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山东省济宁二中2022学年高二数学下学期期中考试试题 理 新人教A版
山东省济宁二中2022学年高二数学下学期期中考试试题 理 新人教A版
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2022-2022学年山东省济宁二中高二(下)期中数学试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题(共12小题,每小题3分,满分36分)1.(3分)知识竞赛中给一个代表队的4人出了2道必答题和4道选答题,要求4人各答一题,共答4题,此代表队可选择的答题方案的种类为( ) A.AB.AC.CAD.CA考点:排列、组合及简单计数问题.专题:计算题.分析:本题即从6道题种选出4道题分给4个人,方法共有种,从而得出结论.解答:解:本题即从6道题种选出4道题分给4个人,方法共有种,故选A.点评:本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用,体现了等价转化的数学思想,属于中档题. 2.(3分)曲线在点(1,)处切线的倾斜角为( ) A.1B.45°C.﹣45°D.135°考点:直线的倾斜角.分析:本题考查的知识点为导数的几何意义及斜率与倾斜角的转化,要求曲线在点(1,)处切线的倾斜角,我们可以先求出曲线方程的导函数,并计算出点(1,)的斜率即该点的导数值,然后再计算倾斜角.解答:解:∵∴y'=x﹣2∴y'|x=1=1﹣2=﹣1即曲线在点(1,)处切线的斜率为:﹣1故曲线在点(1,)处切线的倾斜角为:135°故选D点评:要计算曲线切线的倾斜角,其步骤为:①求出曲线方程的导函数②求出切点处的导数,即切线的斜率③根据斜率与倾斜角的关系,求出直线的倾斜角. 11\n3.(3分)(2022•中山模拟)函数f(x)=alnx+x在x=1处取到极值,则a的值为( ) A.B.﹣1C.0D.考点:利用导数研究函数的极值.专题:计算题.分析:题目中条件:“函数f(x)=alnx+x在x=1处取到极值”,利用导数,得导函数的零点是1,从而得以解决.解答:解:∵,∴f′(1)=0⇒a+1=0,∴a=﹣1.故选B.点评:本题主要考查利用导数研究函数的极值,属于基础题. 4.(3分)将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的分配方案共有( ) A.252种B.112种C.70种D.56种考点:排列、组合的实际应用.专题:计算题.分析:由题意知将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排2名学生两种情况一是包括甲、乙每屋住4人、3人,二是甲和乙两个屋子住5人、2人,列出两种情况的结果,根据分类计数原理得到结果.解答:解:由题意知将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排2名学生包括甲、乙每屋住4人、3人或5人、2人,∵当甲和乙两个屋子住4人、3人,共有C73A22当甲和乙两个屋子住5人、2人,共有C72A22∴根据分类计数原理得到共有C73A22+C72A22=35×2+21×2=112(种).故选B.点评:本题考查分类计数问题,是一个基础题,解题时主要依据是要看清楚每个宿舍至少安排2名学生两种情况,注意做到不重不漏. 5.(3分)等于( ) A.0B.1C.2D.4考点:定积分.专题:计算题.分析:先根据对称性,只算出0﹣π的图形的面积再两倍即可求出所求.解答:解:∫02π|sinx|dx=2∫0πsinxdx=2(﹣cosx)|0π=2(1+1)=4故选:D11\n点评:本题主要考查了定积分,对称性的应用和积分变量的选取都影响着计算过程的繁简程度,运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数. 6.(3分)函数y=1+3x﹣x3有( ) A.极小值﹣2,极大值2B.极小值﹣2,极大值3 C.极小值﹣1,极大值1D.极小值﹣1,极大值3考点:利用导数研究函数的极值.专题:计算题;压轴题.分析:求出导函数,令导函数为0求根,判根左右两边的符号,据极值定义求出极值.解答:解:y′=3﹣3x2=3(1+x)(1﹣x).令y′=0得x1=﹣1,x2=1.当x<﹣1时,y′<0,函数y=1+3x﹣x3是减函数;当﹣1<x<1时,y′>0,函数y=1+3x﹣x3是增函数;当x>1时,y′<0,函数y=1+3x﹣x3是减函数.∴当x=﹣1时,函数y=1+3x﹣x3有极小值﹣1;当x=1时,函数y=1+3x﹣x3有极大值3.故选项为D点评:判断导函数为0的根左右两边的符号:符号左边为正右边为负的根为极大值;符号左边为负右边为正的根为极小值. 7.(3分)二项式(a+2b)n展开式中的第二项系数是8,则它的第三项的二项式系为( ) A.24B.18C.16D.6考点:二项式定理的应用.专题:计算题.分析:由于二项式(a+2b)n展开式中的第二项系数是•2=8,求得n的值,可得它的第三项的二项式系数的值.解答:解:由于二项式(a+2b)n展开式中的第二项系数是•2=8,∴n=4,故它的第三项的二项式系为=6,故选D.点评:本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题. 8.(3分)(2022•浙江)已知复数z1=3+4i,z2=t+i,且是实数,则实数t=( ) A.B.C.D.11\n考点:复数代数形式的乘除运算.专题:常规题型;计算题.分析:化简的式子,该式子表示实数时,根据虚部等于0,解出实数t.解答:解:∵=(3+4i)(t+i)=3t﹣4+(3+4t)i是实数,∴3+4t=0,t=﹣.故选D.点评:本题考查复数代数形式的乘法,复数为实数的充要条件是虚部等于0. 9.(3分)(2022•开封二模)若的展开式中x3的系数为,则常数a的值为( ) A.1B.2C.3D.4考点:二项式定理.专题:计算题.分析:在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于3,求出r的值,即可求得x3的系数,再根据x3的系数为,求得实数a的值.解答:解:由于的展开式的通项公式为Tr+1=••=•a9﹣r••,令﹣9=3,可得r=8,故展开式中x3的系数为•a•=,∴a=4,故选D.点评:本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的性质,属于中档题. 10.(3分)若An3=6Cn4,则n的值为( ) A.6B.7C.8D.9考点:组合及组合数公式;排列数公式的推导.专题:计算题.分析:由An3=6Cn4,利用排列数公式和组合数公式,把原式等价转化为n(n﹣1)(n﹣2)=6×,由此能求出n的值.解答:解:∵An3=6Cn4,11\n∴n(n﹣1)(n﹣2)=6×,整理,得n﹣3=4,∴n=7.故选B.点评:本题考查排列数公式和组合数公式的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化. 11.(3分)函数y=sin(2x2+x)导数是( ) A.y′=cos(2x2+x)B.y′=2xsin(2x2+x)C.y′=(4x+1)cos(2x2+x)D.y′=4cos(2x2+x)考点:简单复合函数的导数.分析:设H(x)=f(u),u=g(x),则H′(x)=f′(u)g′(x).解答:解:设y=sinu,u=2x2+x,则y′=cosu,u′=4x+1,∴y′=(4x+1)cosu=(4x+1)cos(2x2+x),故选C.点评:牢记复合函数的导数求解方法,在实际学习过程中能够熟练运用. 12.(3分)从字母a,b,c,d,e,f中选出4个数字排成一列,其中一定要选出a和b,并且必须相邻(a在b的前面),共有排列方法( )种. A.36B.72C.90D.144考点:排列、组合及简单计数问题.专题:计算题.分析:再从剩余的4个字母中选取2个,方法有种,再将这2个字母和整体ab进行排列,方法有=6种,根据分步计数原理求得结果.解答:解:由于ab已经选出,故再从剩余的4个字母中选取2个,方法有=6种,再将这2个字母和整体ab进行排列,方法有=6种,根据分步计数原理求得所有的排列方法共有6×6=36种,故选A.点评:本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用,属于中档题. 二、填空题(每小题4分,共16分.)13.(4分)曲线y=lnx在点M(e,1)处的切线的斜率是 ,切线的方程为 x﹣ey=0 .11\n考点:利用导数研究曲线上某点切线方程.专题:计算题.分析:求出曲线的导函数,把切点的横坐标e代入即可求出切线的斜率,然后根据斜率和切点坐标写出切线方程即可.解答:解:y′=,切点为M(e,1),则切线的斜率k=,切线方程为:y﹣1=(y﹣e)化简得:x﹣ey=0故答案为:,x﹣ey=0点评:考查学生会根据导函数求切线的斜率,会根据斜率和切点写出切线方程. 14.(4分)若,则实数k的值为 ﹣1 .考点:定积分.专题:计算题.分析:欲求k的值,只须求出函数x﹣k的定积分值即可,故先利用导数求出x﹣k的原函数,再结合积分定理即可求出用k表示的定积分.最后列出等式即可求得k值.解答:解:∵∫01(x﹣k)dx=(x2﹣kx)|01=﹣k.由题意得:﹣k=,∴k=﹣1.故答案为:﹣1.点评:本小题主要考查定积分的简单应用、利用导数研究原函数等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题. 15.(4分)从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者,若选出的4人中既有男生又有女生,则不同的选法共有 34 种.考点:排列、组合及简单计数问题.专题:计算题.分析:所有的选法共有=35种,其中选出的4人全是男生的方法有1种,由此求得选出的4人中既有男生又有女生的不同的选法.11\n解答:解:所有的选法共有=35种,其中选出的4人全是男生的方法有1种,故选出的4人中既有男生又有女生的不同的选法共有35﹣1=34种,故答案为34.点评:本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用,属于中档题. 16.(4分)函数y=x3+x2﹣5x﹣5的单调递减区间是 (﹣,1) .考点:利用导数研究函数的单调性.专题:计算题.分析:根据f(x)的导函数建立不等关系,可得f'(0)≤0,建立不等量关系,求出单调递减区间即可.解答:解:∵f′(x)=3x2+2x﹣5,∴由3x2+2x﹣5<0可得:∴x∈(﹣,1).故答案为:(﹣,1).点评:本小题主要考查运用导数研究函数的单调性等基础知识,考查分析和解决问题的能力. 三、解答题(本大题共4小题,共44分.)17.(8分)已知z=1+i.(1)设ω=z2+3﹣4,求ω的三角形式;(2)如果,求实数a,b的值.考点:复数代数形式的乘除运算;复数相等的充要条件.专题:计算题.分析:(1)把复数的具体形式代入所给的z2+3﹣4,根据乘方和共轭复数,算出ω的值,提出复数的模长,把代数形式变化为三角形式.(2)先进行复数的乘除运算,把具体的复数的值代入,整理成最简形式,得到复数相等的条件,使得复数的实部和虚部分别相等,得到关于a和b的方程组,解方程组即可.解答:解:(1)由z=1+i,有ω=z2+3﹣4=(1+i)2+3﹣4=2i+3(1﹣i)﹣4=﹣1﹣i,ω的三角形式是.11\n(2)由z=1+i,有===(a+2)﹣(a+b)i由题设条件知(a+2)﹣(a+b)i=1﹣i.根据复数相等的定义,得解得点评:本小题考查共轭复数、复数的三角形式,复数的混合运算等基础知识及运算能力.是一个综合题,解题的关键是整理过程千万不要出错. 18.(12分)已知在(x2﹣)n的展开式中,第9项为常数项,求:(1)n的值;(2)展开式中x5的系数;(3)含x的整数次幂的项的个数.考点:二项式定理的应用;二项式系数的性质.专题:计算题.分析:(1)根据(x2﹣)n的展开式中,第9项为常数项,而第9项的通项公式为T9=28﹣n••x2n﹣20,故有2n﹣20=0,由此解得n=10.(2)由(1)可得展开式的通项公式为Tr+1=(﹣1)r•2r﹣10••.令x的幂指数等于5,求得r的值,可得展开式中x5的系数.(3)由20﹣为整数,可得r=0,2,4,6,8,从而得到含x的整数次幂的项的个数.解答:解:(1)在(x2﹣)n的展开式中,第9项为常数项,而第9项的通项公式为T9=•28﹣n•x2n﹣16•x﹣4=28﹣n••x2n﹣20,故有2n﹣20=0,解得n=10.(2)由(1)可得展开式的通项公式为Tr+1=•2r﹣10•x20﹣2r•(﹣1)r•=(﹣1)r•2r﹣10••.11\n令20﹣=5,求得r=6,故展开式中x5的系数为•=.(3)由20﹣为整数,可得r=0,2,4,6,8,故含x的整数次幂的项的个数为5.点评:本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的性质,属于中档题. 19.(12分)(2022•深圳模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=﹣1与x=2处都取得极值.(Ⅰ)求a,b的值及函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若对x∈[﹣2,3],不等式f(x)+c<c2恒成立,求c的取值范围.考点:利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;不等式的证明.专题:计算题.分析:(1)求出f′(x)并令其=0得到方程,把x=﹣1和x=2代入求出a、b即可;(2)求出函数的最大值为f(﹣1),要使不等式恒成立,既要证f(﹣1)+c<c2,即可求出c的取值范围.解答:解:(Ⅰ)f′(x)=3x2+2ax+b,由题意:即解得∴,f′(x)=3x2﹣3x﹣6令f′(x)<0,解得﹣1<x<2;令f′(x)>0,解得x<﹣1或x>2,∴f(x)的减区间为(﹣1,2);增区间为(﹣∞,﹣1),(2,+∞).(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)在(﹣∞,﹣1)上单调递增;在(﹣1,2)上单调递减;在(2,+∞)上单调递增.∴x∈[﹣2,3]时,f(x)的最大值即为f(﹣1)与f(3)中的较大者.;∴当x=﹣1时,f(x)取得最大值.要使,只需,即:2c2>7+5c解得:c<﹣1或.∴c的取值范围为.11\n点评:考查学生利用导数求函数极值的能力,利用导数研究函数单调性的能力,以及掌握不等式的证明方法. 20.(12分)(2022•北京)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D为AB的中点.(Ⅰ)求证AC⊥BC1;(Ⅱ)求证AC1∥平面CDB1;(Ⅲ)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.考点:用空间向量求直线间的夹角、距离;空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.专题:计算题;证明题.分析:解法一:(1):利用勾股定理的逆定理判断出AC⊥BC,同时因为三棱柱为直三棱柱,从而证出.(2):因为D为AB的中点,连接C1B和CB1交点为E,连接DE,∵D是AB的中点,E是BC1的中点,根据三角形中位线定理得DE∥AC1,得到AC1∥平面CDB1;第三问:因为AC1∥DE,所以∠CED为AC1与B1C所成的角,求出此角即可.解法二:利用空间向量法.如图建立坐标系,(1):证得向量点积为零即得垂直.(2):=λ,与两个向量或者共线或者平行可得.第三问:解答:证明:(Ⅰ)直三棱柱ABC﹣A1B1C1,底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,∴AC⊥BC,且BC1在平面ABC内的射影为BC,∴AC⊥BC1;(Ⅱ)设CB1与C1B的交点为E,连接DE,∵D是AB的中点,E是BC1的中点,∴DE∥AC1,∵DE⊂平面CDB1,AC1⊂平面CDB1,∴AC1∥平面CDB1;(Ⅲ)∵DE∥AC1,∴∠CED为AC1与B1C所成的角,在△CED中,ED=AC1=,CD=AB=,CE=CB1=2,∴cos∠CED==,∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.解法二:11\n∵直三棱锥ABC﹣A1B1C1底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,AC,BC,CC1两两垂直.如图建立坐标系,则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(,2,0)(Ⅰ)∵=(﹣3,0,0),=(0,4,4),∴•=0,∴⊥.(Ⅱ)设CB1与C1B的交点为E,则E(0,2,2)∵=(﹣,0,2),=(﹣3,0,4),∴=,∴∥∵DE⊂平面CDB1,AC1⊂平面CDB1,∴AC1∥平面CDB1.(Ⅲ)∵=(﹣3,0,0),=(0,4,4),∴cos<,>==,∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为.点评:本题考查向量的几何意义a•b=|a||b|cosα;向量垂直⇐a•b=0;直线与平面的证明方法. 11
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高中 - 数学
发布时间:2022-08-25 20:35:25
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