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2022高考压轴卷--数学(理)(全国甲卷)Word版含解析
2022高考压轴卷--数学(理)(全国甲卷)Word版含解析
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2022全国甲卷高考压轴卷数学(理)word版含解析一.选择题(本题共12个小题,每个小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|2x﹣8<2﹣3x},B={x|x2﹣4x+3<0},则A∪B=( )A.(1,2)B.(2,3)C.(﹣∞,3)D.(1,3)2.设复数z满足(1+i)z=4i,则|z|=( )A.B.C.2D.23.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A.y=B.y=2﹣xC.y=D.y=4.刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家,他提出“割圆求周”方法:当n很大时,用圆内接正n边形的周长近似等于圆周长,并计算出精确度很高的圆周率.在《九章算术注》中总结出“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”的极限思想,可以说他是中国古代极限思想的杰出代表.运用此思想,当取3.1416时可得的近似值为()A.0.00873B.0.01745C.0.02618D.0.034915.已知一个几何体的三视图如图所示,俯视图为等腰三角形,则该几何体的体积为()A.B.C.2D.6.某程序框图如图所示,该程序运行后输出S的结果是()\nA.B.C.D.7.我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破,孪生素数也称为孪生质数,就是指两个相差2的素数,例如5和7,在大于3且不超过20的素数中,随机选取2个不同的数,恰好是一组孪生素数的概率为()A.B.C.D.8.圆上的点到直线的距离的最小值为A.1B.2C.4D.59.在的展开式中,含项的系数为()A.-80B.-40C.40D.12010.已知实数x,y满足约束条件,则z=的最小值为( )A.B.C.2D.311.已知双曲线=1的右焦点为F,点M在双曲线上且在第一象限,若线段MF的中点在以原点O为圆心,|OF|为半径的圆上,则直线MF的斜率是( )A.B.C.D.\n12.已知函数有两个零点,则实数的取值范围是()A.B.C.D.第II卷(非选择题)二.填空题(本题共4个小题,每个小题5分,共20分)13.函数f(x)是定义在R上的奇函数,当时,,则______.14.在新高考改革中,学生可从物理、历史、化学、生物、政治、地理、技术7科中任选3科参加高考,现有甲、乙两名学生先从物理、历史2科中任选1科,再从化学、生物、政治、地理、技术5科中任选2科,则甲、乙两人恰有1门学科相同的选法有 种.15.已知点O(0,0),A(1,2),B(m,0)(m>0),则cos<,>= ,若B是以OA为边的矩形的顶点,则m= .16.数列{an}是首项,公差为的等差数列,其前和为Sn,存在非零实数,对任意有恒成立,则的值为__________.三、解答题(本题共5个小题,第17-21题没题12分,解答题应写出必要的文字说明或证明过程或演算步骤)17.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求C;(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.18.已知数列{an}的前n项和为Sn且Sn=2n2+n,n∈N*,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N*.(Ⅰ)求an和bn的通项公式;(Ⅱ)求数列{an•bn}的前n项和Tn.19.如图,在四棱锥P−ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,BC∥AD,PA=AB=BC=2,AD=4,E为棱PD的中点,(为常数,且).\n(1)若直线BF∥平面ACE,求实数的值;(2)当时,求二面角C−AE−F的大小.20.已知椭圆C:(,)的长轴为双曲线的实轴,且椭圆C过点P(2,1).(1)求椭圆C的标准方程;(2)点A,B是椭圆C上异于点P的两个不同的点,直线PA与PB的斜率均存在,分别记为,,且,当坐标原点O到直线AB的距离最大时,求直线AB的方程.21.已知函数f(x)=•ex(a≥0).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当b∈[0,1)时,设函数g(x)=(x>0)有最小值h(b),求h(b)的最大值.选考题:共10分,请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.[选修4-4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρ2=,曲线C2的极坐标方程为ρ=1.若正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(1,).(1)求点A,B,C,D的直角坐标;(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PC|2的取值范围.\n23.[选修4-5:不等式选讲]已知函数f(x)=|x﹣1|.(1)求不等式f(x)+f(2x)≤4的解集M;(2)记集合M中的最大元素为m,若不等式f2(mx)+f(ax)≤m在[1,+∞)上有解,求实数a的取值范围.\n2022全国甲卷高考压轴卷数学word版含解析参考答案1.【答案】C【解析】解:∵2x﹣8<2﹣3x,∴x<2,∴A=(﹣∞,2),∵x2﹣4x+3<0,∴1<x<3,∴B=(1,3),∴A∪B=(﹣∞,3).故选:C.2.【答案】D【解析】解:由(1+i)z=4i,得z===2+2i,则|z|==2.故选:D.3.【答案】A【解析】解:在(0,+∞)上单调递增,和在(0,+∞)上都是减函数.故选:A.4.【答案】B【解析】根据,将一个单位圆分成360个扇形,由这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积求解.【详解】因为,所以将一个单位圆分成360个扇形,则每一个扇形的圆心角为,所以这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积,即,所以,故选:B5.【答案】B\n【解析】根据三视图可得如图所示的几何体,根据椎体的体积公式以及三视图中的数据可求该几何体的体积.【详解】复原后的几何体为如图所示的三棱锥,其底面为等腰三角形,该三角形的底边长为2,高为2,棱锥的高为2,故体积为.故选:B.6.【答案】C【解析】由题意,、初始值分别为1,0.当为小于5的正整数时,用的值代替,代替,进入下一步运算.由此列出如下表格01输出值12345因此,最后输出的故选:.7.【答案】D【解析】写出大于3且不超过20的素数,分别计算出随机选取2个不同的数的所有情况和恰好是一组孪生素数的情况,再利用古典概型公式代入求解.【详解】大于3且不超过20的素数为:5,7,11,13,17,19,共6个,随机选取2个不\n同的数,共有个情况,恰好是一组孪生素数的情况为:5和7,11和13,17和19,共3个,所以概率为.故选:D8.【答案】A【解析】由,得,圆心为,半径,圆心到直线的距离,故圆上的点到直线的距离的最小值为.9.【答案】C【解析】针对部分,通项为,∴中项为,故选:C10.【答案】B【解析】解:由约束条件作出可行域如图,\n联立,解得A(),z=的几何意义为可行域内的动点与定点P连线的斜率,由图可知,,可知z=的最小值为.故选:B.11.【答案】A【解析】解:如图所示,设线段MF的中点为H,连接OH,设双曲线的右焦点为F,连接MF.双曲线的左焦点为F′,连接MF′,则OH∥MF′.又|OH|=|OF|=c=3,|FH|=|MF|=(2a﹣2c)=a﹣c=1.设∠HFO=α,在△OHF中,tanα==,∴直线MF的斜率是﹣.故选:A.12.【答案】B分析:\n【解析】解答:当时,,∴不是函数的零点.当时,由,得,设,,则在上单调递减,且.所以时无零点当时,等价于,令,,得在上单调递减,在上单调递增,,.因为有2个零点,所以.故选:B.13.【答案】【解析】】因为,所以由为奇函数得:.故答案为:14.【答案】180【解析】】根据题意,按物理、历史2科中有或没有相同学科分2种情况讨论,由加法原理计算可得答案.解:根据题意,分2种情况讨论:①物理、历史2科中有相同学科.则有C=60种选法;②物理、历史2科中没有相同学科.则有C=120种选法.所以甲、乙两人恰有1门学科相同的选法有60+120=180种;故答案为:180.\n15.【答案】,5解:根据题意,点O(0,0),A(1,2),B(m,0),则=(1,2),=(m,0),则||=,||=m,•=m,故cos<,>==,若B是以OA为边的矩形的顶点,而与不垂直,则必有⊥,又由=(m﹣1,﹣2),则有•=(m﹣1)+2×(﹣2)=0,解可得m=5,故答案为:,5.16.【答案】1或【解析】当时,恒成立,当时:当数列的公差时,即,据此可得,则,当数列的公差时,由题意有:,,两式作差可得:,整理可得:,即:,①则,②②-①整理可得:恒成立,由于,故,据此可得:,综上可得:的值为1或.17.【答案】\n【解析】解:(1)由已知2cosC(acosB+bcosA)=c,正弦定理得:2cosC(sinAcosB+cosAsinB)=sinC,即2cosC•sinC=sinC,∵0<C<π,sinC≠0,∴cosC=,∴C=.(2)由c=,C=,△ABC的面积为=absin=,∴ab=6,又由余弦定理c2=b2+a2﹣2abcosC,可得:7=b2+a2﹣ab=(a+b)2﹣3ab=(a+b)2﹣18,可得:(a+b)2=25,解得:a+b=5,∴△ABC的周长a+b+c=5+.18.【答案】【解析】解:(Ⅰ)数列{an}的前n项和为Sn且Sn=2n2+n,n∈N*,则:an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2),=2n2+n﹣2(n﹣1)2﹣(n﹣1)=4n﹣1,当n=1时,a1=3符合通项公式,所以:an=4n﹣1.由于:数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N*.则:4n﹣1=4log2bn+3,所以:,(Ⅱ)由(Ⅰ)得:设cn=,则:Tn=c1+c2+…+cn=3•20+7•21+…+(4n﹣1)2n﹣1①②①﹣②得:﹣(4n﹣1)2n﹣1,\n整理得:.19.【答案】(1)(2)【解析】(1)因为底面,,平面,所以,.由题意可知,,,两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,,所以,,,,则,所以.设平面的一个法向量为.由得:不妨令,得.因为平面,所以,解得.(2)由(1)知,,,平面的一个法向量为,所以.设平面的一个法向量为.\n由得令,得,所以.所以,所以二面角的大小为.20.【答案】(1)(2)【解析】(1)由题意可得解方程组可求出,从而可求出椭圆方程,(2)①当直线的斜率存在时,设其方程为,,,将直线方程代入椭圆方程中消去,利用根与系数的关系,然后由列方程可求出,则直线的方程为,从而可得其过定点,②当直线的斜率不存在时,设,则,由可求出两点的坐标,从而可求出直线过的定点,进而可求出直线方程【详解】(1)由题意,知解得,所以椭圆的标准方程为.(2)①当直线的斜率存在时,设其方程为,,.联立得.\n由韦达定理,得所以因为,所以,即,所以直线的方程为,即,由,得故直线恒过点.②当直线的斜率不存在时,设,则,所以,解得,所以此时直线也过点.因为点在椭圆的内部,所以当直线垂直于时,坐标原点到直线的距离最大,此时直线的方程为.21.【答案】【解析】解:(1)函数f(x)的定义域为(﹣∞,﹣2)∪(﹣2,+∞),且f′(x)=ex[+]=ex•,令x2+ax+a=0,则△=a2﹣4a,①当0≤a≤4时,△≤0,x2+ax+a≥0,\n即f′(x)≥0且不恒为零,故f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣2)和(﹣2,+∞),②当a>4时,△>0,方程x2+ax+a=0的两根为x1=,x2=,由于x1﹣(﹣2)=<0,x2﹣(﹣2)=>0,(或令φ(x)=x2+ax+a,φ(﹣2)=4﹣a<0)故x1<﹣2<x2,因此当x∈(﹣∞,x1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(x1,﹣2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(﹣2,x2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(x2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,综上,当0≤a≤4时,f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣2)和(﹣2,+∞);当a>4时,f(x)在(﹣∞,)单调递增,在(,﹣2)单调递减,在(﹣2,)单调递减,在(,+∞)单调递增.(2)由g′(x)==,设k(x)=ex+b(x>0),由(1)知,a=0时,f(x)=ex在(0,+∞)单调递增,故k(x)在区间(0,+∞)单调递增,由于k(2)=b≥0,k(0)=﹣1+b<0,故在(0,2]上存在唯一x0,使k(x0)=0,﹣b=,又当x∈(0,x0)时,k(x)<0,即g′(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(x0,+∞)时,k(x)>0,即g′(x)>0,g(x)单调递增,故x∈(0,+∞)时,h(b)=g(x0)===,\nx0∈(0,2],又设m(x)=,x∈(0,2],故m′(x)==>0,所以m(x)在(0,2]上单调递增,故m(x)≤m(2)=,即h(b)的最大值为.22.【答案】【解析】解:(1)点A的极坐标为(1,),根据转换为直角坐标为(),点B的极坐标为(1,),根据转换为直角坐标为(),点C的极坐标为(),根据转换为直角坐标为(),点D的极坐标为(1,),根据转换为直角坐标为(),(2)曲线C1的极坐标方程为ρ2=,根据转换为直角坐标方程为,设P(2cosθ,sinθ),则|PA|2+|PC|2=.23.【答案】\n【解析】解:(1)由题意可知,f(x)+f(2x)=|x﹣1|+|2x﹣1|≤4,当x≥1时,原不等式可化为3x﹣2≤4,解答x≤2,所以1≤x≤2;当<x<1时,原不等式可化为1﹣x+2x1≤4,解得x≤4,所以<x<1;当x≤时,原不等式可化为1﹣x+1﹣2x≤4,解得x≥﹣,所以﹣≤x≤.综上,不等式的解集M={x|﹣≤x≤2}.(2)由题意,m=2,在不等式等价为|2x﹣1|2+|ax﹣1|≤2,因为x≥1,所以|ax﹣1|≤2﹣(4x2﹣4x+1)=﹣4x2+4x+1,所以4x2﹣4x﹣1≤ax﹣1≤﹣4x2+4x+1,要使不等式在[1,+∞)上有解,则(4x﹣4)min≤a≤,所以0≤a≤2,即实数a的取值范围是[0,2].
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