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河南省洛阳市高一(上)期末数学试卷
河南省洛阳市高一(上)期末数学试卷
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2022-2022学年河南省洛阳市高一(上)期末数学试卷 一、本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3},则∁U(A∩B)=( )A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4}2.在直角坐标系中,下列直线中倾斜角为钝角的是( )A.y=3x﹣1B.x+2=0C.+=1D.2x﹣y+1=03.线段x﹣2y+1=0(﹣1≤x≤3)的垂直平分线方程为( )A.x+2y﹣3=0B.2x+y﹣3=0C.2x+y﹣1=0D.2x﹣y﹣1=04.函数y=lnx与y=﹣2x+6的图象有交点P(x0,y0),若x0∈(k,k+1),则整数k的值为( )A.1B.2C.3D.45.已知a、b∈R,且满足0<a<1<b,则下列大小关系正确的是( )A.ab<ba<logabB.ba<logab<abC.logab<ba<abD.logab<ab<ba6.半径R的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为( )A.πR3B.πR3C.πR3D.πR37.给出下面四个命题(其中m,n,l为空间中不同的三条直线,α,β为空间中不同的两个平面):①m∥n,n∥α⇒m∥α②α⊥β,α∩β=m,l⊥m⇒l⊥β;③l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α⇒l⊥α④m∩n=A,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β⇒α∥β.其中错误的命题个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个8.若不等式a|x|>x2﹣对任意x∈[﹣1,1]都成立,则实数a的取值范围是( )A.(,1)∪(1,+∞)B.(0,)∪(1,+∞)C.(,1)∪(1,2)D.(0,)∪(1,2)9.在四棱锥P﹣ABCD中,各侧面是全等的等腰三角形,腰长为4且顶角为30°,底面是正方形(如图),在棱PB,PC上各有一点M、N,且四边形AMND的周长最小,点S从A出发依次沿四边形AM,MN,ND运动至点D,记点S行进的路程为x,棱锥S﹣ABCD的体积为V(x),则函数V(x)的图象是( )16/17A.B.C.D.10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,若实数a满足f(lga)+f(lg)≤2f(1),则a的取值范围是( )A.(﹣∞,10]B.[,10]C.(0,10]D.[,1]11.在直角坐标系内,已知A(3,3)是⊙C上一点,折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点(异于点A)重合,两次的折痕方程分别为x﹣y+1=0和x+y﹣7=0,若⊙C上存在点P,使∠MPN=90°,其中M、N的坐标分别为(﹣m,0)(m,0),则m的最大值为( )A.4B.5C.6D.712.若关于m、n的二元方程组有两组不同的实数解,则实数k的取值范围是( )A.(0,)B.(,+∞)C.(,]D.(,] 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(1,﹣3,1),若点M在y轴上,且|MA|=|MB|,则M的坐标是 .14.若函数y=﹣x2+ax﹣2在区间(0,3]上既有最大值又有最小值,则实数a的取值范围为 .15.已知函数,则满足不等式的实数m的取值范围为 .16.一个多面体的直观图和三视图如图,M是A1B的中点,N是棱B1C1上的任意一点(含顶点).①当点N是棱B1C1的中点时,MN∥平面ACC1A1;16/17②MN⊥A1C;③三棱锥N﹣A1BC的体积为VN﹣ABC=a3;④点M是该多面体外接球的球心.其中正确的是 . 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知直线l1:x+my+1=0和l2:(m﹣3)x﹣2y+(13﹣7m)=0.(1)若l1⊥l2,求实数m的值;(2)若l1∥l2,求l1与l2之间的距离d.18.已知函数f(x)=loga(﹣x﹣1)+loga(x+3),其中a>0且a≠1.(1)求函数f(x)的定义域;(2)求函数f(x)的值域.19.如图,△PAD与正方形ABCD共用一边AD,平面PAD⊥平面ABCD,其中PA=PD,AB=2,点E是棱PA的中点.(1)求证:PC∥平面BDE;(2)若直线PA与平面ABCD所成角为60°,求点A到平面BDE的距离.20.已知函数f(x)=(a、b、c∈Z)是奇函数.(1)若f(1)=1,f(2)﹣4>0,求f(x);(2)若b=1,且f(x)>1对任意的x∈(1,+∞)都成立,求a的最小值.21.如图,四边形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=8,BC=6,AB=2,E,F分别在BC,AD上,EF∥AB,现将四边形ABEF沿EF折起,使得平面ABEF⊥平面EFDC.(1)若BE=3,求几何体BEC﹣AFD的体积;(2)求三棱锥A﹣CDF的体积的最大值,并求此时二面角A﹣CD﹣E的正切值.22.已知点A(6,2),B(3,2),动点M满足|MA|=2|MB|.(1)求点M的轨迹方程;(2)设M的轨迹与y轴的交点为P,过P作斜率为k的直线l与M的轨迹交于另一点Q,若C(1,2k+2),求△CPQ面积的最大值,并求出此时直线l的方程. 16/172022-2022学年河南省洛阳市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析 一、本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3},则∁U(A∩B)=( )A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4}【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】直接利用补集与交集的运算法则求解即可.【解答】解:∵集合A={1,2},B={2,3},∴A∩B={2},由全集U={1,2,3,4},∴∁U(A∩B)={1,3,4}.故选:A. 2.在直角坐标系中,下列直线中倾斜角为钝角的是( )A.y=3x﹣1B.x+2=0C.+=1D.2x﹣y+1=0【考点】直线的倾斜角.【分析】根据斜率的正负判断其倾斜角的范围即可.【解答】解:对于A:k=3,是锐角,对于B:是直角,对于C:k=﹣,是钝角,对于D:k=2,是锐角,故选:C. 3.线段x﹣2y+1=0(﹣1≤x≤3)的垂直平分线方程为( )A.x+2y﹣3=0B.2x+y﹣3=0C.2x+y﹣1=0D.2x﹣y﹣1=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.【分析】求出线段的中点坐标,求出线段的垂直平分线的斜率,然后求出垂直平分线方程.【解答】解:x=﹣1时,y=0,x=3时,y=2,∴(﹣1,0),(3,2)的中点为(1,1),线段x﹣2y+1=0的斜率是:k==,线段x﹣2y+1=0(﹣1≤x≤3)的垂直平分线的斜率是:﹣2,故所求直线方程是:y﹣1=﹣2(x﹣1),即:2x+y﹣3=0,故选:B. 4.函数y=lnx与y=﹣2x+6的图象有交点P(x0,y0),若x0∈(k,k+1),则整数k的值为( )16/17A.1B.2C.3D.4【考点】函数的图象.【分析】可判断函数f(x)=lnx﹣6+2x连续,从而由零点的判定定理求解.【解答】解:设f(x)=lnx+2x﹣6,因为函数f(x)=lnx﹣6+2x连续,且f(2)=ln2﹣6+4=ln2﹣2<0,f(3)=ln3﹣6+6=ln3>0;故函数y=lnx﹣6+2x的零点在(2,3)之间,故x0∈(2,3);∵x0∈(k,k+1),∴k=2,故选B. 5.已知a、b∈R,且满足0<a<1<b,则下列大小关系正确的是( )A.ab<ba<logabB.ba<logab<abC.logab<ba<abD.logab<ab<ba【考点】对数值大小的比较.【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解.【解答】解:∵a、b∈R,且满足0<a<1<b,∴logab<loga1=0,ba>b0=a0>ab>0,∴logab<ab<ba.故选:D. 6.半径R的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为( )A.πR3B.πR3C.πR3D.πR3【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).【分析】求出扇形的弧长,然后求出圆锥的底面周长,转化为底面半径,求出圆锥的高,然后求出体积.【解答】解:2πr=πR,所以r=,则h=,所以V=故选A 7.给出下面四个命题(其中m,n,l为空间中不同的三条直线,α,β为空间中不同的两个平面):①m∥n,n∥α⇒m∥α②α⊥β,α∩β=m,l⊥m⇒l⊥β;③l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α⇒l⊥α④m∩n=A,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β⇒α∥β.其中错误的命题个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.【分析】①根据线面平行的判定定理进行判断.②根据线面垂直的性质定理进行判断.16/17③根据线面垂直的定义进行判断.④根据面面平行的判定定理进行判断.【解答】解:①m∥n,n∥α,则m∥α或m⊂α,故①错误,②α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥β或l∥β或l⊂β或l与β相交;故②错误,③l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,若m与n相交,则l⊥α,否则不成立,故③错误,④若m∩n=A,设过m,n的平面为γ,若m∥α,n∥α,则α∥γ,若m∥β,n∥β,则γ∥β,则α∥β成立.故④正确,故错误是①②③,故选:C. 8.若不等式a|x|>x2﹣对任意x∈[﹣1,1]都成立,则实数a的取值范围是( )A.(,1)∪(1,+∞)B.(0,)∪(1,+∞)C.(,1)∪(1,2)D.(0,)∪(1,2)【考点】函数恒成立问题.【分析】设f(x)=a|x|,g(x)=x2﹣,根据不等式的大小关系转化为两个函数的图象关系,利用分类讨论以及数形结合进行求解即可.【解答】解:设f(x)=a|x|,g(x)=x2﹣,当x∈[﹣1,1]时,g(x)∈[﹣,],∵f(x)和g(x)都是偶函数,∴只要保证当x∈[0,1]时,不等式a|x|>x2﹣恒成立即可.当x∈[0,1]时,f(x)=ax,若a>1时,f(x)=ax≥1,此时不等式a|x|>x2﹣恒成立,满足条件.若0<a<1时,f(x)=ax为减函数,而g(x)为增函数,此时要使不等式a|x|>x2﹣恒成立,则只需要f(1)>g(1)即可,即a>1﹣=,此时<a<1,综上<a<1或a>1,故选:A.16/17 9.在四棱锥P﹣ABCD中,各侧面是全等的等腰三角形,腰长为4且顶角为30°,底面是正方形(如图),在棱PB,PC上各有一点M、N,且四边形AMND的周长最小,点S从A出发依次沿四边形AM,MN,ND运动至点D,记点S行进的路程为x,棱锥S﹣ABCD的体积为V(x),则函数V(x)的图象是( )A.B.C.D.【考点】函数的图象.【分析】根据棱锥的体积公式求出函数的解析式,并根据正四棱锥侧面展开图,从A到D最短距离为直角三角形PAD的斜边为4,求出x的范围,判断函数的图象即可.【解答】解:四棱锥P﹣ABCD中,各侧面是全等的等腰三角形,腰长为4且顶角为30°,∴BC2=PB2+PC2﹣2PB•PCcos30°=16+16﹣2×4×4×=32﹣16,∴底面正方形的面积s=32﹣16,h=xtan30°,∴V(x)=sh=xtan30°,为线性函数,∵四边形AMND的周长最小,正四棱锥侧面展开图如图所示,∴正四棱锥侧面展开图,从A到D最短距离为直角三角形PAD的斜边为4,∴x≤4故选:C.16/17 10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,若实数a满足f(lga)+f(lg)≤2f(1),则a的取值范围是( )A.(﹣∞,10]B.[,10]C.(0,10]D.[,1]【考点】奇偶性与单调性的综合.【分析】根据函数的奇偶数和单调性之间的关系,将不等式进行等价转化即可得到结论.【解答】解:∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,∴f(lga)+f(lg)≤2f(1),等价为f(lga)+f(﹣lga)=2f(lga)≤2f(1),即f(lga)≤f(1).∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)单调递增,∴f(lga)≤f(1)等价为f(|lga|)≤f(1).即|lga|≤1,∴﹣1≤lga≤1,解得≤a≤10,故选:B. 11.在直角坐标系内,已知A(3,3)是⊙C上一点,折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点(异于点A)重合,两次的折痕方程分别为x﹣y+1=0和x+y﹣7=0,若⊙C上存在点P,使∠MPN=90°,其中M、N的坐标分别为(﹣m,0)(m,0),则m的最大值为( )A.4B.5C.6D.7【考点】直线与圆的位置关系.【分析】求出⊙C的方程,过P,M,N的圆的方程,两圆外切时,m取得最大值.【解答】解:由题意,∴A(3,3)是⊙C上一点,折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点(异于点A)重合,两次的折痕方程分别为x﹣y+1=0和x+y﹣7=0,∴圆上不相同的两点为B(2,4,),D(4,4),∵A(3,3),BA⊥DA∴BD的中点为圆心C(3,4),半径为1,∴⊙C的方程为(x﹣3)2+(y﹣4)2=1.过P,M,N的圆的方程为x2+y2=m2,∴两圆外切时,m的最大值为+1=6,故选:C.16/17 12.若关于m、n的二元方程组有两组不同的实数解,则实数k的取值范围是( )A.(0,)B.(,+∞)C.(,]D.(,]【考点】根的存在性及根的个数判断.【分析】由题意作函数n=1+与直线n=k(m﹣2)+4的图象,从而化为图象的交点的个数问题,从而解得.【解答】解:由题意作函数n=1+与直线n=k(m﹣2)+4的图象如下,直线n=k(m﹣2)+4过定点A(2,4),当直线n=k(m﹣2)+4过点C时,=2,解得,k=,当直线n=k(m﹣2)+4过点B时,k==,结合图象可知,<k≤,故选:D. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(1,﹣3,1),若点M在y轴上,且|MA|=|MB|,则M的坐标是 .【考点】空间两点间的距离公式;空间中的点的坐标.16/17【分析】设出点M(0,y,0),由|MA|=|MB|,建立关于参数y的方程,求y值即可.【解答】解:设设M(0,y,0),由|MA|=|MB|,可得=,即y2+5=(y+3)2+2,解得:y=﹣1.M的坐标是(0,﹣1,0).故答案为:(0,﹣1,0). 14.若函数y=﹣x2+ax﹣2在区间(0,3]上既有最大值又有最小值,则实数a的取值范围为 .【考点】二次函数的性质.【分析】先求出函数的对称轴,根据二次函数的性质求出a的范围即可.【解答】解:函数y=﹣x2+ax﹣2,对称轴x=,若函数在区间(0,3]上既有最大值又有最小值,∴0<≤,解得:0<a≤3,故答案为:(0,3]. 15.已知函数,则满足不等式的实数m的取值范围为 .【考点】指、对数不等式的解法;函数单调性的性质.【分析】由函数的解析式求得f()==2,画出函数f(x)的图象,求得A、B的横坐标,可得满足不等式的实数m的取值范围【解答】解:∵函数,∴f()==2,∴函数f(x)的图象如图所示:令=2,求得x=,故点A的横坐标为,令3x﹣3=2,求得x=log35,故点B的横坐标为log35.∴不等式,即f(m)≤2.16/17顾满足f(m)≤2的实数m的取值范围为,故答案为. 16.一个多面体的直观图和三视图如图,M是A1B的中点,N是棱B1C1上的任意一点(含顶点).①当点N是棱B1C1的中点时,MN∥平面ACC1A1;②MN⊥A1C;③三棱锥N﹣A1BC的体积为VN﹣ABC=a3;④点M是该多面体外接球的球心.其中正确的是 .【考点】棱柱的结构特征.【分析】本题是直观图和三视图的综合分析题,要抓住M是A1B的中点,N是棱B1C1上的任意一点(含顶点)就是动点,从三视图抓住直观图的特征,结合下情况分别证明.【解答】解:①M连接AB中点E,N连接BC中点F,得到MNFE平行于平面ACC1A1,面面平行⇒线面平行,①正确;②M连接A1C中点G,连接C1G,A1C⊥平面MNC1G.∴MN⊥A1C;②正确;③三棱锥N﹣A1BC的体积为VN﹣A===a3,③正确;16/17④由三视图可知:此多面体是正方体切割下来了的,M是A1B的中点(空间对角线中点),是正方体中心,∴点M是该多面体外接球的球心.故④正确.故答案为:①②③④. 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知直线l1:x+my+1=0和l2:(m﹣3)x﹣2y+(13﹣7m)=0.(1)若l1⊥l2,求实数m的值;(2)若l1∥l2,求l1与l2之间的距离d.【考点】两条平行直线间的距离;直线的一般式方程与直线的垂直关系.【分析】(1)由垂直可得1•(m﹣3)﹣2m=0,解方程可得;(2)由l1∥l2可得m值,可得直线方程,由平行线间的距离公式可得.【解答】解:(1)∵直线l1:x+my+1=0和l2:(m﹣3)x﹣2y+(13﹣7m)=0,∴当l1⊥l2时,1•(m﹣3)﹣2m=0,解得m=﹣3;(2)由l1∥l2可得m(m﹣3)+2=0,解得m=1或m=﹣2,当m=2时,l1与l2重合,应舍去,当m=1时,可得l1:x+y+1=0,l2:﹣2x﹣2y+6=0,即x+y﹣3=0,由平行线间的距离公式可得d==2 18.已知函数f(x)=loga(﹣x﹣1)+loga(x+3),其中a>0且a≠1.(1)求函数f(x)的定义域;(2)求函数f(x)的值域.【考点】对数函数的图象与性质.【分析】(1)根据函数成立的条件即可求函数f(x)的定义域;(2)根据对数的运算性质,以及符合函数的值域的求法,即可得到答案,需要分类讨论.【解答】解:(1)要使函数有意义,则.解得:﹣3<x<﹣1.即f(x)的为定义域(﹣3,1),(2)f(x)=loga(﹣x﹣1)+loga(x+3)=loga[﹣(x+1)(x+3)],令t=﹣(x+1)(x+3),∵﹣3<x<﹣1,∴0<t≤1,当0<a<1时,值域为[0,+∞),当a>1时,值域为(﹣∞,0]. 19.如图,△PAD与正方形ABCD共用一边AD,平面PAD⊥平面ABCD,其中PA=PD,AB=2,点E是棱PA的中点.(1)求证:PC∥平面BDE;(2)若直线PA与平面ABCD所成角为60°,求点A到平面BDE的距离.16/17【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定.【分析】(1)连接AC,交BD于O,连接EO,证明PC∥OE,即可证明PC∥平面BDE;(2)取AD的中点N,连接PN,证明∠PAN为直线PA与平面ABCD所成角,利用等体积方法求点A到平面BDE的距离.【解答】(1)证明:连接AC,交BD于O,连接EO,则∵ABCD是正方形,∴O是AC的中点,∵点E是棱PA的中点,∴PC∥OE,∵OE⊂平面BDE,BD⊄平面BDE,∴PC∥平面BDE;(2)解:取AD的中点N,连接PN,则∵PA=PD,∴PN⊥AD,∵平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PN⊥平面ABCD,∴∠PAN为直线PA与平面ABCD所成角∴∠PAN=60°∴PA=PD=AD=2,∵AB⊥AD,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴AB⊥平面PAD,∴VB﹣DAE==,Rt△EAB中,EA=1,AB=2,BE=,∵,BD=2,∴DE⊥EB,∴S△BDE==.设点A到平面BDE的距离为h.则,∴h=,∴点A到平面BDE的距离为.16/17 20.已知函数f(x)=(a、b、c∈Z)是奇函数.(1)若f(1)=1,f(2)﹣4>0,求f(x);(2)若b=1,且f(x)>1对任意的x∈(1,+∞)都成立,求a的最小值.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;函数奇偶性的性质.【分析】(1)根据函数是奇函数求出c=0,根据f(1),f(2)的值求出a,b从而求出f(x)即可;(2)问题转化为a>=+对任意x∈(1,+∞)恒成立,令t=,从而求出a的最小值.【解答】解:(1)∵f(x)是奇函数,∴f(x)+f(﹣x)=0,即=0,∴c=0,∴f(x)=,又f(1)==1,∴b=a﹣2,f(2)﹣4=﹣4>0,∴﹣4=>0,∴2<a<,∵a∈Z,∴a=3,b=1,∴f(x)=;(2)b=1时,由(1)得:f(x)=,f(x)>1恒成立即>1对任意x∈(1,+∞)恒成立,即a>=+对任意x∈(1,+∞)恒成立,16/17令t=,∴t∈(0,1),于是+=2t2+t∈(0,3),∴a≥3,a的最小值是3. 21.如图,四边形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=8,BC=6,AB=2,E,F分别在BC,AD上,EF∥AB,现将四边形ABEF沿EF折起,使得平面ABEF⊥平面EFDC.(1)若BE=3,求几何体BEC﹣AFD的体积;(2)求三棱锥A﹣CDF的体积的最大值,并求此时二面角A﹣CD﹣E的正切值.【考点】二面角的平面角及求法;棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】(1)推导出FD⊥平面ABEF,从而AF⊥平面EFDC,CE⊥平面ABEF,连结FC,将几何体BEC﹣AFD分成三棱锥A﹣CDF和四棱锥C﹣ABEF,由此能求出几何体BEC﹣AFD的体积.(2)设BE=x,则AF=x(0<x≤6),FD=8﹣x,V三棱锥A﹣CDF=,当x=4时,V三棱锥A﹣CDF有最大值,∠ACF为二面角A﹣CD﹣E的平面角,由此能求出二面角A﹣CD﹣E的正切值.【解答】解:(1)∵平面ABEF⊥平面EFDC,平面ABEF∩平面EFDC=EF,FD⊥EF,∴FD⊥平面ABEF,又AF⊂平面ABEF,∴FD⊥AF,又AF⊥EF,FD∩EF=F,∴AF⊥平面EFDC,同理,CE⊥平面ABEF,连结FC,将几何体BEC﹣AFD分成三棱锥A﹣CDF和四棱锥C﹣ABEF,对于三棱锥A﹣CDF,棱锥高为AF=BE=3,FD=5,∴V三棱锥A﹣CDF===5,对于四棱锥C﹣ABEF,棱锥高为CE=3,∴V四棱锥C﹣ABEF===6,∴几何体BEC﹣AFD的体积V=V三棱锥A﹣CDF+V四棱锥C﹣ABEF=5+6=11.(2)设BE=x,∴AF=x(0<x≤6),FD=8﹣x,∴V三棱锥A﹣CDF=,∴当x=4时,V三棱锥A﹣CDF有最大值,且最大值为,在直角梯形CDEF中,EF=2,CE=2,DF=4,∴CF=2,CD=2,DF=4,∴CF2+CD2=DF2,∠DCF=90°,∴DC⊥CF,16/17又AF⊥平面EFDC,DC⊂平面EFDC,∴DC⊥AF,又AF∩CF=F,∴DC⊥平面ACF,∴DC⊥AC,∴∠ACF为二面角A﹣CD﹣E的平面角,tan==,∴二面角A﹣CD﹣E的正切值为. 22.已知点A(6,2),B(3,2),动点M满足|MA|=2|MB|.(1)求点M的轨迹方程;(2)设M的轨迹与y轴的交点为P,过P作斜率为k的直线l与M的轨迹交于另一点Q,若C(1,2k+2),求△CPQ面积的最大值,并求出此时直线l的方程.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程.【分析】(1)设M(x,y),由|MA|=2|MB|,利用两点之间的距离公式即可得出.(2)令x=0,可得P(0,2).直线l的方程为:y=kx+2,(k≠0)代入圆的方程可得:(1+k2)x2﹣4x=0,解出可得Q坐标,|PQ|.求出点C到直线l的距离d,△CPQ面积S=|PQ|•d,再利用基本不等式的性质即可得出.【解答】解:(1)设M(x,y),∵|MA|=2|MB|,∴=2,化为:(x﹣2)2+(y﹣2)2=4.(2)令x=0,解得y=2,∴P(0,2).直线l的方程为:y=kx+2,(k≠0)代入圆的方程可得:(1+k2)x2﹣4x=0,解得x=0,或x=.∴Q.∴|PQ|==.点C到直线l的距离d==.∴△CPQ面积S=|PQ|•d=××==≤=1,当且仅当|k|=1时取等号.∴△CPQ面积的最大值1时,此时直线l的方程为:y=±x+2.16/17 16/17
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