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天津市2022学年河西区高一上学期期末考试数学试卷
天津市2022学年河西区高一上学期期末考试数学试卷
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2022-2022学年天津市河西区高一(上)期末数学试卷一、选择题(本大题共8小题,共24.0分)1.若sinα>0,且cosα<0,则角α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角2.已知角α终边经过点P(-4a,3a)(a<0),则2sinα+cosα的值为( )A.−25B.25C.0D.−25或253.下列函数中,随x(x>0)的增大,增长速度最快的是( )A.y=1B.y=xC.y=2xD.y=ex4.函数y=sin2x是( )A.最小正周期为2π的偶函数B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为π的奇函数5.给出下列命题:①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;②若|a|=|b|,则a=b;③若AB=DC,则ABCD为平行四边形;④在平行四边形ABCD中,一定有AB=DC;⑤若m=n,n=p,则m=p其中不正确的个数是( )A.2B.3C.4D.56.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2,则这个圆心角所对的弧长是()A.2B.2sin 1C.2sin1D.sin27.为得到函数y=cos(x+π3)的图象,只需将函数y=sinx的图象( )A.向左平移π6个单位长度B.向右平移π6个单位长度C.向左平移5π6个单位长度D.向右平移5π6个单位长度8.已知定义域为(0,+∞)上的单调递增函数f(x),满足:∀x∈(0,+∞),有f(f(x)-lnx)=1,则方程f(x)=-x2+4x-2解的个数为( )A.0B.1C.2D.3二、填空题(本大题共6小题,共24.0分)9.若sinθ=-45,tanθ>0,则cosθ=______.10.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AB+AD=λAO,则λ=______.11.函数y=cosx−12的定义域为______.12.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如图所示,则φ=______.11/11\n1.某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/100kg)与上市时间£(单位:天)的数据如下表:时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间z的变化关系.Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a•bt,Q=a•logat.利用你选取的函数,求得:(I)西红柿种植成本最低时的上市天数是______;(Ⅱ)最低种植成本是______(元/100kg).2.若函数f(x)=log2x+x-k在区间(2,3)上只有一个零点,则k的取值范围是______.三、解答题(本大题共6小题,共52.0分)3.化简下列各式:(Ⅰ)cos2(-α)−tan(360°+α)sin(−α);(Ⅱ)11−tanθ−11+tanθ.4.已知sinα=-45,α∈(π,3π2),cosβ=12,(3π2,2π),试求:(1)sin2α的值; (2)cos(α-β)的值.5.如图,平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M,且AB=a,AD=b,试用a,b表示向量MA,MB,MC和MD吗?11/11\n1.在△ABC中,A,B,C是△ABC的内角,B=2π3,求sinA+sinC的取值范围.2.已知线段AB和AB外点O,求证:(Ⅰ)若M是线段AB的中点,则OM=12(OA+OB);(Ⅱ)若AP=tAB(t∈R),则OP=(1-t)OA+tOB.3.已知函数f(x)=3sinωx+φ2cosωx+φ2+sin2ωx+φ2(ω>0,0<φ<π2)的周期为π,且过点(π3,1)(1)求函数f(x)的表达式;(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的值域.11/11\n答案和解析1.【答案】B【解析】解:由sinα>0,可得α为第一、第二及y轴正半轴上的角;由cosα<0,可得α为第二、第三及x轴负半轴上的角.∴取交集可得,α是第二象限角.故选:B.直接由三角函数的象限符号取交集得答案.本题考查了三角函数的象限符号,是基础的会考题型.2.【答案】A【解析】解:∵角α的终边经过点(-4a,3a),a<0;∴x=-4a,y=3a,r==-5a∴sinα==-,cosα==,∴2sinα+cosα=2×=;故选:A.利用三角函数的定义,求出sinα、cosα,即可得到结论.本题考查三角函数的定义,考查学生的计算能力,属于基础题.3.【答案】D【解析】解:因为y=ax是指数函数,且当a>1,底数越大,增速越快故选:D.根据幂函数、指数函数与一次函数的增长差异,即可得出结论.本题考查了指数函数,幂函数与一次函数的增长差异问题,解题时应熟记基本初等函数的图象和性质.4.【答案】D【解析】解:∵函数y=sin2x中ω=2∴最小正周期为T==π又∵y=sin2x满足f(-x)=-f(x)∴函数y=sin2x是奇函数因此,函数y=sin2x是最小正周期为π的奇函数故选:D.根据三角函数的周期公式算出最小正周期T=π,结合正弦函数的奇偶性即可得到本题答案.本题给出三角函数式,求函数的周期与奇偶性.着重考查了三角函数的周期公式和函数奇偶性判断等知识,属于基础题.5.【答案】B【解析】解:对于①,两个向量相等时,若它们的起点相同,则终点也相同,①错误;对于②,若||=||,则=不一定成立,②错误;对于③,若=,则ABCD不一定构成四边形,③错误;11/11\n对于④,平行四边形ABCD中,||=||,且方向相同,∴=,④正确;对于⑤,若=,=,根据向量相等的定义知=,⑤正确;综上,其中不正确的序号是①②③,共3个.故选:B.根据两向量相等的定义判断①错误,②错误;根据=时ABCD不一定构成四边形,判断③错误;根据平行四边形的定义与向量相等的定义,判断④正确;根据向量相等的定义判断⑤正确.本题考查了向量相等的概念与应用问题,是基础题.6.【答案】B【解析】【分析】本题给出扇形的圆心角和弦长,求扇形的弧长.着重考查了解直角三角形、弧长公式及其应用的知识,属于基础题.作出辅助线,利用解直角三角形求出扇形的半径,是解决问题的关键.设扇形OAB中∠AOB=2,过0点作OC⊥AB于点C,延长OC交弧AB于D点.在Rt△AOC利用三角函数的定义求出半径AO长,再代入弧长公式加以计算,可得所求弧长的值.【解答】解:如图所示,设扇形OAB中,圆心角∠AOB=2,过0点作OC⊥AB于点C,延长OC,交弧AB于D点,则∠AOD=∠BOD=1,AC=AB=1,∵Rt△AOC中,AO==,得半径r=,∴弧AB长l=α•r=2•=.故选B.7.【答案】C【解析】解:∵函数y=cos(x+)==∴为得到函数y=cos(x+)的图象,只需将函数y=sinx的图象向左平移个单位长度故选:C.先利用诱导公式化简,再利用左加右减的平移规律,即可得到结论.本题考查诱导公式的运用,考查三角函数图象的平移,正确运用左加右减的平移规律是关键.8.【答案】D【解析】解:由于定义域为(0,+∞)上的单调递增函数f(x)满足f(f(x)-lnx)=1,f(x)=-x2+4x-2,故必存在唯一的正实数a,使f(x)-lnx=a,f(a)=1①,11/11\n∴f(a)-lna=a②.由①②求得a=1,故f(x)=1+lnx,方程f(x)=-x2+4x-2,即1+lnx=-x2+4x-2,即-x2+4x-3=lnx.故方程解的个数即函数y=-x2+4x-3的图象和函数y=lnx的图象的交点个数.数形结合可得函数y=-x2+4x-3的图象和函数y=lnx的图象的交点个数为3,故选:D.由题意可得,存在唯一的正实数a,使f(x)-lnx=a,f(a)=1,求得a=1,可得f(x)的解析式,方程即-x2+4x-3=lnx.故方程解的个数,即函数y=-x2+4x-3的图象和函数y=lnx的图象的交点个数,数形结合可得结论.本题考查对数的运算性质的综合运用,综合性强,难度大.解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化,属于中档题.9.【答案】−35【解析】解:由已知,θ在第三象限,∴,∴cosθ=.故答案为:-.根据sin2θ+cos2θ=1可得答案.本题主要考查简单的三角函数的运算.属于基础知识、基本运算的考查.10.【答案】解:∵四边形ABCD为平行四边形,对角线AC与BD交于点O,∴AB+AD=AC,又O为AC的中点,∴AC=2AO,∴AB+AD=2AO,∵AB+AD=λAO,∴λ=2.故答案为:2.【解析】依题意,+=,而=2,从而可得答案.本题考查平面向量的基本定理及其意义,属于基础题.11.【答案】[2kπ-π3,2kπ+π3],k∈Z【解析】解:由y=,得到cosx-≥0,即cosx≥,解得:2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,11/11\n则函数的定义域为[2kπ-,2kπ+],k∈Z.答案:[2kπ-,2kπ+],k∈Z.根据负数没有平方根,以及余弦函数的值域确定出函数定义域即可.此题考查了函数的定义域及其求法,熟练掌握算术平方根定义及余弦函数的值域是解本题的关键.12.【答案】9π10【解析】解:由图象知函数y=sin(ωx+φ)的周期为2(2π-)=,∴=,∴ω=.∵当x=π时,y有最小值-1,因此×+φ=2kπ-(k∈Z).∵-π≤φ<π,∴φ=.故答案为:根据函数的图象,求出周期,利用周期公式求出ω,当x=π时,y有最小值-1,以及-π≤φ<π,求出φ即可.本题是基础题,考查三角函数的图象的应用,考查学生的视图用图能力,注意-π≤φ<π的应用,考查计算能力.13.【答案】120 80【解析】解:由提供的数据知,描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是常数函数,也不是单调函数,而函数Q=at+b,Q=a•bt,Q=a•logbt,在a≠0时,均为单调函数,这与表格提供的数据不吻合,故选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述,将表格所提供的三组数据(60,116),(100,84),(180,116)分别代入Q可得,,解得a=,b=-,c=224,∴Q=t2-t+224,(I)Q=t2-t+224的对称轴为t=120,开口向上,在对称轴处即t=120天时函数取最小值;11/11\n(Ⅱ)当t=120时,Q=×1202-×120+224=80;故答案为:120,80.由提供的数据知,描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是单调函数,故选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述,将表格所提供的三组数据代入Q,即得函数解析式;(I)根据Q的函数关系,由二次函数的性质即可求得答案;(Ⅱ)由(I)中的结论,即可得到答案.本题主要考查函数模型的选择与应用.解决实际问题通常有四个步骤:(1)阅读理解,认真审题;(2)引进数学符号,建立数学模型;(3)利用数学的方法,得到数学结果;(4)转译成具体问题作出解答,其中关键是建立数学模型.属于中档题.14.【答案】(3,3+log23)【解析】解:∵函数f(x)=log2x+x-k在区间(2,3)上单调递增,又∵函数f(x)=log2x+x-k(k∈N)在区间(2,3)上只有一个零点,∴f(2)f(3)<0,即(3-k)(3+log23-k)<0,解得3<k<3+log23,k的取值范围是:(3,3+log23).故答案为:(3,3+log23).由题意可得f(2)f(3)<0,解关于k的不等式,即可.本题考查函数零点的判定定理,涉及不等式的解法,属基础题.15.【答案】解:(Ⅰ)cos2(-α)−tan(360°+α)sin(−α)=cos2α−tanα−sinα=cos2α+1cosα;(Ⅱ)11−tanθ−11+tanθ=1+tanθ−1+tanθ1−tan2θ=2tanθ1−tan2θ=tan2θ.【解析】(Ⅰ)由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简即可;(Ⅱ)通分后由二倍角的正切得答案.本题考查三角函数的化简求值,考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用,是基础题.16.【答案】解:(1)∵sinα=-45,α∈(π,3π2),∴cosα=-35∴sin2α=2sinαcosα=2425;(2)∵11/11\ncosβ=12,(3π2,2π),∴sinβ=-32∴cos(α-β)=(−35)⋅12+(−45)⋅(−32)=−3+4310.【解析】(1)利用诱导公式、二倍角公式,即可得出结论;(2)利用差角的余弦公式,即可得出结论.本题考查差角的余弦公式,考查学生的计算能力,属于基础题.17.【答案】解:平行四边形ABCD中,AB=a,AD=b,则MA=-12AC=-12(AB+AD)=-12a-12b,MB=12DB=12(AB-AD)=12a-12b,MC=-MA=12a+12b,MD=-MB=-12a+12b.【解析】根据平面向量的线性运算法则,用、表示出、、和.本题考查了平面向量的线性表示与应用问题,是基础题.18.【答案】解:sinA+sinC=sinA+sin(π3−A)=sinA+32cosA-12sinA=12sinA+32cosA=sin(A+π3).∵A∈(0,π3),∴(A+π3)∈(π3,2π3),∴sin(A+π3)∈(32,1].【解析】利用和差公式、三角形内角和定理及其三角函数的单调性即可得出.本题考查了和差公式、三角形内角和定理及其三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.11/11\n19.【答案】证明:(Ⅰ)如图所示:已知线段AB和AB外点O,在△OAB中,延长OM到D,使OM=MD,则:OD=2OM=OA+AD,由于AD=OB,所以:OM=12(OA+OB);(Ⅱ)由于:AP=tAB(t∈R),则:OP−OA=t(OB−OA),整理得:OP=(1-t)OA+tOB.【解析】(Ⅰ)直接利用向量的线性运算求出结果.(Ⅱ)利用向量的线性运算和三角形法则求出结果.本题考查的知识要点:三角形法则的应用,向量的线性运算的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.20.【答案】解:(1)f(x)=3sinωx+φ2cosωx+φ2+sin2ωx+φ2=32sin(ωx+φ)-12cos(ωx+φ)+12=sin(ωx+φ-π6)+12,T=2πω=π,∴ω=2,∵函数图象过点(π3,1),∴f(π3)=sin(2•π3-π6+φ)+12=1,即sin(π2+φ)=cosφ=12,∵0<φ<π2,∴φ=π3,∴f(x)=sin(2x+π6)+12,11/11\n(2)∵x∈[0,π2],∴2x+π6∈[π6,7π6],∴sin(2x+π6)∈[-12,1],∴0≤sin(2x+π6)+12≤32,即函数f(x)在区间[0,π2]上的值域为[0,32].【解析】(1)利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理,利用周期求得ω,利用已知点求得φ,得到函数解析式.(2)利用x的范围确定2x+的范围,进而利用三角函数的性质求得函数的值域.本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,三角函数图象与性质.要求学生对三角函数的图象能熟练掌握.11/11
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发布时间:2022-08-25 20:28:20
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