0-2y+z=0,令y=2可得n→=(1, 2, 4),又EB⊥平面ACC1A1,∴EB→=(2, 0, 0)为平面CD-C1的一个法向量,∴cos<n→,EB→>=n→⋅EB→|n→||EB→|=221×2=2121.由图形可知二面角B-CD-C1为钝二面角,∴二面角B-CD-C1的余弦值为-2121.(3)证明:F(0, 0, 2),G(2, 0, 1),∴FG→=(2, 0, -1),∴FG→⋅n→=2+0-4=-2≠0,∴FG→与n→不垂直,∴FG与平面BCD不平行,又FG⊄平面BCD,∴FG与平面BCD相交.17.解:(1)设事件A表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影”,总的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000部,第四类电影中获得好评的电影有:200×0.25=50部,∴从电影公司收集的电影中随机选取1试卷第9页,总9页 部,求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为:P(A)=50200=0.025.(2)设事件B表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”,第四类获得好评的有:200×0.25=50部,第五类获得好评的有:800×0.2=160部,则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率:P(B)=50×(800-160)+(200-50)×160200×800=0.35.(3)由题意知,定义随机变量如下:ξk=0,第k类电影没有得到人们喜欢1,第k类电影得到人们喜欢,则ξk服从两点分布,则六类电影的分布列及方差计算如下:第一类电影: ξ1 1 0 P 0.4 0.6E(ξ1)=1×0.4+0×0.6=0.4,D(ξ1)=(1-0.4)2×0.4+(0-0.4)2×0.6=0.24.第二类电影: ξ2 1 0 P 0.2 0.8E(ξ2)=1×0.2+0×0.8=0.2,D(ξ2)=(1-0.2)2×0.2+(0-0.2)2×0.8=0.16.第三类电影: ξ3 1 0 P 0.15 0.85E(ξ3)=1×0.15+0×0.85=0.15,D(ξ3)=(1-0.15)2×0.15+(0-0.85)2×0.85=0.1275.第四类电影: ξ4 1 0 P 0.25 0.75E(ξ4)=1×0.25+0×0.75=0.15,D(ξ4)=(1-0.25)2×0.25+(0-0.75)2×0.75=0.1875.第五类电影: ξ5 1 0 P 0.2 0.8E(ξ5)=1×0.2+0×0.8=0.2,D(ξ5)=(1-0.2)2×0.2+(0-0.2)2×0.8=0.16.第六类电影: ξ6 1 0 P 0.1 0.9E(ξ6)=1×0.1+0×0.9=0.1,D(ξ5)=(1-0.1)2×0.1+(0-0.1)2×0.9=0.09.∴方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小关系为:Dξ6<Dξ3<Dξ2=Dξ5<Dξ4<Dξ1.试卷第9页,总9页 18.解:(1)函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex的导数为:f'(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex.由题意可得曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率为0,∴f'(1)=(a-2a-1+2)e=0,解得:a=1.(2)f(x)的导数为f'(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex=(x-2)(ax-1)ex,①若a=0,则当x<2时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,∴在x=2处f(x)取得极大值,不符题意;②若a>0,且a=12时,f'(x)=12(x-2)2ex≥0,∴f(x)单调递增,无极值;③若a>12,则1a<2,∴f(x)在(1a, 2)上单调递减;在(2, +∞),(-∞, 1a)上单调递增,可得f(x)在x=2处取得极小值;④若0<a<12,则1a>2,f(x)在(2, 1a)上单调递减;在(1a, +∞),(-∞, 2)上单调递增,可得f(x)在x=2处取得极大值,不符题意;⑤若a<0,则1a<2,f(x)在(1a, 2)上单调递增;在(2, +∞),(-∞, 1a)上单调递减,可得f(x)在x=2处取得极大值,不符题意.综上可得,a的范围是(12, +∞).19.(1)解:∵抛物线C:y2=2px经过点P(1, 2),∴4=2p,解得p=2,设过点(0, 1)的直线方程为y=kx+1,设A(x1, y1),B(x2, y2)联立方程组可得y2=4x,y=kx+1,消y可得k2x2+(2k-4)x+1=0,∴试卷第9页,总9页 Δ=(2k-4)2-4k2>0,且k≠0,解得k<1,且k≠0,x1+x2=-2k-4k2,x1x2=1k2,故直线l的斜率的取值范围(-∞, 0)∪(0, 1);(2)证明:设点M(0, yM),N(0, yN),则QM→=(0, yM-1),QO→=(0, -1)因为QM→=λQO→,所以yM-1=-λ,故λ=1-yM,同理μ=1-yN,直线PA的方程为y-2=2-y11-x1(x-1)=2-y11-y124(x-1)=42+y1(x-1),令x=0,得yM=2y12+y1,同理可得yN=2y22+y2,因为1λ+1μ=11-yM+11-yN=2+y12-y1+2+y22-y2=8-2y1y2(2-y1)(2-y2)=8-2(kx1+1)(kx2+1)1-k(x1+x2)+k2x1x2=8-[k2x1x2+k(x1+x2)+1]1--k(x1+x2)+k2x1x2=8-2(1+4-2kk+1)1-4-2kk+1=4-2×4-2kk2-4-2kk=2,∴1λ+1μ=2,∴1λ+1μ为定值.20.(I ) M(α, α)=1+1+0=2,M(α, β)=0+1+0=1.(II)考虑数对(xk, yk)只有四种情况:(0, 0)、(0, 1)、(1, 0)、(1, 1),相应的xk+yk-|xk-yk|2分别为0、0、0、1,所以B中的每个元素应有奇数个1,所以B中的元素只可能为(上下对应的两个元素称之为互补元素):(1, 0, 0, 0 )、(0, 1, 0, 0)、(0, 0, 1, 0)、(0, 0, 0, 1),(0, 1, 1, 1)、(1, 0, 1, 1)、(1, 1, 0, 1)、(1, 1, 1, 0),对于任意两个只有1个1的元素α,β都满足M(α, β)是偶数,所以四元集合B={(1, 0, 0, 0)、(0, 1, 0, 0)、(0, 0, 1, 0)、(0, 0, 0, 1)}满足 题意,假设B中元素个数大于等于4,就至少有一对互补元素,除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素α,则互补元素中含有1个1的元素β与之满足M(α, β)=1不合题意,故B中元素个数的最大值为4.(Ⅲ) B={(0, 0, 0,…0),(1, 0, 0…,0),(0, 1, 0,…0),(0, 0, 1...0)…,(0, 0, 0,…,1)},此时B中有n+1个元试卷第9页,总9页 素,下证其为最大.对于任意两个不同的元素α,β,满足M(α, β)=0,则α,β中相同位置上的数字不能同时为1,假设存在B有多于n+1个元素,由于α=(0, 0, 0,…,0)与任意元素β都有M(α, β)=0,所以除(0, 0, 0,…,0)外至少有n+1个元素含有1,根据元素的互异性,至少存在一对α,β满足xi=yi=l,此时M(α, β)≥1不满足题意,故B中最多有n+1个元素.试卷第9页,总9页

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发布时间:2021-10-19 17:00:37 页数:9
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文章作者: 真水无香

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