浙江省杭州地区（含周边）重点中学2021-2022学年高一数学上学期期中考试试题（附答案）

绝密★考试结束前杭州重点中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学学科试题考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、考试号和姓名；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷。选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则A．B．C．D．2．命题“”的否定是A．B．C．D．3．已知，，，则的大小关系是A．B．C．D．4．设，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件5．网上购物常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”.为了穿得舒适，鞋子不能挤脚，也不能过长.SIZE尺码对照表中国鞋码实际标注(同国际码)mm220225230235240245250255260265中国鞋码习惯叫法(同欧码)34353637383940414243一个篮球运动员的脚长为282mm，则从表格数据可以推算出，他最适合穿的鞋号是A．45B．46C．47D．486．在平面直角坐标系中同时作出函数和的图象，可能是高一数学试题卷第9页共9页 A．B．C．D．7．下列函数中，在上单调递增且满足“”的是A．B．C．D．8．若定义在上的函数满足，函数在上单调递减且，则满足的实数的取值范围是A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9．已知，下列命题中正确的是A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则10．下列各组函数中，相同的函数有A．函数与函数B．函数与函数C．函数与函数D．函数与函数11．已知函数，下列判断正确的是A．是偶函数B．当时，在上单调递增C．当时，的值域是D．关于的方程的不同实根个数可以是个12．设正整数，其中对于任意，.函数满足.则A．B．C．D．非选择题部分高一数学试题卷第9页共9页 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若幂函数是偶函数，则▲．14．已知正实数满足，则的最小值是▲．15．以下是面点师制作兰州拉面的一个数学模型：如图所示，在数轴上截取与闭区间对应的线段，该线段长度为个单位．将该线段对折后（坐标对应的点与原点重合），线段数目翻倍，再将每根线段都均匀地拉成长度为个单位的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标和对应的点被拉到坐标，原来的坐标对应的点被拉到坐标，等等）．接下来的每次操作都在上一次操作的基础上进行同样的流程．在第次操作完成后，原闭区间上恰好被拉到坐标的点有若干个，这若干个点在第一次操作之前所对应的坐标形成一个集合，记为，例如．则集合可以用列举法表示为▲．（第15题图）16．已知函数，若对任意，均有，则实数的取值范围是▲．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知函数的定义域为集合，集合（1）若，求；（2）在①②这两个条件中选择一个作为已知条件，补充到下面的问题中，并求解.问题：若▲，求实数的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18．（10分）已知函数，其中是不为零的常数.（1）若，求使得的实数的取值范围；（2）若在区间上的最大值为，求实数的值.19．（10分）已知是定义在上的奇函数，且当时，.（1）求函数在上的解析式；高一数学试题卷第9页共9页 （2）利用函数单调性的定义证明：函数在上单调递减.20．（10分）已知函数，其中.（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；（2）若存在，使得，求实数的取值范围.21．（15分）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药,用水越多洗掉的农药也越多，但总还有农药残留在蔬菜上.设用单位量的水清洗一次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗之前残留的农药量之比为函数.（1）试规定的值，并解释其实际意义；（2）根据题意，写出函数的两个性质；（3）若.现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药比较少？说明理由.22．（15分）设集合，.（1）若，求集合和（用列举法表示）；（2）求证：；（3）若，且，求实数的取值范围．高一数学试题卷第9页共9页 杭州重点中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学学科参考答案一、二：选择题123456789101112BCDACCBDBDACDABCABD三、填空题13．14．15．16．四、解答题17．解：（1）…………………………………………………………（占2分）…………………………………………………………（占1分）所以………………………………………………………（占2分）（第(1)问共占5分，答案若正确不用看过程直接拿5分）（2）选①等价于………………………………………………………………（占1分）当时，等价于，即………………………………………（占1分）当时，等价于，等价于.……………………………（占2分）综上所述，………………………………………………………………………（占1分）选②的时候，若，等价于，即.…………………………（占1分）若，等价于…………（占3分，只写出第一个得2分，第一个不写不得分）即无解.综上所述，…………………………………………………………（占1分）（第(2)问共占5分）18．解：（1）………………………………（占2分）…………………………（占2分）（第(1)问共占4分）（2）当时，在上单调递增，此时高一数学试题卷第9页共9页 ……………………（占3分）当时，在上单调递减，此时，…………………（占3分）综上所述，或.（第(2)问共占6分）19．解：（1）………………………………（第（1）问共占5分，可以直接写出答案。第一条式子不占分，第二条式子占2分，第三条式子占3分）（2），当时，因为，所以，故，于是在上单调递减.………………………（占1分）（第（2）问共占5分）第（2）问方法2（利用奇函数的性质）：，当时，因为，所以，故，于是高一数学试题卷第9页共9页 在上单调递减.………………………（占1分）（第（2）问共占5分）说明：考生使用下面的方法解答也可以，按如下标准评分：证明：因为是奇函数，要证明在上单调递减，只用证明在上单调递减.……………………………………………（该结论本身不占分，但是如果把该结论证明了一遍，且证明正确，则占1分），当时，因为，且，所以，故，于是在上单调递减.………………（占1分）（第（2）问共占5分）20．解：（1）即不等式的解集为，故是方程的根，故，解得……（占4分，答案正确直接给4分）（第（1）问共占4分）（2）.…（参变分离占2分）等价于存在，使得.此时，令，（由双勾函数的性质）可得在区间上的最大值是，故………………………………………（占4分）（第（2）问共占6分）第（2）问解法2：即存在，使得，令（由二次方程根的分布）可得，题意等价于，解得．………………(占6分)（第（2）问共占6分）高一数学试题卷第9页共9页 21．解：（1）意义：在没清洗的时候，蔬菜上的农药量保持不变.…………（占2分，解释正确占1分，共占3分）（第（1）问共占3分）（2）在上单调递减，且.…（共占3分，单调性占2分，不等式占1分，不等式只写出或也给1分.只写出诸如定义域、奇偶性等性质不得分.）（第（2）问共占3分）（3）清洗一次时，残留量与没清洗之前的比值为……………………（不占分）平均分成两份清洗两次时，残留量与没清洗之前的比值为…（占3分）………………………………………………（占3分）可得当时，平均分成两次洗，残留量较少.当时，两种方法残留量相同.当时，一次性洗残留量较少.………………………………（占3分，每个结论占1分）（第（3）问共占9分）22．解：（1）解方程可得，故．………………（占2分）解方程，可得或或，故……（占3分，第（1）问共占5分）（2）对于任意故，故，故．……（占3分）（第（2）问共占3分）（3）记，根据题意，关于的方程的解为方程组解的横坐标，两式相减可得高一数学试题卷第9页共9页 ，………………（占3分，若解题过程中出现了也给3分）该方程的解集与相同，因此方程无解，或它的解是方程的解．也即无解，或其解为，从而可得实数的取值范围是．………………（占4分）（第（3）问共占7分，使用其它方法若正确也酌情给分）高一数学试题卷第9页共9页