2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟新高考数学II卷（Word版附答案）

2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟新高考数学II卷本试卷22小题，满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效.4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数满足：，则复数的虚部是（       ）A．B．C．D．【解析】由，所以复数的虚部是，故选：D2．已知全集，集合，，则为（       ）A．B．C．D．【解析】因为全集，集合，，所以，．故选：C．3．已知抛物线：焦点为，是抛物线上一点，且点到抛物线的准线的距离为3，点在抛物线上运动，则点到直线：的最小距离是（        ） A．B．C．1D．【解析】抛物线的准线为，由到抛物线的准线的距离为3，知，所以抛物线的方程.设点，点到直线：的距离为，，当且仅当时，点到直线：的距离有最小值.故选：D.4．古希腊数学家阿基米德在《论球和圆柱》中，运用穷竭法证明了与球的面积和体积相关的公式．其中包括他最得意的发现—“圆柱容球”．设圆柱的高为2，且圆柱以球的大圆（球大圆为过球心的平面和球面的交线）为底，以球的直径为高．则球的表面积与圆柱的体积之比为（       ）A．B．C．D．【解析】依题意：球的直径为2，即球半径，球的表面积，圆柱底面圆半径，高，则圆柱体积，球的表面积与圆柱的体积之比.故选：C5．如图，在直三棱柱中，，是等边三角形，点为该三棱柱外接球的球心，则三棱柱外接球表面积与四棱锥体积之比为（       ）A．B．C．D．【解析】取三棱柱上底面中心D，下底面中心，连接、.取中点O，连接则点O为三棱柱外接球球心，为三棱柱外接球半径. 由，可得，，则，则三棱柱外接球表面积为，延长交与，则为四棱锥的高，则，则三棱柱外接球表面积与四棱锥体积之比为，故选：A6．江西某中学为测试高三学生的数学水平，组织学生参加了联考，共有1000名学生参加，已知该校上次测试中，成绩X（满分150分）服从正态分布，已知120分及以上的人数为160人，假设这次考试成绩和上次分布相同，那么通过以上信息推测这次数学成绩优异的人数为（成绩140分以上者为优异）（       ）A．20B．25C．30D．40【解析】由题可知随机变量X满足正态分布，因为120分及以上的人数为160人，所以80分及以下的人数也为160人，故：,由此可知，即，所以，故140分及以上的人数为，故选：B7．已知，，，则（       ）A．B．C．D．【解析】令，， 则，，，又，所以在递增，又，，∴，∴．故选：C8．定义在R上的奇函数，满足，且当时，，则（       ）A．-8B．-2C．2D．8【解析】∵是定义在R上的奇函数，且，∴，∴，∴的周期为8，∵时，；.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．为评估一种农作物的种植效果，选了块地作试验田．这块地的亩产量单位：分别为，，，，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（       ）A．，，，的平均数B．，，，的标准差C．，，，的方差D．，，，的中位数【解析】在A中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标，故A不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在B中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故B可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在C中，方差能反映一个数据集的离散程度，故C可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在D中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”，故D不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度．故选：BC．10．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中真命题是（       ） A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则【解析】A选项，因为，，所以，因为，α，β是两个不同的平面，所以，A选项正确；B选项，若，，，则与n可能平行，可能异面，可能相交，B选项错误；C选项，若，，则，又因为，α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则，C选项正确；若，，，则可能在内，可能与平行，可能与相交，故D选项错误.故选：AC11．若圆：与圆：的公共弦AB的长为1，则下列结论正确的有（       ）A．B．直线AB的方程为C．AB中点的轨迹方程为D．圆与圆公共部分的面积为【解析】两圆方程相减可得直线AB的方程为，即，因为圆的圆心为，半径为1，且公共弦AB的长为1，则到直线的距离为，所以，解得，所以直线AB的方程为，故A错误，B正确；由圆的性质可知直线垂直平分线段,所以到直线的距离即为AB中点与点的距离，设AB中点坐标为，因此，即，故C正确；因为，所以，即圆中弧所对的圆心角为 ，所以扇形的面积为，三角形的面积为，所以圆与圆公共部分的面积为，故D错误.故选：BC.12．对于给定数列，如果存在实数t，m，对于任意的均有成立，那么我们称数列为“M数列”，则下列说法正确的是（       ）A．数列是“M数列”B．数列不是“M数列”C．若数列为“M数列”，则数列是“M数列”D．若数列满足，，则数列是“M数列”【解析】对于选项A，由“M数列”定义，得，即，存在，对于任意的都成立，故选项A正确；对于选项B，由“M数列”定义，得，即，存在，对于任意的都成立，故选项B错误；对于选项C，若数列为“M数列”，则，所以，存在m=0成立所以数列是“M数列”，故选项C正确；对于选项D，若数列是“M数列”，则，可得，即，故，对于任意的都成立，则所以，或.当，时，，此时数列是“M数列”；当时，，此时数列是“M数列”，故选项D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为___________. 【解析】双曲线的标准方程为，由题意可得，则，，，所以，，解得.14．在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域I内单调递增且有界的函数，即，，．则下列函数中，所有符合上述条件的序号是______．①；②；③；④．【解析】对于①，无界，不符合题意；对于②，不单调，不符合题意；对于③，单调递增，且，则，符合题意；对于④，单调递增，且，则，符合题意．故答案为：③④15．在平行四边形中，已知，，，，，则___________.【解析】由题意可知，，，，所以.又因为，，所以.16．若函数与函数的图象有公切线，则实数的取值范围是________. 【解析】设公切线与函数切于，与函数切与，则公切线斜率，故切线方程为，即，也可以表示为，即，可得，，，令，则，，令，则，则在上单调递增，当时，，时，，故.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．(10分)已知数列的前n项和为，．(1)证明：数列为等比数列；(2)记数列的前n项和为，证明：．【解析】(1)，，∴，故数列为等比数列，首项为，公比为2；(2)由(1)可知，∴，.18．(12分)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，且满足 ．(1)求角C的大小；(2)若，求的面积．【解析】(1)由题意，，结合正弦定理，故，又，故，故，即，又，，(2)由题意，又，故，，，即，又，，由，，代入可得：，，，19．(12分)如图，四棱锥中，，，，，为线段上一点，平面，平面平面.(1)求；(2)若三棱锥体积为，求二面角的余弦值.【解析】(1)连接交于，由，，得，所以，，即，，，因为平面，平面，平面平面，所以， 所以；(2)因为，，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，由（1）得，所以，即，，平面即为平面，如图，以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的一个法向量是，则，取得，平面一个法向量是，．二面角为锐二面角，所以其余弦值为．20．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知离心率为的椭圆C：的左，右顶点分别是A，B，过右焦点F的动直线l与椭圆C交于M，N两点，的面积最大值为(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线AM与定直线交于点T，记直线TF，AM，BN的斜率分别是，，，若，，成等差数列，求实数t的值．【解析】(1)由题意可知：，设，显然，的面积为：，因为的面积最大值为，所以，又因为椭圆的离心率为，所以， 于是有，所以椭圆的标准方程为：；(2)由（1）可知：，，由题意可知直线l斜率不为零，所以设方程设为：，与椭圆方程联立，得，设，所以，直线的方程为：，把代入方程中，得，所以，于是，，，因为，，成等差数列，所以，化简，得，把代入化简，得，把代入，得，因为，所以有，即.21．(12分)年月日，中国女足在两球落后的情况下，以比逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇.(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球.不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙､丁 名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外人中的人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外人中的人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，易知，.①试证明为等比数列；②设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小.【解析】(1)依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，门将在前三次扑出点球的个数可能的取值为，，，，，，，的分布列为：期望.另解：依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，门将在前三次扑出点球的个数可能的取值为，易知，，.的分布列为：期望.(2)①第次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第 次传球之前球在甲脚下的概率为，第次传球之前球不在甲脚下的概率为，则，从而，又，是以为首项，公比为的等比数列.②由①可知，，，故.22．(12分)已知函数，是其导函数，其中．(1)若在上单调递减，求a的取值范围；(2)若不等式对恒成立，求a的取值范围．【解析】(1)，因为在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，所以，所以a的取值范围为；(2)由得，即对恒成立，令，，当时，，不满足；当时，时，，时，，所以函数在上递减，在上递增，所以，不符合题意；当时，时，，时，，所以函数在上递增，在上递减， 所以，解得，综上所述，a的取值范围.