2020-2021学年北京市大兴区八年级上学期期末数学试卷(含答案解析).docx

2020-2021学年北京市大兴区八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.以下图形中对称轴的数量小于3的是(    )A.B.C.D.2.(-2018)0的结果是(    )A.-2018B.-1C.1D.20183.若将a+bab(a,b均为正数)中的字母a，b的值分别扩大为原来的3倍，则分式的值(   )A.扩大为原来的3倍B.缩小为原来的19C.不变D.缩小为原来的134.下列各分式中，最简分式是(    )A.6(x-y)8(x+y)B.y2-x2x-yC.x2+y2x2y+xy2D.x2-y2(x+y)25.如图，在△AOB中，∠OAB=∠AOB=15°，OB=8，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，点Q为边OA上一动点，则PA+PQ的最小值是(    )A.32B.42C.4D.336.8、下列结论中错误的是A.全等三角形对应边上的高相等B.全等三角形对应边上的中线相等C.两个直角三角形中，斜边和一个锐角分别对应相等，则这两个三角形全等D.两个直角三角形中，两个锐角分别对应相等，则这两个三角形全等7.下列多项式能进行分解因式的是(    ),A.x2+y+y2B.x2-2x+4C.m2-nD.m2+n2-2mn8.数学课上探究“菱形的两条对角线互相垂直”时，甲乙两同学分别给出各自的证明：已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O．求证：AC⊥BD．甲的证法：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，OB=OD，又∵AO=AO，∴△AOB≌△AOD，∴∠AOB=∠AOD∵∠AOB+∠AOD=180°，∴∠AOB=90°，∴AC⊥BD．乙的证法：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，OB=OD，∴AO⊥OB，∴AC⊥BD．则关于两人的证明过程，说法正确的是(    )A.甲、乙两人都对B.甲对，乙不对C.乙对，甲不对D.甲、乙两人都不对二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.当x______时，分式-1x-1的值为正数．当x=______时，x2-4x-2的值为零．10.若25x2+30xy+k是一个完全平方式，则k=______．11.若x2-12-x÷2+xx+3有意义，则x的取值范围是______．,12.过多边形的一个顶点可以作9条对角线，那么这个多边形的内角和比外角和大______．13.如图，BC=2，A为半径为1的圆B上一点，连接AC，在AC上方作一个正三角形ACD，连接BD，则BD的最大值为______．14.如图，CD//AB，OE平分∠AOD，OF⊥OE，OG⊥CD，∠CDO=50°，则下列结论：①∠AOE=65°；②OF平分∠BOD；③∠GOE=∠DOF；④∠GOE=25°.其中正确说法的序号是______．15.有6张卡片，上面分别标有0，1，2，3，4，5这6个数字，将它们背面洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，若数a使关于x的分式方程2x-1+a1-x=2的解为正数，且使关于y的不等式组y+23-y2>1y≤a的解集为y<-2，则抽到符合条件的a的概率为______．16.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于D，交BC于E；②分别以D，E为圆心，以大于12DE的同样长为半径作弧，两弧交于点M；③作射线BM交AC于N．如果BN=NC，∠A=57°，那么∠ABN的度数为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.(本题共12分)(1)计算：①；         ②   (2) 因式分解：      ①                               ,      ②四、解答题（本大题共8小题，共46.0分）18.化简：(1)(2a-1)2-a(a-4)；(2)(2x+1x+1+x-1)÷x+24x+419.学习了正多边形之后，小马同学发现利用对称、旋转等方法可以计算等分正多边形面积的方案．(1)请聪明的你将下面图①、图②、图③的等边三角形分别割成2个、3个、4个全等三角形；(2)如图④，等边△ABC边长AB=4，点O为它的外心，点M、N分别为边AB、BC上的动点(不与端点重合)，且∠MON=120°，若四边形BMON的面积为s，它的周长记为l，求ls最小值；(3)如图⑤，等边△ABC的边长AB=4，点P为边CA延长线上一点，点Q为边AB延长线上一点，点D为BC边中点，且∠PDQ=120°，若PA=x，请用含x的代数式表示△BDQ的面积S△BDQ．,20.(1)计算：(π-2013)0-(-13)-2+tan45°(2)先化简，再求值：6x2-4÷2x-2-xx+2，其中x=-3．21.甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字，问：甲、乙两人每分钟各打多少个字？22.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O.点E是线段DO上一点，连接CE.点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点M.点G是线段CE上一点，且CO=CG．(1)若OF=4，求FG的长；(2)求证：BF=OG+CF．23.某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件，为提高利润，欲对该商品进行涨价销售．经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件，将销售价定为多少时，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？24.已知，如图，在▱ABCD中，延长BC至E，延长DA至F，使AF=CE.连接EF，交BD于O.求证：EF与BD互相平分．,25.如图，点C、D是线段AB上两点，且AB=8cm，CD=2cm，点M是AC的中点，点N是BD的中点，求线段MN的长度．,参考答案及解析1.答案：D解析：本题考查了轴对称图形，解答本题的关键是掌握对称轴的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据对称轴的概念求解．解：A、有4条对称轴；B、有6条对称轴；C、有4条对称轴；D、有2条对称轴．故选：D．  2.答案：C解析：解：(-2018)0=1．故选：C．直接利用零指数幂的性质化简得出答案．此题主要考查了零指数幂的性质，正确把握相关定义是解题关键．3.答案：D解析：解：3a+3b3a×3b=3(a+b)9ab=a+b3ab=13⋅a+bab．故选D．依题意分别用3a和3b去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简即可．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．4.答案：C解析：解：A．6(x-y)8(x+y)=3(x-y)4(x+y)，含有公因式2，不是最简分式，故本选项不符合题意；,B.y2-x2x-y=-(x+y)(x-y)x-y=-(x+y)=-x-y，故本选项不符合题意；C.分式的分子和分母(除1外)没有其它的公因式，是最简分式，故本选项符合题意；D.x2-y2(x+y)2=(x+y)(x-y)(x+y)2=x-yx+y，不是最简分式，故本选项不符合题意；故选：C．根据最简分式的定义(分式的分子和分母除1以外没有其它的公因式，叫最简分式)逐个判断即可．本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．5.答案：C解析：解：在射线OB上截取一点Q'，使得OQ'=OQ，则△OPQ≌△OPQ'，可得PQ=PQ'.作AH⊥OB于H．∴PA+PQ=PA+PQ'，∴当A、P、Q'共线，且垂直OB时，PA+PQ'的值最小，最小值为AH，在Rt△ABH中，∵OB=AB=8，∠ABH=30°，∴AH=12AB=4，∴PA+PQ的最小值为4，故选：C．在射线OB上截取一点Q'，使得OQ'=OQ，则△OPQ≌△OPQ'，可得PQ=PQ'.作AH⊥OB于H.可得PA+PQ=PA+PQ'，推出当A、P、Q'共线，且垂直OB时，PA+PQ'的值最小，最小值为AH，本题考查轴对称-最短问题、等腰三角形的性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．6.答案：D解析：解：根据全等三角形的性质可知：A、B的结论均正确；根据全等三角形的判定定理可知：C选项符合ASA或AAS的条件，因此结论也正确；D选项中，由于没有边的参与，因此结论不成立．故选D．7.答案：D解析：解：m2+n2-2mn=(m-n)2．,故选：D．根据因式分解的意义为将多项式和的形式化为积的形式，判断即可得到结果．此题考查了因式分解的意义，分解因式即将多项式和的形式化为积的形式．8.答案：A解析：解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，OB=OD，又∵AO=AO，∴△AOB≌△AOD(SSS)，∴∠AOB=∠AOD∵∠AOB+∠AOD=180°，∴∠AOB=90°，∴AC⊥BD．即甲的证法正确；∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，OB=OD，∴AO⊥OB，∴AC⊥BD．即乙的证法正确；故选：A．由全等三角形的判定与性质得出甲的证法正确，由等腰三角形的性质得出乙的证法正确，即可得出结论．本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．9.答案：<1；-2解析：解：由题意得：x-1<0，解得：x<1；由题意得：x2-4=0，且x-2≠0，解得：x=-2，故答案为：<1；-2．,根据分式值为正，分子分母同号可得x-1<0，根据分式值为零的条件可得x2-4=0，且x-2≠0，再解即可．此题主要考查了分式值为正，分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．10.答案：9y2解析：解：∵25x2+30xy+k是一个完全平方式，∴(5x)2+2×5x×3y+k是一个完全平方式，∴k=(3y)2=9y2，故答案为：9y2．利用完全平方式的定义即可求出k的值．此题主要考查了完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B2，则称A是完全平方式．a2±2ab+b2=(a±b)2.完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央”.正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键．11.答案：x≠2，x≠-2，且x≠-3解析：解：根据题意得：2-x≠0，2+x≠0，x+3≠0，则x≠2，x≠-2，且x≠-3．故答案为：x≠2，x≠-2，且x≠-3根据分母不为0确定出x的范围即可．此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12.答案：1440°解析：解：∵过多边形的一个顶点共有9条对角线，故该多边形边数为12，∴(12-2)⋅180°=1800°，∴这个多边形的内角和为1800°．1800°-360°=1440°．∴这个多边形的内角和比外角和大1440°．故答案为：1440°,从多边形一个顶点可作9条对角线，则这个多边形的边数是12，n边形的内角和可以表示成(n-2)⋅180°，代入公式就可以求出内角和．再根据多边形外角和等于360°列式计算即可．本题主要考查了多边形的对角线、内角和公式．外角和公式，是需要熟记的内容，比较简单．13.答案：3解析：解：如图：以AB为边作等边△ABE，连接CE，BD．∵△AEB，△ACD是等边三角形，∴AB=BE=AE，AC=AD，∠EAB=∠DAC=60°∴点E在圆B上，∠EAC=∠DAB∵∠EAC=∠DAB，AE=AB，AD=AC∴△ABD≌△AEC(SAS)∴BD=EC在△BEC中，EC≤BE+BC∵点E在圆B上，∴点E在线段CB的延长线上时，CE的值最大，即此时CE=BE+BC=3∴BD的最大值为3故答案为3以AB为边作等边△ABE，由题意可证：点E在圆B上，△ABD≌△AEC，可得CE=BD，在△BEC中，EC≤BE+BC，即当点E在线段CB的延长线上时，CE的值最大，即可求BD的最大值．本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形三边的关系，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．14.答案：①②③④解析：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义以及垂线的定义，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条．,由平行线的性质结合角平分线的定义，再结合垂直的定义，可分别求得∠AOE、∠GOE、∠DOF、∠BOD，可判定结论，得出正确答案．解：∵AB//CD，∴∠BOD=∠CDO=50°，∴∠AOD=180°-50°=130°，又∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=12∠AOD=65°，故①正确；∵OG⊥CD，∴∠GOA=∠DGO=90°，∴∠GOD=40°，∠GOE=90°-∠AOE=25°，∴∠EOG+∠GOD=65°，又OE⊥OF，∴∠DOF=25°，∴∠BOF=∠DOF=25°，∴OF平分∠BOD，∠GOE=∠DOF，故②③④正确；故答案是①②③④．  15.答案：12解析：解：去分母得2-a=2(x-1)，解得x=4-a2，根据题意得4-a2>0且4-a2≠1，解得a<4且a≠2，不等式组y+23-y2>1y≤a变形为y<-2y≤a，而不等式组的解集为y<-2，所以a≥-2，即a的范围为-2≤a<4且a≠2，所以抽到符合条件的a的概率=36=12．故答案为12．,通过分式方程的解为正数得到a<4且a≠2，再解不等式组得到a≥-2，从而得到a的范围为-2≤a<4且a≠2，然后根据概率公式求抽到符合条件的a的概率．本题考查了概率公式：某随机事件的概率=这个随机事件所占有结果数除以总的等可能的结果数．也考查了解分式方程和一元一次不等式组．16.答案：41°解析：解：根据作图方法可得BN是∠ABC的角平分线，∴∠ABN=∠CBN，∵BN=NC，∴∠C=∠NBC，设∠ABN=x°，则∠CBN=∠C=x°，x+x+x+57=180，解得：x=41，故答案为：41°．根据作图方法可得BN是∠ABC的角平分线，进而可得∠ABN=∠CBN，根据等边对等角可得∠C=∠NBC，设∠ABN=x°，则∠CBN=∠C=x°，利用三角形内角和为180°列出方程，再计算出x的值即可．此题主要考查了基本作图，以及三角形内角和定理，关键是掌握角平分线的作法．17.答案：解：(1)①原式=；②原式=；(2)①原式==x(x+3)(x-3)；②原式==．,解析：(1)①直接根据整数指数幂的性质和有理数的混合运算法则进行解答即可得到结论；②先运用完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可得到结论；(2)①先提公因式，再运用公式法继续进行因式分解即可得到结论；②先提公因式，再运用公式法继续进行因式分解即可得到结论．18.答案：解：(1)原式=4a2-4a+1-a2+4a=3a2+1；(2)原式=x2+2xx+1÷x+24(x+1)=x(x+2)x+1⋅4(x+1)x+2=4x；解析：(1)根据整式的运算法则即可求出答案．(2)根据分式的运算法则即可求出答案．本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．19.答案：解：(1)如图1，作一边上的中线可分割成2个全等三角形，如图2，连接外心和各顶点的线段可分割成3个全等三角形，如图3，连接各边的中点可分割成4个全等三角形，(2)如图④中，作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，连接OB．,∵△ABC是等边三角形，O是外心，∴OB平分∠ABC，∠ABC=60°∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴OE=OF，∵∠OEB=∠OFB=90°，∴∠EOF+∠EBF=180°，∴∠EOF=∠NOM=120°，∴∠EOM=∠NOF，∴△OEM≌△OFN(ASA)，∴EM=FN，ON=PM，S△EOM=S△NOF，∴S四边形BMON=S四边形BEOF=定值，∵OB=OB，OE=OF，∠OEB=∠OFB=90°，∴Rt△OBE≌Rt△OBF(HL)，∴BE=BF，∴BM+BN=BE+EM+BF-FN=2BE=定值，∴欲求ls最小值，只要求出l的最小值，∵l=BM+BN+ON+OM=定值+ON+OM，欲求ls最小值，只要求出ON+OM的最小值，∵OM=ON，根据垂线段最短可知，当OM与OE重合时，OM定值最小，此时ls定值最小，s=×12×2×233=233，l=2+2+233+233=4+433，∴ls的最小值=4+433233=2+23．(3)如图⑤中，连接AD，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．∵△ABC是等边三角形，BD=DC，,∴AD平分∠BAC，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∵∠DEA=∠DEQ=∠AFD=90°，∴∠EAF+∠EDF=180°，∵∠EAF=60°，∴∠EDF=∠PDQ=120°，∴∠PDF=∠QDE，∴△PDF≌△QDE(ASA)，∴PF=EQ，在Rt△DCF中，∵DC=2，∠C=60°，∠DFC=90°，∴CF=12CD=1，DF=3，同法可得：BE=1，DE=DF=3，∵AF=AC-CF=4-1=3，PA=x，∴PF=EQ=3+x，∴BQ=EQ-BE=2+x，∴S△BDQ=12⋅BQ⋅DE=12×(2+x)×3=32x+3．解析：(1)根据要求利用全等三角形的判定和性质画出图形即可．(2)如图④中，作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，连接OB.证明△OEM≌△OFN(ASA)，推出EM=FN，ON=PM，S△EOM=S△NOF，推出S四边形BMON=S四边形BEOF=定值，证明Rt△OBE≌Rt△OBF(HL)，推出BM+BN=BE+EM+BF-FN=2BE=定值，推出欲求ls最小值，只要求出l的最小值，因为l=BM+BN+ON+OM=定值+ON+OM所以欲求ls最小值，只要求出ON+OM的最小值，因为OM=ON，根据垂线段最短可知，当OM与OE重合时，OM定值最小，由此即可解决问题．(3)如图⑤中，连接AD，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.证明△PDF≌△QDE(ASA)，即可解决问题．本题属于圆综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．20.答案：解：(1)(π-2013)0-(-13)-2+tan45°=1-9+1=-7；,(2)6x2-4÷2x-2-xx+2=6(x+2)(x-2)×x-22-xx+2=3-xx+2，当x=-3代入上式得：原式=3-(-3)-3+2=-6．解析：(1)根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值分别进行计算，再把所得的结果合并即可；(2)先把除法转化成乘法，再把分母因式分解，然后约分，最后把x的值代入即可．21.答案：解：设乙每分钟打x个字，则甲每分钟打(x+5)个字，根据题意得：1000x+5=900x，解得：x=45，经检验，x=45是原方程的解，且符合题意，∴x+5=50．答：甲每分钟打50个字，乙每分钟打45个字．解析：设乙每分钟打x个字，则甲每分钟打(x+5)个字，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22.答案：(1)解：∵CF平分∠OCE，∴∠OCF=∠ECF．∵OC=CG，CF=CF，∵在△OCF和△GCF中，OC=GC∠OCF=∠ECFCF=CF，∴△OCF≌△GCF(SAS)．∴FG=OF=4，即FG的长为4．(2)证明：在BF上截取BH=CF，连接OH．,∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∠DBC=45°，∴∠BOC=90°，∴∠OCB=180°-∠BOC-∠DBC=45°．∴∠OCB=∠DBC．∴OB=OC．∵BF⊥CF，∴∠BFC=90°．∵∠OBH=180°-∠BOC-∠OMB=90°-∠OMB，∠OCF=180°-∠BFC-∠FMC=90°-∠FMC，且∠OMB=∠FMC，∴∠OBH=∠OCF．∵在△OBH和△OCF中OB=OC∠OBH=∠OCFBH=CF，∴△OBH≌△OCF(SAS)．∴OH=OF，∠BOH=∠COF．∵∠BOH+∠HOM=∠BOC=90°，∴∠COF+∠HOM=90°，即∠HOF=90°．∴∠OHF=∠OFH=12(180°-∠HOF)=45°．∴∠OFC=∠OFH+∠BFC=135°．∵△OCF≌△GCF，∴∠GFC=∠OFC=135°，∴∠OFG=360°-∠GFC-∠OFC=90°．,∴∠FGO=∠FOG=12(180°-∠OFG)=45°．∴∠GOF=∠OFH，∠HOF=∠OFG．∴OG//FH，OH//FG，∴四边形OHFG是平行四边形．∴OG=FH．∵BF=FH+BH，∴BF=OG+CF．解析：(1)根据条件证明△OCF≌△GCF，由全等的性质就可以得出OF=GF而得出结论；(2)在BF上截取BH=CF，连接OH.通过条件可以得出△OBH≌△OCF.可以得出OH=OF，从而得出OG//FH，OH//FG，进而可以得出四边形OHFG是平行四边形，就可以得出结论．23.答案：解：设销售单价定为x元(x≥10)，每天所获利润为y元，则y=[100-10(x-10)]⋅(x-8)=-10x2+280x-1600=-10(x-14)2+360所以将销售定价定为14元时，每天所获销售利润最大，且最大利润是360元．解析：根据题意列出二次函数，将函数化简为顶点式，便可知当x=14时，所获得的利润最大．本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．24.答案：证明：连接BF、DE，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DF//BE，AD=BC，∵AF=CE，∴AD+AF=BC+CE，即DF=BE，∵DF//BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∴EF与BD互相平分．解析：连接BF、DE，由平行四边形的性质得DF//BE，AD=BC，再证DF=BE，得四边形BEDF是平行四边形，即可得出结论．,本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形BEDF为平行四边形是解题的关键．25.答案：解：∵M、N分别是AC、BD的中点，∴MN=MC+CD+ND=12AC+CD+12DB=12(AC+DB)+CD=12(AB-CD)+CD=5cm．解析：本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键．结合图形，得MN=MC+CD+ND，根据线段的中点的定义，得MC=12AC，ND=12DB，然后代入，结合已知的数据进行求解．