2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟理科数学（乙卷）试题（Word版附答案）

2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟理科数学•乙卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5．考试结束后，请将本试卷和答题一并上交。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，则在复平面内对应的点位于（       ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】，复平面内对应的点位于第四象限.故选：D2．已知全集，集合，集合，则（       ）A．B．C．D．【解析】，.故选：C.3．已知命题，命题，则下列命题中为真命题的是（       ）A．B．C．D．【解析】因为，所以命题为假命题.因为，有，而对勾函数在单调递减，所以， 故命题为真命题.对于A：因为p假q真，所以为假命题，故A错误；对于B：因为p假q真，所以为真命题，故B正确；对于C：因为q真，所以为假命题，故C错误；对于D：p假，故D错误.故选：B4．若函数是定义在上的偶函数，则（       ）A．B．C．1D．2【解析】因为是上的偶函数，所以，即，所以，整理得，所以．故选：C.5．已知各棱长均为的正三棱柱中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）A．B．C．D．【解析】取的中点，连接，又，∴或补角)为异面直线与所成的角，由则，由，则，且，∴.故选：C.6．某校为庆祝建党一百周年，要安排一场共11个节目的文艺晚会，除第1 个节目和最后一个节目已经确定外，3个音乐节目要求排在2，6，9的位置，3个舞蹈节目必须相邻，3个曲艺节目没有要求，共有不同的演出顺序（       ）种A．144B．192C．216D．324【解析】①先排3个音乐节目有种排法，共6种排法；②再排3个舞蹈节目只能排3、4、5位置，共种排法；③再排3个曲艺节目，共种排法；∴由分步乘法记数原理有种排法．故选：C．7．将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到的图像的一个对称中心为（       ）.A．B．C．D．【解析】将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到，再向右平移个单位长度，得到，令，有，可得图像的一个对称中心为.故选：D.8．已知圆，在圆内随机取一点P，以点P为中点作弦AB，则弦长的概率为（       ）A．B．C．D．【解析】当时，此时，若，则点P必须位于以点C为圆心，半径为1和半径为的圆环内，所以弦长的概率为，故选：B．9．1471年米勒向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长（即可见角最大）.后人将其称为“米勒问题”，是载入数学史上的第一个极值问题.我们把地球表面抽象为平面，悬杆抽象为线段AB（或直线l上两点A，B），则上述问题可以转化为如下的数学模型：如图1，一条直线l垂直于一个平面，直线l有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大.建立如图2所示的平面直角坐标系.设A，B两点的 坐标分别为，.设点C的坐标为，当最大时，（       ）A．2abB．abC．D．【解析】由题意可知时锐角，且,而，所以，而，当且仅当，即时取等号，所以当时，，此时最大，故选：D.10．已知命题：函数，且在区间上恒成立，则该命题成立的充要条件为（       ）A．B．C．D．【解析】∵，∴，，，令，则，∵，∴时，，函数在上是增函数，要使在区间上恒成立，又，则应满足在区间上为增函数，∴当时，，又函数在上是增函数，∴，即.故选：C.11．已知椭圆的左、右焦点分别为，.点在上且位于第一象限， 圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（       ）A．B．C．D．【解析】由已知及平面几何知识可得圆心、在的角平分线上.如图，设圆、与轴的切点分别为，，由平面几何知识可得，直线为两圆的公切线，切点也在的角平分线上，所以，由椭圆的定义知，则，所以，所以，所以，.又圆与圆的面积之比为4，所以圆与圆的半径之比为2，因为，所以，即，整理得，故椭圆的离心率.故选：B.12．已知，，则下列关系式不可能成立的是（       ）A．B．C．D．【解析】对于，两边取对数得，即，构造函数，，当时，，是单调递增函数，当时，，是单调递减函数，若，则，即，故A正确；若，则，，故B正确； 构造函数，，，当时，，单调递增，所以，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，所以时，即，所以成立，不可能成立，故C正确D错误.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，是双曲线的左，右焦点，过右焦点与实轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，若三角形为等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为______.【解析】由题知，即，即，解得，又因为，所以14．已知向量，，，若，则m=___________.【解析】由题意可得由，可得，解得15．在△ABC中，D在线段AC上，，则△ABC的面积是___．【解析】由题意，设，则，且，所以，在△中，则，整理得，所以，故，则，所以.16．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，点P是以为直径的半圆弧上的动点（不含A，D点），面面，经研究发现，四棱锥的外接球始终保特不变，则该外接球的表面积为______________． 【解析】由题意，为直角三角形，如图．取中点，则，取中点，则O是正方形的中心，连接，则．已知面底面，且面面，面．故面，则，又，故到四棱锥各顶点的距离相等．即为四棱锥的外接球的球心，半径．故外接球的表面积．三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分17．(12分)某高中学校为了解学生的课外体育锻炼时间情况，在全校学生中随机抽取了200名学生进行调查，并将数据分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．将平均每天课外体育锻炼时间在上的学生评价为锻炼达标，将平均每天课外体育锻炼时间在上的学生评价为锻炼不达标(1)根据频率分布直方图估计这200名学生每天课外体育锻炼时间的众数、中位数；(2)为了了解学生课外体育锻炼时间不达标的原因，从上述锻炼不达标的学生中按分层抽样的 方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这三人中每天课外体育锻炼时间在的人数为，求的分布列和数学期望．【解析】(1)众数就是直方图中最高矩形底边中点的横坐标，则样本众数等于25．由频率分布直方图可得，在上的频率为0.08，在上的频率为0.16，在上的频率为0.32，，则中位数在区间上．设中位数为，则，，即样本中位数为．(2)根据题意，在，，，上抽取的人数分别为1，2，4，3，其中在上抽取的人数为3，则，1，2，3．，．从而得到随机变量的分布列如下表：0123P随机变量的期望18．(12分)如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，E为棱PC的中点.(1)证明：平面PAD；(2)求二面角的余弦值.【解析】(1)在四棱锥中，取线段PD的中点F，连接AF，EF，如图， 因E为棱PC的中点，则，，而，，于是得，，即四边形ABEF是平行四边形，有，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD.(2)在四棱锥中，在平面内过P作交CD于O，连接AO，因平面平面ABCD，平面平面，则平面，平面，即有，因，，则，，而，有，则，显然OA，OC，OP两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，设平面的一个法向量，则，令得：，设平面的一个法向量，则，令得：，则，显然二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值是.19．(12分)已知数列的前n项和为，且． (1)求证：数列为等差数列；(2)求数列的前n项和．【解析】(1)由可得，由得，所以，即，所以，，所以数列是公差为1，首项为1的等差数列.(2)由（1），得，所以，，两式相减得，所以.20．(12分)已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若，且，求证：．【解析】(1)，当时，，在R上单调递增，当时，由，得；由，得．∴在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增．(2)证明：由，得，即，，令，则．∵，∴在上单调递增，在上单调递减．当时，，∴或，①若，显然②若，要证，只需证，即证，若能证，则原命题得证，令，，，∵，∴，，∴，∴在单调递增，∴，∴，原命题得证．综上所述，．21．(12分)已知动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比为，记P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过点的直线与曲线C交于两点，分别为曲线C与x轴的两个交点，直线交于点N，求证:点N在定直线上．【解析】(1)设动点，∵动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比为， ∴，整理得，∴曲线C的方程为；(2)设，，，直线方程，与椭圆方程联立，整理得：，，由韦达定理得：，化简得：，由已知得,,则直线的方程为，直线的方程为，联立直线和：，代入，、可得：，化简可得：，所以N点在一条定直线上．（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分.22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系中，点．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为．(1)求直线l及曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C与直线l交于A，B两点，求的值．【解析】(1)直线l的极坐标方程化为，将代入得直线的直角坐标方程：．曲线的极坐标方程为，则， 将代入得曲线的直角坐标方程：．(2)直线l经过定点，倾斜角，则直线l的一个标准参数方程为，即(t为参数)．将代入方程中整理得：．，直线与曲线的交点必然存在，设交点A，B所对应的参数值分别为，于是，（异号），则，即．23．[选修4-5：不等式选讲](10分)已知函数，.(1)当时，求不等式的解集；(2)是否存在实数，使得不等式的解集包含？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】(1)当时，，，即，整理得：，当时，，解得：，结合得：，当时，，解得：，结合得：，当时，，解得：，结合得：，综上：不等式的解集为：.(2)假设存在实数，使得不等式的解集包含， 即对恒成立，化简为：，，解得：，由题意得：，解得：.故存在实数，使得不等式的解集包含