湖南省长沙二十一中高二数学上学期期中试题理

长沙市第二十一中学2022年下学期期中考试高二试卷数学（理科）时量：120分钟满分：150分一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.命题“若a=0,则ab=0”的逆否命题是A．若ab=0,则a=0B.若a≠0，则ab≠0C．若ab=0,则a≠0D.若ab≠0，则a≠02.空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)与点B(x，－1,6)的距离为，则x=A．2B．－8C．2或－8D．8或23.已知条件p:都是偶数,条件q:是偶数，那么p是q的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4.直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成的角的余弦值为A．B．C．D．5.椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为A．B．C．D．6.若双曲线x的离心率为，则其渐近线方程为A．B.C.D.7.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则点A1到平面ABC1D1的距离为A.B.C.D.8.过抛物线的焦点作直线交抛物线与，两点，若，则弦的长度为A．B．C．D．9.已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于-8-\nA.B.C.D.10.过椭圆＋＝1（a>b>0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为A．B．C．D．11.如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是A.B.C.D.12.设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且,则直线的斜率的最大值为A．B．C．D．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡上的相应位置）13.设条件p：；条件q：，那么p是q的　　　　　　　条件（填“充分不必要，必要不充分，充要”）.14.在四面体PABC中，PB＝PC＝AB＝AC，M是线段PA上一点，N是线段BC的中点，则∠MNB＝________.15.已知双曲线右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0,2)，则△APF周长的最小值为.16.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形,若∠A1AB=∠A1AD=60º，且A1A=3，则A1C的长为.-8-\n三.解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本题满分10分)已知：，不等式恒成立；：双曲线的焦点在轴上．（1）若“且”为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“或”为真命题，求实数m的取值范围．16.（本题满分12分）已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为（1）若过点的直线与抛物线有且仅有一个交点，求直线的方程；（2）若直线与抛物线交于两点，求的面积.19.（12分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，点P（1，）在椭圆C上，且.（1）求椭圆C的方程；（2）求过右焦点且斜率为1的直线被椭圆C截得的弦长.20.（本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为1-8-\n的菱形，,,,为的中点，为的中点.（1）证明：直线；（2）求点B到平面OCD的距离.21.（本题满分12分）如图，是棱长为的正方体，、分别是棱、上的动点，且．（1）求证：；（2）当点、、、共面时，求线段的长；（3）在（2）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值．-8-\n22、（本题满分12分）已知椭圆和直线L：y＝bx＋2，椭圆的离心率e＝，坐标原点到直线L的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2与椭圆相交于C、D两点，判断是否存在实数k，使得点E在以CD为直径的圆外？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．-8-\n长沙市第二十一中学2022年下学期期中考试高二试卷数学（理科）答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案DCADABCCABBC二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、必要不充分14、15、16、三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17、（10分）解：（1）（2）18.(本小题满分12分)解：（1）已知当直线的斜率不存在时，其方程为，满足题意；当直线的斜率存在时，设方程为，代入得，当时，满足题意，；当时，令综上，直线的方程为：或或15.由（1）易知，联立得，设，则，19.解：（1）由题意，c＝1,可设椭圆方程为。．．．．．．2分-8-\n因为P在椭圆上，所以，解得＝3，＝（舍去）。椭圆方程为．　　　　　　．．．．．．4分另解：依题意知,=4，得椭圆方程。16.依题意知直线方程为，设两交点为由．．．．．．8分=．．．．．．12分20．（12分）解：作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,(1)设平面OCD的法向量为,则即取,解得(2)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,由,得.所以点B到平面OCD的距离为21.（12分）【解析】（1）以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则-8-\n、，设，则，从而、则，所以（2）当、E、F、共面时，，又,所以，因为AE=BF，所以E、F分别为AB,BC的中点，所以EF=AC=3（3）由（2）知、，设平面的一个法向量为，依题意所以同理平面的一个法向量为由图知，面与面夹角的余弦值22（12分）解析：（1）直线l：y＝bx＋2，坐标原点到直线l的距离为．∴b＝1∵椭圆的离心率e＝，∴，解得a2＝3∴所求椭圆的方程是；（2）直线y＝kx＋2代入椭圆方程，消去y可得：（1＋3k2）x2＋12kx＋9＝0∴△＝36k2﹣36＞0，∴k＞1或k＜﹣1设C（x1，y1），D（x2，y2），则有x1＋x2＝－，x1x2＝∵＝（x1＋1，y1），＝（x2＋1，y2），且点E在以CD为直径的圆外。∴.>0∴（x1＋1）（x2＋1）＋y1y2>0∴（1＋k2）x1x2＋（2k＋1）（x1＋x2）＋5>0∴（1＋k2）×＋（2k＋1）×（－）＋5>0，解得k<，综上所述，k＜﹣1或1<k<-8-