广西陆川县2022届高三数学上学期期中试题文
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广西陆川县2022届高三数学上学期期中试题文一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.1.已知,为虚数单位,,则()A.9B.-9C.24D.-342.若集合,,则()A.B.C.D.3.已知向量,且,则()A.B.C.6D.84.正四棱锥的底面边长为a,侧棱长为l,则的取值范围为()A.(,+∞)B.(,+∞)C.(1,+∞)D.(2,+∞)5.已知两个非零向量a,b满足a·(a-b)=0,且2|a|=|b|,则向量a,b的夹角为()A.B.C.D.6.已知函数=sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|<)的最小正周期为4π,且对任意x∈R,都有≤成立,则图象的一个对称中心的坐标是( )A.B.C.D.7.已知命题:“方程有实根”,且为真命题的充分不必要条件为,则实数的取值范围是()A.B.C.D.8.设f(n)=cos(+),则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2022)=()A.-B.-C.0D.9.已知向量,若,则的最小值为()A.4B.6C.D.-9-\n10.已知y=f(x)为(0,+∞)上的可导函数,且有+>0,则对于任意的a,b∈(0,+∞),当b>a时,有( )A.af(b)>bf(a)B.af(b)<bf(a)C.af(a)<bf(b)D.af(a)>bf(b)11.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女子善织,日益功,疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈(1匹=40尺,一丈=10尺),问日益几何?”其意思为:“有一女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越快,从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,第一天织5尺,一月织了九匹三丈,问每天增加多少尺布?”若一个月按31天算,记该女子一个月中的第天所织布的尺数为,则的值为( )A.B.C.D.12.对于任意实数x,定义[x]为不大于x的最大整数(例如:[3.6]=3,[-3.6]=-4等),设函数f(x)=x-[x],给出下列四个结论:①f(x)≥0;②f(x)<1;③f(x)是周期函数;④f(x)是偶函数.其中正确结论的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分;13、数列满足,,则=__________.14、抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是__________.15、已知两个单位向量、的夹角为,,若,则实数=__________.16、已知曲线在点处的切线与曲线也相切,则的值是__________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.-9-\n17、等比数列的各项均为正数,且.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和?18、已知函数,,.(1)求函数的值域;(2)若函数的图像与直线的两个相邻交点间的距离为,求函数的单调区间?19、如图,从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名,将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下:观察图形,回答下列问题:(1)估计这次环保知识竞赛成绩的中位数;(2)从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选两人,求他们在同一分数段的概率?20、如图所示,在四棱锥中,平面,底面是菱形,,,.为与的交点,为棱上一点,(1)证明:平面⊥平面;(2)若三棱锥的体积为,求证:∥平面.-9-\n21.已知函数,.(1)求函数的单调区间;(2)若关于的方程有实数根,求实数的取值范围.请考生在22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时,请用2B铅笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑。22.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程将圆x2+y2-2x=0向左平移一个单位长度,再把所得曲线上每一点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的倍得到曲线C.(1)写出曲线C的参数方程;(2)以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为ρsin=,若A,B分别为曲线C及直线l上的动点,求的最小值.23.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知f=.(1)解不等式f>;(2)若0<x1<1,x2=f,x3=f,求证:<<.-9-\n参考答案(文科)1.A2.B3.D4.B5.B6.B7.B8.A9.B10.C11.B12.C13、14、15、16、17、解:(1)设数列的公比为,由,所以,由条件可知,故;………………2分由,所以,………………4分故数列的通项公式为………………6分(2)………………9分∴∴数列的前项和………………12分………………4分………………6分-9-\n………………8分………………11分…………12分19、解:(1)根据频率分步直方图的意义,计算可得40~50、50~60、60~70、70~80、90~100这5组的频率,由频率的性质可得80~90这一组的频率,进而由频率、频数的关系,计算可得答案;根据频率分步直方图中计算平均数、众数、中位数的方法,计算可得答案:中位数为70………………6分(2)记“取出的2人在同一分数段”为事件E,因为80~90之间的人数为40×0.1=4,设为a、b、c、d,90~100之间有40×0.05=2人…………8分设为A、B,从这6人中选出2人,有(a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,A)、(a、B)、(b,c)、(b,d)、(b,A)、(b、B)、(c、d)、(c、A)、(c、B)、(d、A)、(d、B)、(A、B),共15个基本事件,其中事件A包括(a,b)、(a,c)、(a,d)、(b,c)、(b,d)、(c、d)、(A、B),共7个基本事件………………11分∴.………………12分20、证明:(1)∵ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∵PD⊥底面ABCD,∴AC⊥PD,………………3分且∵BDPD=D,∴AC⊥平面PBD,又∵AC⊂平面AEC,∴平面AEC⊥平面PDB.………………5分-9-\n(2)取AD中点H,连结BH,PH,在△PBH中,经点E作EF∥BH,交PH于点F,∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=60°,∴BH⊥AD,………………7分又BH⊥PD,AD∩PD=D,∴BH⊥平面PAD,EF⊥平面PAD,可得:BH=AB=∴VP﹣EAD=VE﹣PAD=SPAD×EF==×2×EF=,VB﹣PAD=×S△PAD×BH=×==.∴EF=,∴==,可得E为PB中点………………10分又∵O为BD中点,∴OE∥PD,∵PD⊄平面EAC,OE⊂平面EAC,∴PD∥平面EAC………………12分21.(1)单调递增区间为,单调递减区间为;(2).(1)依题意,得,.令,即,解得;令,即,解得,故函数的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)由题得,.依题意,方程有实数根,即函数存在零点,又,令,得.-9-\n当时,,即函数在区间上单调递减,而,,所以函数存在零点;当时,,随的变化情况如表:极小值所以为函数的极小值,也是最小值.当,即时,函数没有零点;当,即时,注意到,,所以函数存在零点.综上所述,当时,方程有实数根.22、解:(1)圆x2+y2-2x=0的标准方程为(x-1)2+y2=1,向左平移一个单位长度,所得曲线为x2+y2=1,2分把曲线x2+y2=1上每一点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的倍得到曲线C:+y2=1,故曲线C的参数方程为(α为参数).5分(2)由ρsin=,得ρcosθ+ρsinθ=3,由x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得直线l的直角坐标方程为x+y-3=0,7分所以曲线C上的点到直线l的距离d==≥=,当α=时取等号.-9-\n所以≥,即的最小值为.10分23.解:(1)f>,即>,所以2分当x≥0时,即得x>0;当-<x<0时,即该不等式组无解;当x<-时,即得x<-2.所以不等式f>的解集为∪.5分(2)证明:因为0<x1<1,所以x2=f=>,==2+x1.因为0<x1<1,所以2<2+x1<3,所以2<<3,所以<<.8分又==,所以<<.10分-9-
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