北京市昌平区2022届高三数学二模试题(Word版附解析)
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昌平区2022年高三年级第二次统一练习数学试卷2022.5本试卷共6页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将答题卡收回。第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.(1)已知集合,则(A)(B)(C)(D)(2)若复数满足,则(A)(B)(C)(D)(3)为倡导“节能减排,低碳生活”的理念,某社区对家庭的人均月用电量情况进行了调查,通过抽样,获得了某社区100个家庭的人均月用电量(单位:千瓦时),将数据按照分成6组,制成了如图所示的频率分布直方图.若该社区有3000个家庭,估计全社区人均月用电量低于80千瓦时的家庭数为(A)(B)(C)(D)(4)记为等差数列的前项和,若,则(A)(B)(C)(D)(5)已知双曲线的焦距为,其右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为,则双曲线的渐近线方程为(A)(B)\n(C)(D)(6)“”是“函数在区间上单调递减”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(7)如图,在正四棱柱中,是底面的中心,分别是的中点,则下列结论正确的是(A)//(B)(C)//平面(D)//平面(8)已知直线与圆相交于两点,当变化时,△的面积的最大值为(A)(B)(C)(D)(9)已知函数,则关于的不等式的解集是(A)(B)(C)(D)(10)在△中,只需添加一个条件,即可使△存在且唯一.在条件:①;②;③中,所有可以选择的条件的序号为(A)①(B)①②(C)②③(D)①②③第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.(11)抛物线的准线方程为__________.(12)在的展开式中,常数项为_______.(请用数字作答)\n(13)已知是△的边的中点,,,则(14)若函数有且仅有两个零点,则实数的一个取值为______.(15)刺绣是中国优秀的民族传统工艺之一,已经有2000多年的历史.小王同学在刺绣选修课上,设计了一个螺旋形图案--即图中的阴影部分.它的设计方法是:先画一个边长为3的正三角形,取正三角形各边的三等分点,得到第一个阴影三角形;在正三角形中,再取各边的三等分点,得到第二个阴影三角形;继续依此方法,直到得到图中的螺旋形图案,则______;图中螺旋形图案的面积为______.二、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.(16)(本小题13分)如图,在棱长为的正方体中,点是的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的大小;(Ⅲ)求点到平面的距离.(17)(本小题13分)已知函数,且的最小正周期为,再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件.(I)求的解析式;(II)设,若在区间上的最大值为,求的最\n小值.条件①:的最小值为;条件②:的图象经过点;条件③;直线是函数的图象的一条对称轴.注:如果选择多组符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.(18)(本小题14分)某产业园生产的一种产品的成本为50元/件.销售单价依产品的等级来确定,其中优等品、一等品、二等品、普通品的销售单价分别为80元、75元、65元、60元.为了解各等级产品的比例,检测员从流水线上随机抽取200件产品进行等级检测,检测结果如下表所示.产品等级优等品一等品二等品普通品样本数量(件)30506060(I)若从流水线上随机抽取一件产品,估计该产品为优等品的概率;(II)从该流水线上随机抽取3件产品,记其中单件产品利润大于20元的件数为,用频率估计概率,求随机变量的分布列和数学期望;(III)为拓宽市场,产业园决定对抽取的200件样本产品进行让利销售,每件产品的销售价格均降低了5元.设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为,比较的大小.(请直接写出结论)(19)(本小题15分)已知椭圆的离心率为,上下顶点分别为,且.过点的直线与椭圆相交于不同的两点(不与点重合).(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若直线与直线相交于点,求证:三点共线.(20)(本小题15分)已知函数,.(I)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,求实数的值;\n(II)若函数无零点,求实数的取值范围;(III)当时,函数在处取得极小值,求实数的取值范围.(21)(本小题15分)已知数列,给出两个性质:①对于任意的,存在,当时,都有成立;②对于任意的,存在,当时,都有成立.(Ⅰ)已知数列满足性质①,且,,试写出的值;(Ⅱ)已知数列的通项公式为,证明:数列满足性质①;(Ⅲ)若数列满足性质①②,且当时,同时满足性质①②的存在且唯一.证明:数列是等差数列.\n昌平区2022年高三年级第二次统一练习数学试卷参考答案及评分标准2022.5一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分)题号12345678910答案ABDBDABCCB二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)(11)(12)(13)(14)(答案不唯一)(15);三、解答题(共6小题,共85分)(16)(共13分)解:(Ⅰ)在正方体中,因为平面,平面,所以,即.因为四边形是正方形,所以.因为平面,所以平面.....4分(Ⅱ)如图,建立空间直角坐标系,则,所以.由(Ⅰ)知,平面的一个法向量为设平面的一个法向量为,\n则所以.令,则,所以.所以.由图可知,二面角为钝角,所以二面角的大小为.....10分(Ⅲ)设点到平面的距离,,则.所以点到平面的距离为.....13分(17)(共13分)解:(Ⅰ)由题意知.选条件①②:因为的最小值为,所以则.因为的图象经过点,得,即.因为,所以.所以.....7分选条件①③:因为的最小值为,所以则.\n因为直线是函数的图象的一条对称轴,得,即.因为,所以.所以.....7分选条件②③:因为直线是函数的图象的一条对称轴,得,即.因为,所以,所以.因为的图象经过点,得.所以.所以.....7分(II).由,若在区间上的最大值为,则,所以的最小值为.....13分(18)(共14分)\n解:(I)抽取的200件产品中优等品有30件,抽取优等品的频率是,用样本估计总体,从流水线上随机抽取一件产品,估计是优等品的概率为.....3分(II)从流水线上随机抽取一件产品,估计利润大于20元的概率为.的可能取值为0,1,2,3..的分布列为0123的数学期望.....11分(III).....14分(19)(共15分)解:(Ⅰ)根据题意,解得,.所以椭圆的方程为:.....5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,.根据题意,直线的斜率一定存在,设直线的方程为.由得.根据题意,恒成立,设则.\n直线的方程为,令,得,所以.因为,则直线的斜率分别为,..所以,所以三点共线.....15分(20)(共15分)解:(I)因为函数,,所以,.因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,所以.解得,即.....5分(II)由题意,,设.\n①当时,,在上单调递增,且,所以,所以在上无零点.当时,令,得.②当,即时,,在上单调递增,且,所以,所以在上无零点.当时,,符号变化如下,↘极小值↗所以极小值.当,即时,,所以,所以在上无零点.当,即时,由,,所以至少存在一个零点,所以至少存在一个零点.综上,若无零点,实数的取值范围为.(III)当时,,定义域为..由(II)可知,当时,,当时,,所以当时,在上恒成立.此时,当时,单调递减;\n当时,单调递增.所以在处取得极小值.当时,,当时,,所以,单调递减.此时不是极小值点.即时,不合题意.综上,满足条件的的取值范围为.....15分(20)(共15分)解:(Ⅰ);....5分(Ⅱ)因为数列的通项公式为,所以,对于任意的,令,则,.又,则,即.又,所以,即对于任意的.所以,对于任意的,令,则当时,都有成立,所以,数列满足性质①.....10分(Ⅲ)由题意,数列满足性质①②,且当时,同时满足性质①②的存在,即对于任意的,存在,当时,都有成立,所以,当时,,\n即.对于任意的,有,对于任意的,有,,又当时,同时满足性质①②的存在且唯一,所以,当时,,所以,满足条件的数列是等差数列.....15分
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