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2022高考压轴卷--数学(新高考I卷)Word版含解析
2022高考压轴卷--数学(新高考I卷)Word版含解析
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2022新高考I卷高考压轴卷数学word版含解析一.单项选择题:本题共8小题,每个小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=R,集合,,则A∩B=()A.B.C.D.2.已知命题:,,则为()A.,B.,C.,D.,3.已知复数z满足(i是虚数单位),则复数z的共轭复数的虚部为()A.1B.iC.-iD.-14.现有四名高三学生准备高考后到长三角城市群(包括:上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市,简称“三省一市”)旅游,假设每名学生均从上海市、江苏省、浙江省、安徽省这四个地方中随机选取一个去旅游,则恰有一个地方未被选中的概率为()A.B.C.D.5.若的展开式中项的系数是240,则实数m的值是()A.2B.C.±2D.6.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知A=,a=,b=1,则c=( )A.1B.2C.﹣1D.7.阿基米德(Archimedes,公元前287年一公元前212年)是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二,并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现,后人按照他生前的要求,在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球,如图,该球顶天立地,四周碰边,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,若球的体积为36π,则圆柱的表面积为()\nA.36πB.45πC.54πD.63π8.已知函数f(x)=,若关于x的方程(f(x)﹣1)(f(x)﹣m)=0恰有5个不同的实数根,则实数m的取值范围是( )A.(1,2)B.(1,5)C.(2,3)D.(2,5)二.多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求的.全部选对的得2分,有选错的得0分.9.下列说法中正确的是()A.对于向量,,,有B.向量,能作为所在平面内的一组基底C.设,为非零向量,则“存在负数,使得”是“”的充分而不必要条件D.在△ABC中,设D是BC边上一点,且满足,,则10.以下四个命题表述正确的是()A.直线恒过定点B.已知直线过点,且在轴上截距相等,则直线的方程为C.,“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件D.直线的距离为11.某班级的全体学生平均分成6个小组,且每个小组均有4名男生和多名女生.现从各个小组中随机抽取一名同学参加社区服务活动,若抽取的6名学生中至少有一名男生的概率为,\n则()A.该班级共有36名学生B.第一小组的男生甲被抽去参加社区服务的概率为C.抽取的6名学生中男女生数量相同的概率是D.设抽取的6名学生中女生数量为,则12.已知直线l:2x+y﹣2a=0(a>0),M(s,t)是直线l上的任意一点,直线l与圆x2+y2=1相切.下列结论正确的为( )A.的最小值为1B.当s>0,t>0时,的最小值为C.的最小值等于的最小值D.的最小值不等于的最小值一.填空题:本题共4个小题,每个小题5分,共20分.13.已知函数,则______.14.已知函数的图象过点(0,),最小正周期为,且最小值为-1.若,的值域是,则m的取值范围是_____.15.已知直线l1:x﹣y+3=0,l2:2x+y=0相交于点A,则点A的坐标为 ,圆C:x2+y2﹣2x+4y+1=0,过点A作圆C的切线,则切线方程为 .16.在数列{an}中,若函数f(x)=sin2x+2cos2x的最大值是a1,且an=(an+1﹣an﹣2)n﹣2n2,则an=_____.四、解答题:本题共6小题,共70分.,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本题10分)\n在△ABC中,,且,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知,求:条件①:,;条件②:,.(1)求,的值;(2)求,.18.(本题12分)已知等差数列{an}满足a3=6,a4+a6=20,{an}的前n项和为Sn.(Ⅰ)求an及Sn;(Ⅱ)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.19.(本题12分)元旦期间某牛奶公司做促销活动.一箱某品牌牛奶12盒,每盒牛奶可以参与刮奖中奖得现金活动,但其中只有一些中奖.已知购买一盒牛奶需要5元,若有中奖,则每次中奖可以获得代金券8元(可即中即用).顾客可以在一箱牛奶中先购买4盒,然后根据这4盒牛奶中奖结果决定是否购买余下8盒.设每盒牛奶中奖概率为p(0<p<1),且每盒牛奶是否中奖相互独立.(1)若p=,顾客先购买4盒牛奶,求该顾客至少有一盒中奖的概率.(2)设先购买的4盒牛奶恰好有一盒中奖的最大概率为p0,以p0为p值.某顾客认为如果中奖后售价不超过原来售价的四折(即40%)便可以购买如下的8盒牛奶,据此,请你判断该顾客是否可以购买余下的8盒牛奶.20.(本题12分)如图(1),平面四边形ABDC中,∠ABC=∠D=90°,AB=BC=2,CD=1,将△ABC沿BC边折起如图(2),使____,点M,N分别为AC,AD中点.在题目横线上选择下述其中一个条件,然后解答此题.①AD=.②AC为四面体ABDC外接球的直径.③平面ABC⊥平面BCD.(1)判断直线MN与平面ABD的位置关系,并说明理由;(2)求二面角A﹣MN﹣B的正弦值.\n21.(本题12分)在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(,0)、F2(,0),点M满足.记M的轨迹为C.(1)求C的方程;(2)设点T在直线上,过T的两条直线分别交C于A、B两点和P、Q两点,且,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.22.(本题12分)已知函数,其中,是自然对数的底数.(1)当时,求函数在区间的零点个数;(2)若对任意恒成立,求实数a的取值范围.\n2022新高考I卷高考压轴卷数学word版含解析参考答案1.【答案】C【解析】解:已知全集,集合,则,所以.故选:C2.【答案】C【解析】命题:,,则为,,故选:C.3.【答案】D【解析】∵,∴,∴,∴的虚部为-1.故选:D.4.【答案】B【解析】四名学生从四个地方任选一个共有种选法,恰有一个地方未被选中,即有两位学生选了同一个地方,另外两名学生各去一个地方,考虑先分堆在排序共有种,\n所以恰有一个地方未被选中的概率为.故选:B5.【答案】D【解析】二项式的通项公式为:,因为的展开式中项的系数是,所以当时,有成立,解得,因此有.故选:D6.【答案】B【解析】解:解法一:(余弦定理)由a2=b2+c2﹣2bccosA得:3=1+c2﹣2c×1×cos=1+c2﹣c,∴c2﹣c﹣2=0,∴c=2或﹣1(舍).解法二:(正弦定理)由=,得:=,∴sinB=,∵b<a,∴B=,从而C=,∴c2=a2+b2=4,∴c=2.故选:B.7.【答案】C【解析】因为球的体积为,设球的半径为,则,所以,又圆柱的底面直径与高都等于球的直径,\n所以圆柱的底面圆半径为,高为,因此圆柱的表面积为.故选:C.8.【答案】A【解析】解:方程(f(x)﹣1)(f(x)﹣m)=0得方程f(x)=1或f(x)=m,作出函数y=f(x)的图象,如图所示,由图可知,f(x)=1有两个根,故f(x)=m有三个根,故m∈(1,2).故选:A.9.【答案】BCD【解析】A中,向量乘法不满足结合律,不一定成立,故A错误;B中,两个向量,,因为,所以与不共线,故B正确;C中,因为,为非零向量,所以的充要条件是.因为,则由可知,的方向相反,,所以,所以“存在负数,使得”可推出“”;而可推出,但不一定推出,的方向相反,从而不一定推得“存在负数,使得”,所以“存在负数,使得”是“”充分不必要条件.故C正确;\nD中,由题意结合平面向量的性质可得,根据平面向量线性运算法则可得,所以,D正确.故选:BCD.10.【答案】ACD【解析】对于A,,即,直线恒过与的交点,解得,恒过定点,A正确;对于B,直线过点,在轴上截距相等,当截距不为0时为,截距为0时为,故B错误;对于C,由题意,“直线与直线垂直”则,解得或,所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件,C正确;对于D,直线的距离为,故D正确;故选:ACD11.【答案】ACD【解析】解:设该班级每个小组共有名女生,∵抽取的名学生中至少有一名男生的概率为,∴抽取的名学生中没有男生(即6名学生全为女生)的概率为,∴,解得,∴每个小组有4名男生、2名女生,共6名学生,∴该班级共有36名学生,则A对;\n∴第一小组的男生甲被抽去参加社区服务的概率为,则B错;抽取的6名学生中男女生数量相同的概率是,则C对;设抽取的6名学生中女生数量为,则,则,则D对;故选:ACD.12.【答案】ABC【解析】解:A中,当点M是直线与圆的切点时,|OM|最小,且为圆的半径1,所以A正确;B中,因为直线与圆相切,所以d==1,因为a>0,所以2a=,所以直线l的方程为:2x+y﹣=0,因为M在直线上,所以2s+t=,当s>0,t>0,则直线l的方程为:2s+t=,所以+=(+)•(2s+t)=(5++)≥(5+2)=,当且仅当=时取等号,所以B正确;因为+s=+s=+s=+s,因为s∈R,所以+s的最小值为+|s|,所以C正确,D不正确,故选:ABC.13.【答案】0【解析】f(1)=-1,f(-1)=ln1=0,∴0,故答案为:0﹒14.【答案】\n【解析】由函数最小值为-1,,得,因为最小正周期为,所以,故,又图象过点(0,),所以而,所以,从而,由,可得.因为,且,由余弦函数的图象与性质可知:,解得,故填.15.【答案】(﹣1,2);3x+4y﹣5=0或x=﹣1【解析】解:联立l1:x﹣y+3=0,l2:2x+y=0,可得x=﹣1,y=2,∴A(﹣1,2).若切线斜率存在,设切线方程为y﹣2=k(x+1),则kx﹣y+2+k=0,∴,∴,∴切线方程为3x+4y﹣5=0;若斜率不存在,则切线方程为x=﹣1.故答案为:(﹣1,2);3x+4y﹣5=0或x=﹣1.16.【答案】an=2n2+n【解析】解:,当,,取得最大值3,\n.,,,是以为首项,2为公差的等差数列,,故答案为:.17.【答案】选择条件①或②,都有(1),;(2),.【解析】选择条件①(1)∵,∴,∵,∴,∴.又∵,且,解得:,.(2)∵,∴,∴.选择条件②(1),将,,带入化简可得:∴,又,且,解得:,.(2)∵,∴,\n∴.18.【答案】【解析】解:(Ⅰ)由题意,设等差数列{an}的公差为d,则,解得,∴an=2+2(n﹣1)=2n,n∈N*,Sn=2n+•2=n(n+1).(Ⅱ)由(Ⅰ),可得bn===﹣,故Tn=b1+b2+…+bn=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=.19.【答案】【解析】解:(1)依题意购买4盒至少有一盒中奖的概率为P=1﹣=.(2)4盒牛奶恰有1盒中奖的概率为p(1﹣p)3=4p(1﹣p)3,则f′(p)=4(1﹣p)3﹣3p(1﹣p)2=4(1﹣p)2(1﹣4p),当p∈(0,)时,f′(p)>0,f(p)单调递增,当p∈(,1)时,f′(p)<0,f(p)单调递减,所以当p=时,f(p)有最大值p0=4××(1﹣)=,设余下8盒牛奶中奖为y盒,中奖后实际付款为x元,y~B(8,),E(y)=,x=5×8﹣8y=40﹣8y,E(x)=E(40﹣8y)=40﹣8E(y)=13<40×40%=16,该顾客可以买下余下的8盒牛奶.\n20.【答案】解:(1)选①,AD=,在Rt△BCD中,BC=2,CD=1,则BD=,又AB=2,∴AB2+BD2=AD2,则AB⊥BD,又AB⊥BC,BC∩BD=B,∴AB⊥平面CBD,∴AB⊥CD,又CD⊥BD,∴CD⊥平面ABD,而M、N分别为AC、AD的中点,∴MN∥CD,∴MN⊥平面ABD;选②,AC为四面体ABDC外接球的直径,则∠ADC=90°,CD⊥AD,又CD⊥BD,AD∩BD=D,∴CD⊥平面ABD,而M、N分别为AC、AD的中点,∴MN∥CD,∴MN⊥平面ABD;选③,平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,又AB⊥BC,∴AB⊥平面CBD,则AB⊥CD,又CD⊥BD,AB∩BD=B,∴CD⊥平面ABD,M、N分别为AC、AD的中点,∴MN∥CD,∴MN⊥平面ABD;(2)由(1)知,MN⊥平面ABD,则MN⊥AN,MN⊥BN,∴∠ANB为二面角A﹣MN﹣B的平面角,∵△ABD为直角三角形,且AD=,BD=,∴cos∠DAB=,在△ABN中,AN=,BN=,∴cos∠ANB=.故二面角A﹣MN﹣B的正弦值为.\n21.【答案】【解析】(1)因为,所以,轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支,设轨迹的方程为,则,可得,,所以,轨迹的方程为;(2)设点,若过点的直线的斜率不存在,此时该直线与曲线无公共点,不妨直线的方程为,即,联立,消去并整理可得,设点、,则且.由韦达定理可得,,所以,,\n设直线的斜率为,同理可得,因为,即,整理可得,即,显然,故.因此,直线与直线的斜率之和为0.22.【答案】(1)1个;(2).【解析】(1),,故在递增,又,,故在上存在唯一零点因此在区间的零点个数是1个;(2),恒成立,即,恒成立令,,则,令,,时,,时,故在递减,递增,因此所以,,故在递增故,因此.
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