2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟理科数学（甲卷）试题（Word版附答案）

2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟理科数学•甲卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5．考试结束后，请将本试卷和答题一并上交。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（       ）A．B．C．D．【解析】由题设，.故选：C2．某大学生暑假到工厂参加劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度(单位：厘米)，将所得数据分成6组：[90，91)，[91，92)，[92，93)，[93，94)，[94，95)，[95，96]，得到如图所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中不正确的是（     ）A．b＝0.25B．长度落在区间[93，94)内的个数为35C．长度的中位数一定落在区间[93，94)内D．长度的众数一定落在区间[93，94)内 【解析】对于A，由频率和为1，得，解得，所以A正确.对于B，长度落在区间内的个数为，所以B正确.对于C，有个数，内有20个数，所以长度的中位数一定落在区间内，所以C正确.对于D，根据频率分布直方图不能判断长度的众数一定落在区间内，所以D错误.故选:C.3．若复数满足（为虚数单位），则下列说法正确的是（       ）A．的虚部为B．C．D．在复平面内对应的点在第二象限【解析】因为，所以，所以的虚部为，故A错误；，故B正确；，故C错误；在复平面内对应的点为，所以在复平面内对应的点在第一象限，故D错误.故选：B.4．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，已知．从数量级的角度考虑，下列各数中与最接近的是（       ）A．B．C．D．【解析】由题意，两边取对数得:，，显然D与最接近，故选：D.5．已知点，分别为双曲线的左､右焦点，以为直径作圆与双 曲线的右支交于点P，若，则双曲线的离心率为（       ）A．3B．4C．5D．6【解析】因为点P为以为直径的圆与双曲线的右支的交点，所以，结合，得，，又因为点P在以为直径的圆上，所以，即，所以，整理得，解得（舍去），或，所以双曲线的离心率.故选：C6．已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示，在给出的个平面图中，该几何体的主视图、侧视图、俯视图的序号依次是（       ）A．（1）（4）（3）B．（1）（2）（3）C．（3）（2）（1）D．（3）（4）（1）【解析】由于几何体被切去一个角，所以正视图、俯视图以及侧视图的矩形都有对角线；（1）为正视图，（2）为侧视图，（3）俯视图，故选：B.7．已知直线与圆相交于A，B两点，则“”是“”的（     ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】因为直线与圆相交于A，B两点，设圆心到直线的距离为d，则等价于：，即，所以，解得：或. 所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B8．如图，已知、、、四点在同一条直线上，且面PAD与地面垂直，在山顶点测得点、、的俯角分别为、、，并测得，，现欲沿直线开通穿山隧道，则隧道的长为（       ）A．B．C．D．【解析】由题意可知，所以，因为，所以在中，由正弦定理得，即，解得，所以在直角三角形中，，所以，故选：C9．已知角满足，则的值为（       ）A．或B．C．3D．3或【解析】由，，所以，当时，，所以；当时，所以，所以的值为或，故选：A.10．甲、乙、丙三人参加社区义工活动，每人从编号为1到6 的社区中任选一个，所选社区编号数各不相同且不相邻，则不同的选择方案的种数为（       ）A．12B．24C．36D．48【解析】问题可看做是将3个不同元素与3个完全一样的元素排成一列，且三个不同元素不相邻的问题.第一步，将3个相同元素排成一列，共1种方法；第二步，将三个不同元素插入到4个空位中，共种方法.所以不同的选择方案共有24种.另解：依题意，因为甲、乙、丙三人所选社区编号各不相同且不相邻，所以先找三人所选社区编号，三人所选社区编号有1，3，5；1，3，6；1，4，6；2，4，6四种情况，然后在每种情况下安排甲、乙、丙三人有种情况，所以不同的选择方案共有种.故选：B.11．如图，三棱锥V－ABC中，VA⊥底面ABC，，，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（       ）A．B．C．D．【解析】因为VA⊥底面ABC，底面ABC，所以，又因为，所以，而，所以三条互相垂直且共顶点的棱，可以看成正方体中，共顶点的长、宽、高，因此该三棱锥外接球的半径，设该三棱锥的内切球的半径为，因为，所以，因为，，所以，由三棱锥的体积公式可得：，所以，故选：C 12．已知为定义在R上的奇函数，当时，有，且当时，，下列命题正确的是（       ）A．B．函数在定义域上是周期为2的函数C．直线与函数的图象有2个交点D．函数的值域为【解析】函数是上的奇函数，，由题意可得，当时，，，A选项正确；当时，，则，，，则函数不是上周期为的函数，B选项错误；若为奇数时，，若为偶数，则，即当时，，当时，，若，且当时，，，当时，则，，当时，，则，所以，函数在上的值域为，由奇函数的性质可知，函数在上的值域为，由此可知，函数在上的值域为，D选项错误；如下图所示： 由图象可知，当时，函数与函数的图象只有一个交点，当或时，，此时，函数与函数没有交点，则函数与函数有且只有一个交点，C选项错误.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，则曲线在点处的切线方程为___________.【解析】因为，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即14．已知，则___________.【解析】因为，所以，而，所以，即，解得.15．已知椭圆的左，右焦点分别为，过点与x轴垂直的直线与椭圆C交于A，B两点，则三角形的内切圆的半径为__________.【解析】由椭圆的方程可得，，又，所以，所以可得左焦点，右焦点，因为过点且垂直于轴的直线与椭圆相交于，，所以，，即，， 所以，，设内切圆的半径为，则，可得，所以可得16．将函数的图象向右平移 个单位后得到函数的图象，若对满足的、，有的最小值为，则______．【解析】由函数的图象向右平移，可得 不妨设取得最大值，取得最小值，，，．可得，的最小值为，即．得或三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分17．(12分)从某地区高中二年级学生中随机抽取质量监测数学得分在120分以下和120分以上（含120分）的学生各250名作为样本（全体高二学生均参加监测），分别测出他们的注意力集中水平得分，统计如下表.数学得分注意力集中水平得分120分以下120分以上（含120分）500分以上（含500分）100180500分以下15070(1)若将学生在质量监测中数学得分在120分以上（含120分）定义为数学成绩优秀，将学生注意力集中水平得分在500分以上（含500分）称为注意力集中水平高，试问：能否有99%以上的把握认为数学成绩优秀与注意力集中水平高有关？(2)若从上述样本数学得分在120分以下的学生中，按注意力集中水平得分进行分层抽样抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取3人，求3人中至少2人注意力集中水平得分在500 分以下的概率.0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828（，其中）【解析】(1)由列联表中数据计算可得，的观测值为所以能有99%以上的把握认为数学成绩优秀与注意力集中水平高有关.(2)数学得分在120分以下且注意力集中水平在500分以上（含500分）和500分以下的人数分别为100人和150人，所以按注意力集中水平得分进行分层抽样抽取5名学生，可得注意力集中水平在500分以上（含500分）和500分以下的人数分别为2人和3人，分别记为“甲”、“乙”和“A”“B”“C”.从这5名学生中随机抽取3人，有（甲，乙，A），（甲，乙，B），（甲，乙，C），（甲，A，B），（甲，A，C），（甲，B，C），（乙，A，B），（乙，A，C），（乙，B，C），（A，B，C）共10种可能，其中3人中至少2人注意力集中水平得分在500分以下的有（甲，A，B），（甲，A，C），（甲，B，C），（乙，A，B），（乙，A，C），（乙，B，C），（A，B，C）共7种可能.故3人中至少2人注意力集中水平得分在500分以下的概率.18．(12分)已知数列的前n项和为，在①②，，③这三个条件中任选一个，解答下列问题：(1)求的通项公式：(2)若，求数列的前n项和 【解析】(1)若选①，，则，当时，，当时，符合上式，所以；若选②，，当时，两式相减，得，即，又，，所以，所以，所以数列是首项为1，公比为等比数列，所以；若选③，数列满足，当时，，两式相减，可得，所以，当时，符合上式，所以；(2)，，又，所以数列是以0为首项，为公差的等差数列，所以.19．(12分)如图所示，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为的菱形，，，． (1)求证：平面平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的大小．【解析】(1)证明：∵平面平面，面面，且，面，∴平面，∵面，∴，由菱形性质知，∵，∴平面，又平面，∴平面平面．(2)如图，设的中点为，∵，，，，∴，∵平面平面，面面，且，平面∴面，又，所以两两互相垂直，所以以点为原点，以直线为轴，如图所示建立空间直角坐标系，可得，，，，，设平面的一个法向量为，而，，由，得，取，得，设平面的一个法向量为，且，，由，得，取，得， 设平面与平面所成锐二面角为，则，所以，故平面与平面所成锐二面角为．20．(12分)已知双曲线C：的渐近线方程为，过双曲线C的右焦点的直线与双曲线C分别交于左、右两支上的A、B两点．(1)求双曲线C的方程；(2)过原点O作直线，使得，且与双曲线C分别交于左、右两支上的点M、N．是否存在定值，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)因为双曲线C：的渐近线方程为，所以，即．又因为右焦点F的坐标为，所以，又由，解得，所以，所以双曲线C的方程为．(2)存在定值，使得．因为与同向，所以，由题意，可设直线，联立方程组，整理得，设，，可得，由直线分别交双曲线C的左、右两支于A、B两点，可得，即，可得，所以 由，可设，由，整理得．设，则，所以，则，所以，故存在定值，使得．21．(12分)已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若存在，满足，且，，求实数a的取值范围．【解析】(1)函数的定义域为，．当时，，在上单调递减；当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；(2)，又，则．令，即方程在上有解．令，，则，．，当时，，在上单调递减，又，则在上恒成立，不合题意；当时，，令，可知该方程有两个正根， 因为方程两根之积为1且，所以．当时，，当时，；则时，，而．令，则，令，，则在上单调递减，，则在上单调递减，，即，故存在，使得，故满足题意．综上所述，实数a的取值范围是．（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分.22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．(1)分别写出的普通方程与的直角坐标方程；(2)将曲线绕点按逆时针方向旋转90°得到曲线，若曲线与曲线交于A，B两点，求的值．【解析】(1)由题得，进而代入消去参数得曲线的普通方程为；对方程两边同乘以得，所以根据极坐标方程与直角坐标方程的互化关系得 的直角坐标方程为(2)由（1）知曲线表示直线，倾斜角为，所以曲线为直线，倾斜角为，过点所以曲线的参数方程为（为参数），代入曲线得，设A，B两点的参数分别为，则所以得.所以.23．[选修4-5：不等式选讲](10分)已知函数.(1)画出的图象，若与的图象有三个交点，求实数m的取值范围；(2)已知函数的最大值为n，正实数a，b，c满足，求证：a+2b+3c≥3.【解析】(1)当时，，当时，，当时，，则，的图象如图所示： 可以看成向上或向下平移得到，如图所示，由图可知，实数的取值范围为.(2)由（1）可知函数的最大值为，则，即，由柯西不等式得，当且仅当时取等号，故.