2018年北京市高考数学试卷（理科）

2018年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。)1.已知集合A={x||x|<2}，B={-2, 0, 1, 2}，则A∩B=()A.{0, 1}B.{-1, 0, 1}C.{-2, 0, 1, 2}D.{-1, 0, 1, 2}2.在复平面内，复数11-i的共轭复数对应的点位于（    ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A.12B.56C.76D.7124.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（    ）A.32fB.322fC.1225fD.1227f5.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（    ）A.1B.2C.3D.4试卷第9页，总9页 6.设a→，b→均为单位向量，则“|a→-3b→|=|3a→+b→|”是“a→⊥b→”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ, sinθ)到直线x-my-2=0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为（）A.1B.2C.3D.48.设集合A={(x, y)|x-y≥1, ax+y>4, x-ay≤2}，则（）A.对任意实数a，(2, 1)∈AB.对任意实数a，(2, 1)∉AC.当且仅当a<0时，(2, 1)∉AD.当且仅当a≤32时，(2, 1)∉A二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。)9.设{an}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{an}的通项公式为________．10.在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a(a>0)与圆ρ=2cosθ相切，则a=________．11.设函数f(x)=cos(ωx-π6)(ω>0)，若f(x)≤f(π4)对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．12.若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y-x的最小值是________．13.能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0, 2]都成立，则f(x)在[0, 2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．14.已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，双曲线N:x2m2-y2n2=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。)15.在△ABC中，a=7，b=8，cosB=-17．(1)求∠A；(2)求AC边上的高．16.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC=5，AC=AA1=2．(1)求证：AC⊥平面BEF；试卷第9页，总9页 (2)求二面角B-CD-C1的余弦值；(3)证明：直线FG与平面BCD相交．17.电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（2）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（3）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜欢．“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1, 2, 3, 4, 5, 6)．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．18.设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex．(1)若曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x=2处取得极小值，求a的取值范围．19.已知抛物线C:y2=2px经过点P(1, 2)，过点Q(0, 1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，QM→=λQO→，QN→=μQO→，求证：1λ+1μ为定值．20.设n为正整数，集合A＝{α|α＝(t1, t2, ...tn), tk∈{0, 1}, k＝1, 2, ..., n}，对于集合A中的任意元素α＝(x1, x2,…,xn)和β＝(y1, y2,…yn)，记M(α, β)=12[(x1+y1-|x1-y1|)+(x2+y2-|x2-y2|)+...(xn+yn-|xn-yn|)](Ⅰ)当n＝3时，若α＝(1, 1, 0)，β＝(0, 1, 1)，求M(α, α)和M(α, β)的值；(Ⅱ)当n＝4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α，β，当α，β相同时，M(α, β)是奇数；当α，β不同时，M(α, β)是偶数．求集合B中元素个数的最大值；(Ⅲ)给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素α，β，M(α, β)＝0，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．试卷第9页，总9页 参考答案与试题解析2018年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.A2.D3.B4.D5.C6.C7.C8.D二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9.an=6n-310.1+211.2312.313.f(x)=sinx14.3-1,2三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15.解：(1)在△ABC中，因为cosB=-17，所以sinB=1-cos2B=437.由正弦定理得sinA=asinBb=32.由题知π2<B<π，所以0<A<π2.所以∠A=π3.(2)在△ABC中，因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=3314，所以AC边上的高为asinC=7×3314=332.16.(1)证明：∵E，F分别是AC，A1C1的中点，∴EF // CC1，∵CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，∴EF⊥AC，∵AB=BC，E是AC试卷第9页，总9页 的中点，∴BE⊥AC，又BE∩EF=E，BE⊂平面BEF，EF⊂平面BEF，∴AC⊥平面BEF．(2)解：以E为原点，以EB，EC，EF为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则B(2, 0, 0)，C(0, 1, 0)，D(0, -1, 1)，∴BC→=(-2, 1, 0)，CD→=(0, -2, 1)，设平面BCD的法向量为n→=(x, y, z)，则n→⋅BC→=0n→⋅CD→=0,即-2x+y=0-2y+z=0，令y=2可得n→=(1, 2, 4)，又EB⊥平面ACC1A1，∴EB→=(2, 0, 0)为平面CD-C1的一个法向量，∴cos<n→，EB→>=n→⋅EB→|n→||EB→|=221×2=2121．由图形可知二面角B-CD-C1为钝二面角，∴二面角B-CD-C1的余弦值为-2121．(3)证明：F(0, 0, 2)，G(2, 0, 1)，∴FG→=(2, 0, -1)，∴FG→⋅n→=2+0-4=-2≠0，∴FG→与n→不垂直，∴FG与平面BCD不平行，又FG⊄平面BCD，∴FG与平面BCD相交．17.解：（1）设事件A表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影”，总的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000部，第四类电影中获得好评的电影有：200×0.25=50部，∴从电影公司收集的电影中随机选取1试卷第9页，总9页 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：P(A)=50200=0.025．（2）设事件B表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”，第四类获得好评的有：200×0.25=50部，第五类获得好评的有：800×0.2=160部，则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率：P(B)=50×(800-160)+(200-50)×160200×800=0.35．（3）由题意知，定义随机变量如下：ξk=0，第k类电影没有得到人们喜欢1，第k类电影得到人们喜欢，则ξk服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下：第一类电影： ξ1 1 0 P 0.4 0.6E(ξ1)=1×0.4+0×0.6=0.4，D(ξ1)=(1-0.4)2×0.4+(0-0.4)2×0.6=0.24．第二类电影： ξ2 1 0 P 0.2 0.8E(ξ2)=1×0.2+0×0.8=0.2，D(ξ2)=(1-0.2)2×0.2+(0-0.2)2×0.8=0.16．第三类电影： ξ3 1 0 P 0.15 0.85E(ξ3)=1×0.15+0×0.85=0.15，D(ξ3)=(1-0.15)2×0.15+(0-0.85)2×0.85=0.1275．第四类电影： ξ4 1 0 P 0.25 0.75E(ξ4)=1×0.25+0×0.75=0.15，D(ξ4)=(1-0.25)2×0.25+(0-0.75)2×0.75=0.1875．第五类电影： ξ5 1 0 P 0.2 0.8E(ξ5)=1×0.2+0×0.8=0.2，D(ξ5)=(1-0.2)2×0.2+(0-0.2)2×0.8=0.16．第六类电影： ξ6 1 0 P 0.1 0.9E(ξ6)=1×0.1+0×0.9=0.1，D(ξ5)=(1-0.1)2×0.1+(0-0.1)2×0.9=0.09．∴方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系为：Dξ6<Dξ3<Dξ2=Dξ5<Dξ4<Dξ1．试卷第9页，总9页 18.解：(1)函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex的导数为：f'(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex．由题意可得曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率为0，∴f'(1)=(a-2a-1+2)e=0，解得：a=1.(2)f(x)的导数为f'(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex=(x-2)(ax-1)ex，①若a=0，则当x<2时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x>2时，f'(x)<0，f(x)单调递减，∴在x=2处f(x)取得极大值，不符题意；②若a>0，且a=12时，f'(x)=12(x-2)2ex≥0，∴f(x)单调递增，无极值；③若a>12，则1a<2，∴f(x)在(1a, 2)上单调递减；在(2, +∞)，(-∞, 1a)上单调递增，可得f(x)在x=2处取得极小值；④若0<a<12，则1a>2，f(x)在(2, 1a)上单调递减；在(1a, +∞)，(-∞, 2)上单调递增，可得f(x)在x=2处取得极大值，不符题意；⑤若a<0，则1a<2，f(x)在(1a, 2)上单调递增；在(2, +∞)，(-∞, 1a)上单调递减，可得f(x)在x=2处取得极大值，不符题意．综上可得，a的范围是(12, +∞)．19.(1)解：∵抛物线C:y2=2px经过点P(1, 2)，∴4=2p，解得p=2，设过点(0, 1)的直线方程为y=kx+1，设A(x1, y1)，B(x2, y2)联立方程组可得y2=4x，y=kx+1，消y可得k2x2+(2k-4)x+1=0，∴试卷第9页，总9页 Δ=(2k-4)2-4k2>0，且k≠0,解得k<1，且k≠0，x1+x2=-2k-4k2，x1x2=1k2，故直线l的斜率的取值范围(-∞, 0)∪(0, 1)；(2)证明：设点M(0, yM)，N(0, yN)，则QM→=(0, yM-1)，QO→=(0, -1)因为QM→=λQO→，所以yM-1=-λ，故λ=1-yM，同理μ=1-yN，直线PA的方程为y-2=2-y11-x1(x-1)=2-y11-y124(x-1)=42+y1(x-1)，令x=0，得yM=2y12+y1，同理可得yN=2y22+y2，因为1λ+1μ=11-yM+11-yN=2+y12-y1+2+y22-y2=8-2y1y2(2-y1)(2-y2)=8-2(kx1+1)(kx2+1)1-k(x1+x2)+k2x1x2=8-[k2x1x2+k(x1+x2)+1]1--k(x1+x2)+k2x1x2=8-2(1+4-2kk+1)1-4-2kk+1=4-2×4-2kk2-4-2kk=2，∴1λ+1μ=2，∴1λ+1μ为定值．20.(I ) M(α, α)＝1+1+0＝2，M(α, β)＝0+1+0＝1．(II)考虑数对(xk, yk)只有四种情况：(0, 0)、(0, 1)、(1, 0)、(1, 1)，相应的xk+yk-|xk-yk|2分别为0、0、0、1，所以B中的每个元素应有奇数个1，所以B中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：(1, 0, 0, 0 )、(0, 1, 0, 0)、(0, 0, 1, 0)、(0, 0, 0, 1)，(0, 1, 1, 1)、(1, 0, 1, 1)、(1, 1, 0, 1)、(1, 1, 1, 0)，对于任意两个只有1个1的元素α，β都满足M(α, β)是偶数，所以四元集合B＝{(1, 0, 0, 0)、(0, 1, 0, 0)、(0, 0, 1, 0)、(0, 0, 0, 1)}满足 题意，假设B中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素，除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素α，则互补元素中含有1个1的元素β与之满足M(α, β)＝1不合题意，故B中元素个数的最大值为4．(Ⅲ) B＝{(0, 0, 0,…0)，(1, 0, 0…,0)，(0, 1, 0,…0)，(0, 0, 1...0)…，(0, 0, 0,…,1)}，此时B中有n+1个元试卷第9页，总9页 素，下证其为最大．对于任意两个不同的元素α，β，满足M(α, β)＝0，则α，β中相同位置上的数字不能同时为1，假设存在B有多于n+1个元素，由于α＝(0, 0, 0,…,0)与任意元素β都有M(α, β)＝0，所以除(0, 0, 0,…,0)外至少有n+1个元素含有1，根据元素的互异性，至少存在一对α，β满足xi＝yi＝l，此时M(α, β)≥1不满足题意，故B中最多有n+1个元素．试卷第9页，总9页