广东省2022学年江门市高一上期末数学试卷

2022-2022学年广东省江门市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|−1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B=(　　)A.[0,2]B.[1,2]C.[0,4]D.[1,4]【答案】A【解析】解：由数轴可得A∩B=[0,2]，故选择A．结合数轴直接求解．本题考查集合的运算，基础题.注意数形结合2.sin(−196π)=(　　)A.−12B.12C.−32D.32【答案】B【解析】解：sin(−196π)=sin(−4π+5π6)=sin5π6=sinπ6=12，故选：B．由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．本题主要考查利用诱导公式化简三角函数式，属于基础题．3.设f(x)=log3(x2−1),x≥22ex−1,x<2，则f(f(2))的值为(　　)A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】解：f(f(2))=f(log3(22−1))=f(1)=2e1−1=2，故选C．考查对分段函数的理解程度，f(2)=log3(22−1)=1，所以f(f(2))=f(1)=2e1−1=2．此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．4.下列函数中，偶函数是(　　)A.y=x2(x>0)B.y=|x+1|C.y=2x−2−x3D.y=3x+3−x211/11【答案】D【解析】解：A.函数的定义域关于原点不对称，函数为非奇非偶函数；B.函数y=|x+1|的对称轴为x=−1，函数为非奇非偶函数；C.f(−x)=2−x−2x3=−2x−2−x3=−f(x)，函数f(x)是奇函数；D.f(−x)=3−x+3x3=3x+3−x2=f(x)，则函数f(x)是偶函数；故选：D．根据函数奇偶性的定义分别进行判断解即可．本题主要考查函数奇偶性的判断，利用定义法判断f(−x)=f(x)是否成立是解决本题的关键．1.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是(　　)A.B.C.D.【答案】C【解析】解：考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A；再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D，之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确．故选：C．解答本题，可先研究四个选项中图象的特征，再对照小明上学路上的运动特征，两者对应即可选出正确选项本题考查函数的表示方法--图象法，正确解答本题关键是理解坐标系的度量与小明上学的运动特征2.已知α是第一象限角，那么α2是(　　)11/11A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.第一或第三象限角【答案】D【解析】解：∵α的取值范围(2kπ,π2+2kπ)，(k∈Z)∴α2的取值范围是(kπ,π4+kπ)，(k∈Z)分类讨论①当k=2i+1(其中i∈Z)时α2的取值范围是(π+2iπ,5π4+2iπ)，即α2属于第三象限角．②当k=2i(其中i∈Z)时α2的取值范围是(2iπ,π4+2iπ)，即α2属于第一象限角．故选：D．由题意α是第一象限角可知α的取值范围(2kπ,π2+2kπ)，然后求出α2即可．此题考查象限角、轴线角以及半角的三角函数，角在直角坐标系的表示，属于基础题．1.已知A(1,2)、B(−3,−4)、C(2,m)，若A、B、C三点共线，则m=(　　)A.52B.3C.72D.4【答案】C【解析】解：∵A、B、C三点共线，∴kAC=kBC，∴m−22−1=m+42+3，解得m=72．故选：C．A、B、C三点共线，可得kAC=kBC，利用斜率计算公式即可得出．本题考查了三点共线与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.把y=sinx的图象向右平移π8后，再把各点横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数的解析式为(　　)A.y=sin(x2−π8)B.y=sin(x2+π8)C.y=sin(2x−π8)D.y=sin(2x−π4)【答案】A【解析】解：令f(x)=sinx，则y=f(x−π8)=sin(x−π8)，再将所得的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，得：y=sin(12x−π8).故选：A．令f(x)=sinx，可求y=f(x−π8)11/11的解析式，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换即可求得答案．本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，属于基础题．1.在△ABC中，BC=5，AC=8，C=60∘，则BC⋅CA=(　　)A.20B.−20C.203D.−203【答案】B【解析】解：在△ABC中，BC=5，AC=8，C=60∘，则BC⋅CA=|BC||AC|cosC=5×8×(−12)=−20．故选：B．利用已知条件，通过向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积的运算，注意向量的夹角是解题的关键．2.已知函数f(x)=x+2x，g(x)=x+lnx，h(x)=x−x−1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是(　　)A.x1<x2<x3b.x2<x1<x3c.x1<x3<x2d.x3<x2<x1【答案】a【解析】解：f(x)=x+2x的零点必定小于零，g(x)=x+lnx的零点必位于(0,1)内，函数h(x)=x−x−1的零点必定大于1．因此，这三个函数的零点依次增大，故x1<x2<x3．故选：a．利用估算方法，将各函数的零点问题确定出大致区间进行零点的大小比较问题是解决本题的关键.必要时结合图象进行分析．本题考查函数零点的定义，函数零点就是相应方程的根，利用估算方法比较出各函数零点的大致位置，进而比较出各零点的大小．3.函数f(x)=x−1x，若不等式t⋅f(2x)≥2x−1对x∈(0,1]恒成立，则t的取值范围是(>0，二次函数u=x2−2ax+1+a在(−∞,1]上单调递减，故只需当x=1时，若x2−2ax+1+a>0，则x∈(−∞,1]时，真数x2−2ax+1+a>0， 代入x=1解得a<2，所以a的取值范围是[1,2) 故答案为：[1,2)复合函数f(x)=lg(x2−2ax+1+a)中，对数函数y=lgx为单调递增，在区间(−∞,1]上，a的取值需令真数x2−2ax+1+a>0，且函数u=x2−2ax+1+a在区间(−∞,1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．y=f[g(x)]型函数可以看作由两个函数y=f(u)和u=g(x)复合而成，一般称其为复合函数.其中y=f(u)为外层函数，u=g(x)为内层函数.若内、外层函数的增减性相同，则复合函数为增函数；若内、外层函数的增减性相反，则复合函数为减函数.即复合函数单调性遵从同增异减的原则．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）1.已知函数f(x)=2x−1x+1．(Ⅰ)证明：函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数；(Ⅱ)求函数f(x)在区间[1,17]上的最大值和最小值．【答案】解：(Ⅰ)证明：f(x)=2x−1x+1=2−3x+1；设x1>x2>0，则：f(x1)−f(x2)=3x2+1−3x1+1=3(x1−x2)(x1+1)(x2+1)；∵x1>x2>0；∴x1−x2>0，x1+1>0，x2+1>0；∴3(x1−x2)(x1+1)(x2+1)>0；∴f(x1)>f(x2)；∴f(x)在区间(0,+∞)上是增函数；(Ⅱ)∵f(x)在(0,+∞)上是增函数；∴f(x)在区间[1,17]上的最小值为f(1)=12，最大值为f(17)=116．11/11【解析】(Ⅰ)先分离常数得出f(x)=2−3x+1，然后根据增函数的定义，设任意的x1>x2>0，然后作差，通分，得出f(x1)−f(x2)=3(x1−x2)(x1+1)(x2+1)，只需证明f(x1)>f(x2)即可得出f(x)在(0,+∞)上是增函数；(Ⅱ)根据f(x)在(0,+∞)上是增函数，即可得出f(x)在区间[1,17]上的最大值为f(17)，最小值为f(1)，从而求出f(17)，f(1)即可．考查分离常数法的运用，反比例函数的单调性，增函数的定义，根据增函数的定义证明一个函数是增函数的方法，根据函数单调性求函数在闭区间上的最值的方法．1.向量a、b是夹角为60∘的两个单位向量，AB=a−3b，AC=ma+b．(Ⅰ)求线段AB的长；(Ⅱ)当m为何值时，∠ABC=π2？【答案】解：(I)a⋅b=1×1×cos60∘=12，∴AB2=a2−6a⋅b+9b2=1−3+9=7，∴|AB|=|AB|=7．(II)若∠ABC=π2，则AB⊥BC，∴AB⋅BC=0，即AB⋅(AC−AB)=0，∴AB⋅AC−AB2=0，又AB⋅AC=(a−3b)⋅(ma+b)=ma2+a⋅b−3ma⋅b−3b2=−m2−52，∴−m2−52−7=0，解得m=−19．【解析】(I)计算AB2，再开方得出|AB|；(II)令AB⋅BC=0，列方程求出m的值．本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．2.已知向量a=(sinx,cosx)、b=(cosx,cosx)，f(x)=a⋅b，x∈R．(Ⅰ)求f(x)的最大值；(Ⅱ)若将函数y=f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位，所得到的曲线关于y轴对称，求φ的最小值．【答案】解：(Ⅰ)向量a=(sinx,cosx)、b=(cosx,cosx)，则：f(x)=a⋅b，=sinxcosx+cos2x，=12sin2x+1+cos2x2．=22sin(2x+π4)+12，当2x+π4=2kπ+π2(k∈Z)，即：x=kπ+π8(k∈Z)，函数f(x)的最大值为2+12．(Ⅱ)由于f(x)=22sin(2x+π4)+12，11/11将函数y=f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位，得到：g(x)=22sin(2x−2φ+π4)+12，所得到的曲线关于y轴对称，故：−2φ+π4=kπ+π2(k∈Z)，解得：φ=kπ2−π8(k∈Z)，由于：φ>0，当k=1时，φ=3π8．即为最小值．【解析】(Ⅰ)首先利用平面向量的数量积运算和三角函数关系式的恒等变换，把三角函数的关系式转换为正弦型函数，进一步求出函数的最大值．(Ⅱ)利用函数的关系式和函数的图象的平移变换的应用和函数的对称执行求出φ的最小值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的横行变换，正弦型函数性质的应用，函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．1.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为10000辆.本年度为适应市场需求，计划适度增加投入成本，提高产品档次.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润=(出厂价一投入成本)×年销售量．(ⅰ)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(ⅱ)投入成本增加的比例多大时，木年度预计的年利润最大？最大值是多少？【答案】解：(i)y=[1.2(1+0.75x)−(1+x)]×10000(1+0.6x)=10000(0.2−0.1x)(1+0.6x)=200(−3x2+x+10)，(0<x<1)．(ii)函数y=200(−3x2+x+10)的图象开口向下，对称轴为直线x=16．∴当x=16时，y取得最大值60503．∴投入成本增加的比例为16时，本年度预计的年利润最大，最大值是60503万元．【解析】(i)根据利润公式得出解析式；(ii)根据二次函数的性质得出最大值．11 11="">0时，f(x)=x2−2x．(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)a∈R，函数f(x)−a零点的个数为F(a)，求函数F(a)的解析式．【答案】解：(Ⅰ)当x∈(−∞,0)时，−x∈(0,+∞)，∵y=f(x)是奇函数，∴f(x)=−f(−x)=−((−x)2−2(−x))=−x2−2x，∴f(x)=−x2−2x,x<0x2−2x,x≥0．当x>0时，函数是文昌市开口向上，增区间是：[1,+∞)；当x<0时，函数是二次函数，开口向下，增区间是：(−∞,−1]；函数的单调增区间为：(−∞,−1]，[1,+∞)；(Ⅱ)当x∈[0,+∞)时，f(x)=x2−2x=(x−1)2−1，最小值为−1；∴当x∈(−∞,0)时，f(x)=−x2−2x=1−(x+1)2，最大值为1．∴据此可作出函数y=f(x)的图象，根据图象得，若方程f(x)=a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(−1,1)此时F(a)=3.a=±1时，F(a)=2，a>1或a<−1时，F(a)=1．所以F(a)=1,a<−1或a>1．2,a=±13,−1</x<1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润=(出厂价一投入成本)×年销售量．(ⅰ)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(ⅱ)投入成本增加的比例多大时，木年度预计的年利润最大？最大值是多少？【答案】解：(i)y=[1.2(1+0.75x)−(1+x)]×10000(1+0.6x)=10000(0.2−0.1x)(1+0.6x)=200(−3x2+x+10)，(0<x<1)．(ii)函数y=200(−3x2+x+10)的图象开口向下，对称轴为直线x=16．∴当x=16时，y取得最大值60503．∴投入成本增加的比例为16时，本年度预计的年利润最大，最大值是60503万元．【解析】(i)根据利润公式得出解析式；(ii)根据二次函数的性质得出最大值．11></x2<x3b.x2<x1<x3c.x1<x3<x2d.x3<x2<x1【答案】a【解析】解：f(x)=x+2x的零点必定小于零，g(x)=x+lnx的零点必位于(0,1)内，函数h(x)=x−x−1的零点必定大于1．因此，这三个函数的零点依次增大，故x1<x2<x3．故选：a．利用估算方法，将各函数的零点问题确定出大致区间进行零点的大小比较问题是解决本题的关键.必要时结合图象进行分析．本题考查函数零点的定义，函数零点就是相应方程的根，利用估算方法比较出各函数零点的大致位置，进而比较出各零点的大小．3.函数f(x)=x−1x，若不等式t⋅f(2x)≥2x−1对x∈(0,1]恒成立，则t的取值范围是(>