北京市昌平区2022年中考数学二模试题

北京市昌平区2022年中考数学二模试题考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，25个小题，满分120分．考试时间120分钟。2．在答题卡上认真填写学校名称、班级、姓名和考试编号。3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。5．考试结束，请将答题卡交回。一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．的相反数是A．B．C．D．2．中国公安部副部长3月6日表示，中国户籍制度改革的步伐已经明显加快，力度明显加大.2022年至2022年，中国共办理户口“农转非”2500多万人.请将2500用科学记数法表示为A．B．C．D．3.在水平的讲台桌上放置圆柱形笔筒和长方体形粉笔盒（右图），则它的主视图是实物图ABCD4．如右图所示，已知AB∥CD，EF平分∠CEG，∠1＝80°，12GBDCAFE则∠2的度数为A．80°B．60°C．50°D．40°5．在一次学校田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：成绩（m）1.301.351.401.451.471.50人数124332这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是A.1.40,1.40B.1.45,1.40C.1.425,1.40D.1.40,1.456．将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为13\nA.B.C.D.7．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6，D，E分别在AB，AC上，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为A.1B.6C.4D.2ABCP8．正三角形ABC的边长为2，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿A→B→C→A的方向运动，到达点A时停止．设运动时间为x秒，y＝PC2，则y关于x的函数的图象大致为ABCD二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）9．若分式，则x的值为.10．有两名学员小林和小明练习射击，第一轮10枪打完后两人打靶的环数如图所示，通常新手的成绩不太稳定，那么根据图中的信息，估计小林和小明两人中新手是．11．如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE.若△DEF的面积为1，则□ABCD的面积为．12．如图，从原点A开始，以AB13\n=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆；……，按此规律，继续画半圆，则第5个半圆的面积为，第n个半圆的面积为．三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）13.计算：．14.解分式方程：．15.已知，求的值．ABCDEF16.如图，AC//FE,点F、C在BD上，AC=DF,BC=EF.求证：AB=DE.　　17.已知：如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限的交点为．（1）求与的值；（2）设一次函数的图象与轴交于点，求的度数．18.如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，∠DAB=∠ABC=90°，BE⊥BD且BE=BD，连接EA并延长交CD的延长线于点F.如果∠AFC=90°，13\n求∠DAC的度数.19.某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品.美术社团从九年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图.图1图2（1）直接回答美术社团所调查的4个班征集到作品共件，并把图1补充完整；（2）根据美术社团所调查的四个班征集作品的数量情况，估计全年级共征集到作品的数量为；（3）在全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生.现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，用树状图或列表法，求恰好抽中一男生一女生的概率.20.如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的点，且AP=AC.（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）若AC=3，求PD的长.21.如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝15，AD13\n＝20，∠C＝30°．点M、N同时以相同的速度分别从点A、点D开始在AB、DA上向点B、点A运动．(1)设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离；(2)当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状．22.（1）【原题呈现】如图，要在燃气管道l上修建一个泵站分别向A、B两镇供气.泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？解决问题：请你在所给图中画出泵站P的位置，并保留作图痕迹；（2）【问题拓展】已知a>0，b>0，且a+b=2，写出的最小值；（3）【问题延伸】已知a>0，b>0，写出以、、为边长的三角形的面积.五、解答题（共3道小题，第23题6分，第24题7分，第25题9分，共22分）23.已知点A（a，）、B（2a，y）、C（3a，y）都在抛物线上.（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）当a=1时，求△ABC的面积；（3）是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，请说明理由.24．（1）如图1，以AC为斜边的Rt△ABC和矩形HEFG摆放在直线l上（点B、C、E、F在直线l上），已知BC=EF=1，AB=HE=2.△ABC沿着直线l向右平移，设CE=x，△ABC与矩形HEFG重叠部分的面积为y（y≠13\n0）.当x=时，求出y的值；（2）在（1）的条件下，如图2，将Rt△ABC绕AC的中点旋转180°后与Rt△ABC形成一个新的矩形ABCD，当点C在点E的左侧，且x=2时，将矩形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将矩形HEFG绕着点E逆时针旋转相同的角度.若旋转到顶点D、H重合时，连接AG，求点D到AG的距离；（3）在（2）的条件下，如图3，当α=45°时，设AD与GH交于点M，CD与HE交于点N，求证：四边形MHND为正方形.25.如图，已知半径为1的与轴交于两点，为的切线，切点为，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点．（1）求二次函数的解析式；（2）求切线的函数解析式；（3）线段上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）13\n12345678DCBCBADA二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）题号9101112答案2小林12,（各2分）三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）13．解：原式=……………………………………………………………4分=-2．………………………………………………………………………5分14．解：方程两边同时乘以2（3x﹣1），得4﹣2（3x﹣1）=3.………………………………………………………………………2分化简，得﹣6x=﹣3.………………………………………………………………………3分解得x=．……………………………………………………………………………4分检验：x=时，2（3x﹣1）=2×（3×﹣1）≠0．…………………………………………5分所以，x=是原方程的解．15．解：=………………………………………………………2分=……………………………………………………3分=．……………………………………………………………………………4分当时，原式=.……………………………………………………………5分16．证明：∵AC//EF，　　∴．……………………………………………………………1分在△ABC和△DEF中，ABCDEF∴△ABC≌△DEF．……………………………………4分∴AB=DE．……………………………………………5分17．解：（1）∵点在双曲线上，13\n∴.…………………………………………………………………………1分又∵在直线上，∴.………………………………………………………………………2分（2）过点A作AM⊥x轴于点M.∵直线与轴交于点，∴点的坐标为.∴.…………………………………………3分∵点的坐标为，∴.∴…………………………………………………………………………………4分在Rt△中，∠°,∵∠，∴∠°.……………………………………………………………………5分18．解：∵∠DAB=∠ABC=90°，∴∠DAB+∠ABC=180°,∠3+∠FAD=90°.∴AD∥BC..∴∠ADF=∠BCF．…………………………………1分∵∠AFC=90°，∴∠FAD+∠ADF=90°.∴∠3=∠ADF=∠BCF.①……………………2分∵BE⊥BD,∴∠EBD=90°.∴∠1=∠2.②…………………………………………………………………3分∵BE=BD，③∴△ABE≌△CBD.………………………………………………………………4分∴AB=BC.∴∠BAC=∠ACB=45°.∴∠DAC=∠BAD-∠BAC=45°.……………………………………………5分13\n四、解答题（共４道小题，每小题各5分，共20分）19．解：(1)12.……………………………………………………………………………1分如图所示.…………………………………………………………………2分(2)42.…………………………………………………………………………3分男1男2男3女1女2男1男1男2男1男3男1女1男1女2男2男2男1男2男3男2女1男2女2男3男3男1男3男2男3女1男3女2女1女1男1女1男2女1男3女1女2女2女2男1女2男2女2男3女2女1（3）列表如下:…………………………………………………………………4分共有20种机会均等的结果，其中一男生一女生占12种，∴P（一男生一女生）＝.…………………………………………………5分即恰好抽中一男生一女生的概率为.20．解：（1）证明:如图，连接OA.∵∠B=600，∴∠AOC=2∠B=1200.……………1分∵OA=OC,∴∠ACP=∠CAO=300.∴∠AOP=600.又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=300.∴∠OAP=900.即OA⊥AP.……………………………………………………………………………2分13\n∵点O在⊙O上，∴AP是⊙O的切线.…………………………………………………………………3分(2)解：连接AD.∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=900.∴AD=AC∙tan300=.…………………………………………………………………4分∵∠ADC=∠B=600，∴∠PAD=∠ADC-∠P=300.∴∠P=∠PAD.∴PD=AD=.…………………………5分21．解：(1)过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P．由已知得，AM＝x，AN＝20-x.∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AD＝BC，∴∠D＝∠C＝30°.∴∠PAN＝∠D＝30°．………………………………………1分在Rt△APN中，.………………………2分即点N到AB的距离为．(2)根据(1)，．…………………3分∵，∴当x＝10时，有最大值．…………………………………………………4分又∵，且为定值，∴当x＝10时，五边形BCDNM面积最小.此时，ND＝AM＝10，AN＝AD-ND＝10，∴AM＝AN．∴当五边形BCDNM面积最小时，△AMN为等腰三角形．……………………………5分22．解：（1）如图所示.………………………………………1分（2）.……………………………………………2分（3）．…………………………………………5分五、解答题（共3道小题，第23题6分，第24题7分，第25题9分，共22分）13\n23．解：（1）由=0，得，．∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（，0）．2分（2）当a=1时，得A（1，0）、B（2，1）、C（3，3），3分分别过点B、C作x轴的垂线，垂足分别为E、F，则有=--=（个单位面积）…………………………………4分（3）如：．∵，，，又∵3（）==．5分∴．6分24．（1）解：如图1，当x=时，设AC与HE交与点P.由已知易得∠ABC=∠HEC=90°.∴tan∠PCE=tan∠ACB.∴.∴PE=.……………………………………1分∴.……………2分（2）如图2，作DK⊥AG于点K.∵CD=CE=DE=2，∴△CDE是等边三角形.…………………………3分∴∠CDE=60°.∴∠ADG=360°-2×90°-60°=120°.∵AD=DG=1，∴∠DAG=∠DGA=30°.…………………4分∴DK=DG=.∴点D到AG的距离为.……………………………………………………5分（3）如图3，∵α=45°，13\n∴∠NCE=∠NEC=45°.∴∠CNE=90°.∴∠DNH=90°.∵∠D=∠H=90°，∴四边形MHND是矩形.………………6分∵CN=NE，CD＝HE.∴DN=NH.∴矩形MHND是正方形.………………………………………………………7分25．解：（1）圆心的坐标为，半径为1，，.…………………………………………………………1分二次函数的图象经过点，可得方程组解得：.二次函数解析式为2分（2）如图，过点作轴，垂足为．是的切线，为切点，．在中，，为锐角，4分，在中，，．点坐标为5分设切线的函数解析式为，由题意可知，13\n.切线的函数解析式为6分（3）存在．①如图，过点作轴于A，与交于点．可得.，.7分②过点作，垂足为，过点作，垂足为．可得.在中，，.在中，，，.9分综上所述，符合条件的点坐标有，.13