福建省福州市马尾区2022届高三数学上学期期中试题文
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福建省福州市马尾区2022届高三数学上学期期中试题文一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。1.设集合,集合,则()A.B.C.D.2.复数为虚数单位)实部与虚部的和为()A.B.C.D.3.函数f(x)=(1-cosx)sinx在-π,π]的图象大致为( ).4.已知等边三角形△的边长为,其重心为,则()A.B.C.D.5.若,,,则()A.B.C.D.6.“a=-1”是“直线a2x-y+6=0与直线4x-(a-3)y+9=0互相垂直”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知曲线,,则下列说法正确的是()A.把上各点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线16\nB.把上各点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C.把曲线向右平移个单位长度,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到曲线D.把曲线向右平移个单位长度,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到曲线8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.B.C.D.9.设x,y满足约束条件则的最大值是()A.B.C.D.10.已知椭圆C:的右焦点为,圆:,双曲线以椭圆C的焦点为顶点,顶点为焦点,若双曲线的两条渐近线都与圆相切,则椭圆C的离心率为()A.B.C.D.11.对大于1的自然数的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”:仿此,若的“分裂数”中有一个是2022,则值为()16\nA.45B.46C.47D.4812.已知函数恰有两个零点,则实数的取值范围是()A.B.C.D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分13.设单位向量,的夹角为,,则.14.函数在点处的切线方程为.15.已知直线与圆交于两点,过分别作的垂线与轴交于两点,若,则__________.16.已知球的半径为,三点在球的球面上,球心到平面的距离为,,则球的表面积为_________.三、解答题:17.(本小题满分10分)已知函数.(Ⅰ)求函数的递增区间;(Ⅱ)的角所对边分别是,角的平分线交于,,,求.18.(本小题满分12分)在等差数列中,,,(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.19.(本小题满分12分)在中,角对应的边分别是,已知.(I)求角的大小;(II)若,求△ABC的面积.16\n20.(本小题满分12分)如图,在多面体中,是等边三角形,是等腰直角三角形,,平面平面,平面,点为的中点.(1)求证:∥平面;(2)若,求三棱锥的体积.21.(本小题满分12分)已知定点Q(,0),P为圆N:上任意一点,线段QP的垂直平分线交NP于点M.(Ⅰ)当P点在圆周上运动时,求点M(x,y)的轨迹C的方程;(Ⅱ)若直线l与曲线C交于A、B两点,且,求证:直线l与某个定圆E相切,并求出定圆E的方程.22.(本小题满分12分)已知函数,(1)讨论的单调性;(2)若,求的取值范围.2022-2022学年度第一学期高三半期考试文科数学试题时间:120分钟满分:150分第Ⅰ卷选择题16\n一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,集合,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】,,.2.复数为虚数单位)实部与虚部的和为()A.B.C.D.【答案】A【解析】,实部为1,虚部为1,和为2,故选A.3.函数f(x)=(1-cosx)sinx在-π,π]的图象大致为( ).C4.已知等边三角形△的边长为,其重心为,则()A.B.C.D.C16\n5.若,,,则()A.B.C.D.D6.“a=-1”是“直线a2x-y+6=0与直线4x-(a-3)y+9=0互相垂直”的( )AA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7已知曲线,,则下列说法正确的是()A.把上各点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线B.把上各点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C.把曲线向右平移个单位长度,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到曲线D.把曲线向右平移个单位长度,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到曲线【答案】B【解析】对于A,,对于B,,对于C,,对于D,,16\n显然选B.8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.B.C.D.【答案】B【解析】该几何体如图所示,9.设x,y满足约束条件则的最大值是()A.B.C.D.【答案】C【解析】由可行域可知,16\n10.已知椭圆C:的右焦点为,圆:,双曲线以椭圆C的焦点为顶点,顶点为焦点,若双曲线的两条渐近线都与圆相切,则椭圆C的离心率为()BA.B.C.D.11.对大于1的自然数的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”:仿此,若的“分裂数”中有一个是2022,则的值为()A.45B.46C.47D.48【答案】A【解析】从到正好用去从3开始的连续奇数个,2022是从3开始的第1008个数,所以12.已知函数恰有两个零点,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】由得令,则在上递减,在上递增,所以又当时,,,所以实数的取值范围是.16\n第Ⅱ卷非选择题二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.请将答案填在答题卡相应位置.13.设单位向量,的夹角为,,则.【答案】【解析】由得,.14.函数在点处的切线方程为.【答案】【解析】,,所以,.15.已知直线与圆交于两点,过分别作的垂线与轴交于两点,若,则__________.【答案】【解析】如图,圆的圆心为(0,0),半径,16\n因为弦,所以直线经过圆心,所以.直线的方程为.所以直线的倾斜角.在中,..16.16.已知球的半径为,三点在球的球面上,球心到平面的距离为,,则球的表面积为三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.(本小题满分10分)已知函数.(Ⅰ)求函数的递增区间;(Ⅱ)的角所对边分别是,角的平分线交于,,,求.17解(Ⅰ),递增得到,解得,所以递增区间是;6分(Ⅱ),得到16\n,由得到,所以角,由正弦定理得,所以,.12分18.(本小题满分12分)在等差数列中,,,(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.【解析】(1).(2)…………-得:,19.(本小题满分12分)在中,角对应的边分别是,已知.16\n(I)求角的大小;(II)若,,求△ABC的面积.【答案】(I);(II)【解析】试题分析:(I)由两角和的余弦公式可得到关于的二次函数,从而求得,则。(II)由正弦定理及余弦定理可得到关于a,c的方程组,从而求得c的长,再由三角形的面积公式即可求解。试题解析:(I)由,得,即…………………………2分解得……………………………………………………4分因为,所以……………………………………………………………6分(II)由又由正弦定理,得…………8分由余弦定理,得,又,所以…………10分20.(本小题满分12分)19.(本小题满分12分)如图,在多面体中,是等边三角形,是等腰直角三角形,,平面平面,平面,点为的中点.16\n(1)求证:∥平面;(2)若,求三棱锥的体积.20.(1)证明:∵△是等腰直角三角形,,点为的中点,∴.∵平面平面,平面平面,平面,∴平面.…………4分∵平面,∴∥.…………5分∵平面,平面,∴∥平面.…………6分(2)法1:由(1)知∥平面,∴点到平面的距离等于点到平面的距离.…………7分∵,△是等边三角形,点为的中点∴…………8分∴…………10分…………12分法2:由(1)知∥平面,∴点到平面的距离等于点到平面的距离.…………7分过作,垂足为点,∵平面,平面,∴.∵平面,平面,,∴平面.…………9分∵,△是等边三角形,∴,,.…………10分∴.16\n∴三棱锥的体积为.…………12分21.已知定点Q(,0),P为圆N:上任意一点,线段QP的垂直平分线交NP于点M.(Ⅰ)当P点在圆周上运动时,求点M(x,y)的轨迹C的方程;(Ⅱ)若直线l与曲线C交于A、B两点,且,求证:直线l与某个定圆E相切,并求出定圆E的方程.21.解:(Ⅰ)依题意可得:圆N的圆心坐标为N(,0),半径为,|MP|=|MQ|,………1分则|MN|+|MQ|=|MN|+|MP|=|NP|=>|NQ|……………………………………………2分根据椭圆的定义,点M的轨迹是以N、Q为焦点,长轴长为的椭圆,即2a=,2c=,∴b=.…………………………………………3分所以点M的轨迹C的方程为:.……………………………………………4分(Ⅱ)当直线的斜率存在时,设直线l为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线与椭圆的方程,得消去y并整理得.……………………6分因为直线与椭圆有两个不同的交点,所以△=,化简得:①…………………7分由韦达定理得:.………………………………8分∴.∵,∴x1x2+y1y2=0,即,………………………9分整理得满足①式,∴,即原点到直线l为的距离是,∴直线l与圆相切.……………………………………………………10分当直线的斜率不存在时,直线为x=m,与椭圆C交点为A(m,),B(m,)∵,∴.此时直线为x=,显然也与圆相切.…………………………………11分16\n综上,直线l与定圆E:相切.…………………………………………12分22.(本小题满分12分)已知函数,(1)讨论的单调性;(2)若,求的取值范围.【解析】(1)依题意:的定义域为,,当时,,在上单调递增,当时,令,得,令,得;令,得,在上单调递增,在上单调递减。(2)由得:,当时,,满足题意;…………………………7分当时,设,在上单调递增,,不合题意;当时,令得,令得16\n,则,综上所述,的取值范围为.已知双曲线的中心在原点,焦点在轴上,离心率,焦距为(I)求该双曲线方程.(II)是否定存在过点,)的直线与该双曲线交于,两点,且点是线段的中点?若存在,请求出直线的方程,若不存在,说明理由.16
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