2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟文科数学（甲卷）试题（Word版附答案）

2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟文科数学•甲卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5．考试结束后，请将本试卷和答题一并上交。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（       ）A．B．C．D．【解析】因为，，所以，故选：C.2．某校随机抽取100名学生进行“绿色环保知识”问卷测试．测试结果发现这100名学生的得分都在内，按得分情况分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．则下列说法错误的是（       ）A．这100名学生得分的中位数是72.5B．这100名学生得分的平均数是72.5 C．这100名学生得分小于70分的有50人D．这100名学生得分不小于90分的有5人【解析】对A：根据频率分布直方图，设这100名同学得分的中位数为，则有，解得，故选项A正确；对B：根据频率分布直方图，可得100名学生得分的平均数是，故选项B正确；对C：这100名学生得分小于70分的有人，故选项C错误；对D：这100名学生得分不小于90分的有人，故选项D正确.故选：C.3．已知复数，若满足方程，则实数的值为（       ）A．2B．C．1D．【解析】将代入，得，所以可得.故选：B4．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（       ）A．B．C．D．【解析】对于A选项，函数为偶函数，且在上不单调；对于B选项，令，该函数的定义域为，，所以，函数为偶函数，且该函数在上单调递减；对于C选项，令，该函数的定义域为，，所以，函数为奇函数；对于D选项，令，该函数的定义域为，，所以，函数为偶函数，当时，，故函数在上为增函数.故选：D. 5．已知双曲线E:的右焦点为F（c，0），若F到直线ax－cy=0的距离为，则E的离心率为（       ）A．2B．C．D．【解析】依题意，所以，即，所以，所以；故选：D6．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是常数．已知当时，污染物含量降为过滤前的，那么（       ）A．B．C．D．【解析】由题意得：，即，两边取对数，，解得：.故选：C7．设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（       ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【解析】选项A:若，则或或与相交.说法错误；选项B:若，则.说法正确；选项C:若，则.说法错误；选项D:若，则或是异面直线.说法错误.故选：B8．中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（       ）．A．B．C．D．【解析】解法一：由正弦定理及得，，．又∵，由余弦定理得：，即，由余弦定理得，又∵，∴．故选：C． 解法二：由正弦定理及得，，．又∵，∴，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴．故选：C．9．已知数列{an}是首项为，公差为d的等差数列，前n项和为Sn，满足，则S9=（　　）A．35B．40C．45D．50【解析】，则，即，即，所以.故选：C10．笼子中有2只鸡和2只兔，从中依次随机取出一只动物，直到4只动物全部取出.如果将两只兔子中的某一只起名为“长耳朵”，则“长耳朵”恰好是第2只被取出的动物的概率为（       ）A．B．C．D．【解析】把2只鸡记为，，2只兔子分别记为“长耳朵”H和短耳朵h，则从笼中依次随机取出一只动物，直到4只动物全部取出，共有如下24种不同的取法：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中“长耳朵”H恰好是第2只被取出的动物，则共有种不同的取法.则“长耳朵”恰好是第2只被取出的动物的概率，故选：D 11．已知，则（       ）A．B．C．D．【解析】由，得，所以，故选：C12．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（       ）A．B．C．D．【解析】因为为奇函数，所以①；又为偶函数，所以②；令，由②得：，又，所以，得，令，由①得：；令，由②得：，所以.得时，，结合①②得，，所以函数的周期为，所以.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为2，则圆锥的侧面积是_____.【解析】设圆锥的底面半径为r，则母线长为，所以，则侧面积. 14．已知向量满足与的夹角为，则______．【解析】根据题意，，又，则.15．函数的部分图象如图所示，若将图象上的所有点向左平移个单位得到函数的图象，则函数___________.【解析】根据函数的部分图象，可得，，．再结合五点法作图，可得，，．将图象上的所有点向左平移个单位得到函数的图象，故答案为：．16．已知双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为______.【解析】如图，由题可知，，则，又，，，又，，作，可得，，则在，，即，即， 又，化简可得，同除以得解得或（舍去）；所以双曲线的离心率为.三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分17．(12分)某市场研究机构为了解用户在选购相机时品牌因素的影响，用A，B两个品牌的相机各拍摄了一张照片，然后随机调查了200个人，让他们从中选出自己认为更好的一张照片.这200个人被分成两组，其中一组不知道两张照片分别是哪个品牌的相机拍摄的.称为“盲测组”；另一组则被告知相关信息，称为“对照组”.调查结果统计如下：选择A品牌相机拍摄的照片选择B品牌相机拍摄的照片盲测组6634对照组4456(1)分别求盲测组和对照组认为A品牌相机拍摄的照片更好的概率；(2)判断是否有99%的把握认为相机的品牌对用户有影响.附：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解析】(1)由题中数据可知：盲测组认为A品牌相机拍摄的照片更好的概率为；对照组认为A品牌相机拍摄的照片更好的概率为.(2)零假设为：用户选择的照片与相机品牌之间无关，即相机的品牌对用户无影响.根据所给数据可得，因为9.778>6.635，根据独立性检验推断不成立，即认为相机的品牌对用户有影响，此推断犯错误的概率不超过0.01，即有99%的把握认为相机的品牌对用户有影响 18．(12分)已知数列的前n项和为，且满足，数列的前n项和为.(1)求证：数列为等比数列；(2)求.【解析】(1)当时，，，当时，，①，②①－②得，即.又，∴是首项为，公比为2的等比数列.(2)由（1）知，，∵，∴，∴.19．(12分)如图，直三棱柱中，，E为棱BB1的中点，F为棱AB上的点.(1)证明∶；(2)当C1F与平面ABC所成的角为时，求三棱锥A-CEF的体积.【解析】(1)连接BC1．由题可知：平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C=BC，AB平面ABC，且AB⊥BC，所以AB⊥平面BB1C1C.又因为EC平面BB1C1C，所以AB⊥EC．在Rt△EBC，，在Rt△BCC1，， 所以因为AB⊥EC，平面FBC1，所以CE⊥平面FBC1．又因为平面所以.(2)连接FC．因为CC1⊥平面ABC，所以直线C1F与平面ABC所成角为在中，，，所以，在Rt△BCF中，，BC=2，所以FB=2，即F为AB中点，所以20．(12分)已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)若时，恒成立，求的取值范围.【解析】(1)的定义域为，当时，恒成立，所以在上单调递减；当时，令，解得：，所以在上单调递增；令，解得：，所以在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递减.当时，在上单调递增，在上单调递减；(2)设，则有当时，在上单调递增，所以满足题意；当时，，且， 使时，单调递减，使得不合题意.的取值范围为.21．(12分)已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上一点，且与轴垂直．(1)求椭圆的方程；(2)设过点的直线与交于、两点，点，且的面积是面积的2倍，求直线的方程．【解析】(1)因为与轴垂直，所以，，且，则，即，所以，故的方程为；(2)由题意，得，当与轴重合时，，，从而面积是面积的3倍，此时不适合题意；当与轴不重合时，设直线的方程为，，，联立得，由题意，得，且，，由的面积是面积的2倍，得，所以，所以，，即，解得，所以直线的方程为．（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分.22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分) 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；(2)若曲线与直线交于两点，点的坐标为，求的值．【解析】(1)由线平方相减，消去参数点，得．，．直线消去，得，即．(2)把代入，得，设对应的参数值为．在直线上，23．[选修4-5：不等式选讲](10分)已知函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)当时，，求实数的取值范围．【解析】(1)当时，，即当时，不成立；当时，，故；当时，恒成立，故． 综上所述，不等式的解集为．(2)当时，等价于成立．当，且时，，不合题意；当时，的解集为，所以，故．综上所述，实数的取值范围为．