2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟（北京卷）数学试题（Word版附答案）

2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟(北京卷)数学注意事项：1．本场考试时间120分钟，满分150分．2．作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名．将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区城，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．已知集合，，则（       ）A．B．C．D．【解析】,故,故选:C2．如果复数（其中为虚数单位，为实数）为纯虚数，那么（       ）A．1B．2C．4D．【解析】，因复数为纯虚数，于是得且，解得，所以.故选：A3．已知函数的图象在区间上连续不断，则“”是“在上存在零点”的（       ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】因为函数在区间上连续不断，由，可知中可能有两正一负、两负一正、一正一负一零和，所以函数在区间上存在零点； 由在区间上有零点且连续不断，不能推出“”，如函数在区间上单调递增且时，则，，则，所以“”是“在区间上存在零点”的充分不必要条件.故选：A.4．已知正四棱锥的侧棱长为2，高为.则该正四棱锥的表面积为（       ）A．B．C．D．【解析】由题意可知，则，，所以该正四棱锥的表面积为，故选：C5．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（       ）A．B．C．D．【解析】椭圆的标准方程为，椭圆中的，双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，双曲线中，双曲线满足，即又在双曲线中，即，解得：，所以双曲线的方程为，故选：A．6．已知等差数列，是数列的前项和，对任意的，均有成立，则的值不可能是（       ）A．2B．3C．4D．5【解析】根据题意，等差数列，对任意的，均有成立，即是等差数列的前项和中的最大值，必有，公差， 分3种情况讨论：①，此时，、是等差数列的前项和中的最大值，此时，则有，则，②，此时，、是等差数列的前项和中的最大值，此时，则有，，③，，是等差数列的前项和中的最大值，此时，，则，变形可得：，，而，则有，综合可得：.故选：A．7．已知函数，，则（       ）A．最大值为2，最小值为1B．最大值为，最小值为1C．最大值为，最小值为1D．最大值为，最小值为【解析】，时，sinx∈[，1]，∴当sinx＝时，f(x)最大值为；当sinx＝1时，f(x)最小值为1.故选：B.8．如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，则点A到平面PBC的距离为（       ）A．1B．C．D． 【解析】因为平面ABC，所以,因为，，所以，又，，所以,所以,设点A到平面PBC的距离为，则,即,，故选：A9．已知直线与圆相交于两点，且，那么实数k的取值范围是（　　）A．B．C．或D．【解析】圆化简为标准方程为，圆心到直线的距离，，解得：.故选：D10．已知椭圆上有个不同的点，，，，．设椭圆的右焦点为，数列是公差大于的等差数列，则的最大值为（       ）A．2007B．2006C．1004D．1003【解析】由椭圆可知：，，，右焦点为，离心率，设，，到右准线的距离为，根据圆锥曲线的统一定义，得，，数列是公差大于的等差数列，，可得，化简得，结合椭圆上点的横坐标的范围，得，，得，得的最大值为2006，故选：B．第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．在二项式的展开式中，含的项的系数是________． 【解析】，所以令得，即含的项的系数是12．设抛物线的焦点为，则______；若点A在抛物线上，且，则点A坐标为________.【解析】由题意，，即抛物线方程为，，，所以，．故答案为：4；．13．已知平面向量，的夹角为120°，且，，则的值为______，的最小值为______．【解析】因为平面向量，的夹角为120°，且，，所以，，所以当时，的最小值为，故答案为：，14．已知函数是偶函数，则的一个取值为___________.【解析】因为该函数是偶函数，所以有，当时，有，于是有：或，解得：，当时，有，于是有或，解得，所以，显然的一个取值可以是，故答案为：15．已知函数.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是_____【解析】画出的图象如下图所示，， 即与的图象有两个交点，由图可知，的取值范围是.故答案为：三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.(本小题13分)在中，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)的值；(2)和面积的值．条件①:；条件②:.【解析】(1)若选①：在中，,即，而，故或，则或，因为，故,所以；若选②：在中，,即，而，故或，则或，由得：且，故A为最大角，故,所以；(2)若选①：由正弦定理得：,则,由知：，，故,则，所以，；若选②：，由正弦定理得：, 故,而,故,所以,.17.(本小题13分)如图，在四棱锥中，，，，平面.(1)试在线段上取一点使平面，请给出点的位置，并证明；(2)若点满足，求二面角的平面角的余弦值.【解析】(1)为中点时使平面，理由如下：设平面交于，连接、，因为平面，平面平面，所以，因为，平面，平面，所以平面，平面平面，平面，所以，又因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以，所以是中点．(2)取的中点，连接，因为，所以，如图建立空间直角坐标系，所以，，，，因为，所以 ，所以，，，设平面的法向量为，所以，令，则，，所以，平面的法向量为，所以，令，则，，所以，设二面角为，由图可知二面角的平面角为锐二面角，则，所以二面角的平面角的余弦值；18.(本小题14分)“双减”政策实施以来，各地纷纷推行课后服务“5+2"模式，即学校每周周一至周五5天都要面向所有学生提供课后服务，每天至少2小时．某学校的课后服务有学业辅导体育锻炼、实践能力创新培养三大类别，为了解该校学生上个月参加课后服务的情况，该校从全校学生中随机抽取了100人作为样本．发现样本中未参加任何课后服务的有14人，样本中仅参加某一类课后服务的学生分布情况如下：每周参加活动天数课后服务活动1天2~4天5天仅参加学业辅导10人11人4人仅参加体育锻炼5人12人1人仅参加实践能力创新培养3人12人1人(1)从全校学生中随机抽取1人．估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率；(2)从全校学生中随机抽取3人．以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数．求X的分布列和数学期望；(3)老样本中上个月未参加任何课后服务的学生有 人在本月选择仅参加学业辅导．样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化．从全校学生中随机抽取3人．以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数，以Y表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数．试判断方差、的大小关系（结论不要求证明）．【解析】(1)由题意得，样本中仅参加某一类课后服务的学生共有（人），又样本中未参加任何课后服务的有14人，故样本中上个月至少参加了两类课后服务活动的学生共有（人）则从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的频率为由此，可估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率(2)样本中，上个月仅参加学业辅导的有（人），对应频率为0.25以频率估计概率，从全校学生中随机抽取1人，上个月仅参加学业辅导的概率为0.25，X的可能取值为0，1，2，3，，，，，X的分布列为X0123PX的数学期望(3)由题意可知随机变量X服从二项分布，故.又知：上个月未参加任何课后服务的学生有人在本月选择仅参加学业辅导（样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化．），则本月从全校学生中随机抽取1人仅参加学业辅导的概率估计为P，且.以Y表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数，由题意可知随机变量Y服从二项分布，故,.19.(本小题15分)已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若对任意，都有，求实数的取值范围.【解析】(1)当时，函数，定义域为，又，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即；(2)若在上恒成立，即在上恒成立，可令，，则，，，令，可解得，当时，即时，在上恒成立，所以在上单调递增，，又，所以恒成立，即时，在上恒成立，当，即时，在上单调递减，在上单调递增，此时，，又，，即，不满足恒成立，故舍去，综上可知：实数的取值范围是.20.(本小题15分)已知椭圆：（）上一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左右顶点分别为、，当不与、重合时，直线，分别交直线于点、，证明：以为直径的圆过右焦点.【解析】(1)由题干可得，所以，即椭圆的方程；(2)解法一：设，因为直线交直线于点，所以，则 同理，则，由于异于轴两侧，因此异号.所以又因为，所以即，以为直径的圆过右焦点.解法二：设直线方程，，得，即因为直线交直线于点，即.因为直线交直线于点，则由三点共线，得，即   所以，即，以为直径的圆过右焦点.21.(本小题15分)对于有限数列，，，，定义：对于任意的，，有：（i）；（ii）对于，记.对于，若存在非零常数，使得，则称常数为数列的阶系数.(1)设数列的通项公式为，计算，并判断2是否为数列的4阶系数；(2)设数列的通项公式为，且数列的阶系数为3，求的值；(3)设数列为等差数列，满足-1，2均为数列的阶系数，且，求的最大值.【解析】(1)因数列通项公式为，所以数列为等比数列，且，得． 数列通项公式为，所以当时，,所以2是数列的4阶系数．(2)因为数列的阶系数为3，所以当时，存在，使成立．设等差数列的前项和为，则,令，则,所以，,设等差数列的前项和为，，则,令，则,所以，当时，，当时，，则，解得．(3)设数列为等差数列，满足，2均为数列的阶系数，，则存在，使成立．设数列的公差为，构造函数．由已知得，所以，函数至少有三个零点，，，由函数可知为偶数，且满足， 得，所以，解得，构造等差数列为：，，，，38，可知当时命题成立，即的最大值为26．