2020-2021学年北京市某校高三(上)诊断性数学试卷(9月份)【附答案】
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2020-2021学年北京市某校高三(上)诊断性数学试卷(9月份)一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知全集=‴㠱⸸⸸㠱⸸⸸⸸,集合=쳌䁠쳌㠱⸸쳌,=㠱⸸,则=()A.B.⸸C.‴㠱⸸⸸D.‴㠱⸸⸸⸸2.设=(为虚数单位),则䁠䁠等于()A.B.C.D.3.已知ᦙ䁪香⸸ᦙ,则ᦙ=()A.B.C.D.4.设,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,已知,,则“,”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知cos,则cos的值为()A.B.C.-D.-6.设为直线쳌‴ᦙ=上的动点,,为圆:쳌‴ᦙ=㠱的两条切线,,为切点,则四边形面积的最小值为()A.B.C.D.7.如图,已知的顶点平面,点,在平面的同一侧,且䁠䁠ᦙ,䁠䁠ᦙ.若,与平面所成的角分别为,,则面积的取值范图是㠱________.8.函数쳌=쳌ᦙsin쳌的图象是()试卷第1页,总14页
A.B.C.D.二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分。)9.在四棱锥‴퐷中,底面퐷是正方形,底面퐷,=,截面퐷㔴与直线平行,与交于点㔴,则下列判断正确的是()A.㔴为的中点B.与퐷所成的角为C.퐷平面D.三棱锥‴퐷㔴与四棱锥‴퐷的体积之比等于㠱ጀ10.已知双曲线:=㠱⸸㌳的左、右两个焦点分别是㠱、,双曲线的左、右顶点分别为㠱、,点是双曲线上异于㠱、的任意一点,直线=쳌,试卷第2页,总14页
与双曲线交于、两点,给出下列命题,其中是真命题的有()A.双曲线与双曲线⸸㌳有相同渐近线B.直线㠱,斜率之积为C.㠱的面积为tanD.若㠱㠱,则该双曲线的离心率的取值范围是[]11.已知函数쳌=,若有四个不同的实数쳌㠱,쳌,쳌,쳌满足方程쳌㠱=쳌=쳌=쳌,且쳌㠱쳌쳌쳌,则以下结论一定成立的是()A.쳌㠱ᦙ쳌=쳌ᦙ쳌B.쳌㠱쳌=쳌쳌C.쳌㠱ᦙ香쳌ᦙ香=쳌‴㠱쳌‴㠱D.쳌㠱ᦙ㠱쳌=쳌ᦙ㠱쳌12.已知数列满足:㠱=,ᦙ㠱=ln(ᦙ㠱‴晦,前项和为(参考数据:lnǤ香,ln㠱Ǥ香香),则下列选项正确的是()A.‴㠱是单调递增数列,是单调递减数列B.ᦙᦙ㠱lnC.D.‴㠱三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共20分.)13.小红同学去超市买糖果,现有四种不同口味的糖果可供选择(可以有糖果不被选择),单价均为一元一颗,小红只有元钱且要求全部花完,则不同的选购方法共有________种.14.已知抛物线=쳌的焦点为,过的直线交抛物线于,两点,若,则点的坐标为________.15.已知쳌,,且满足쳌ᦙᦙ쳌ᦙ㠱=,则쳌ᦙᦙ쳌ᦙ的最小值是________.试卷第3页,总14页
四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16.在中,,,分别为内角,,的对边,=,ᦙ=.在下列两个条件中任选一个,求边以及的面积.注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分.条件①cos=;条件②=.17.已知四棱锥‴퐷中,底面퐷为矩形,平面퐷平面퐷,=퐷=퐷=,点㔴,分别是퐷,的中点.(1)求证:㔴平面;(2)若与平面퐷所成角的余弦值等于,求的长.18.已知数列中,㠱=,且=㌳㠱且晦.(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为,求满足‴ᦙ㌳的所有正整数的值.19.某购物平台为了吸引顾客提升销售额,每年“双十一”购物节都会进行某种商品的促销活动.为了预测年“双十一“购物节中该商品促销活动的参与人数,统计了最近五年的“双十一”购物节参与该商品促销活动的人数(见表);年㠱㠱㠱㠱香㠱香份年㠱份编号参ǤǤ㠱㠱Ǥ㠱Ǥ与人数(百万试卷第4页,总14页
人)(1)由收集数据的散点图发现,可用线性回归模型拟合参与人数(百万人)与年份编号之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程,并预测年“双十一”购物节参与该商品促销活动的人数;(2)在年“双十一”购物节前,该购物平台推出订单“秒杀”抢购活动,活动规定每个订单只参加一次“秒杀”抢购,甲、乙、丙三位同学计划在该购物平台分别参加,,三个订单的“秒杀”抢购.若甲、乙、丙参与每个订单的“秒杀”“成功概率均为.记此次活动甲、乙、丙三位同学抢到的订单总数为.①求的分布列与㔴;②已知每个订单由⸸晦件商品组成,记甲、乙、丙三位同学抢购的商品总数量为,若,求㔴取最大值时的正整数的值.参考公式及数据:①回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为:,;②.20.设椭圆:=㠱㌳㌳的离心率=,且过点㠱,).设,是椭圆上的两个不同的动点,且直线,的倾斜角互补.(1)求证:直线的斜率为定值;(2)求的面积的最大值.21.已知函数쳌=쳌ᦙ⸸,且쳌在点(㠱⸸㠱)处的切线方程为=쳌.(1)求쳌的解析式;(2)证明:当쳌㌳时,有쳌ln쳌ᦙ㌳成立.试卷第5页,总14页
试卷第6页,总14页
参考答案与试题解析2020-2021学年北京市某校高三(上)诊断性数学试卷(9月份)一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C2.A3.B4.B5.B6.A7.⸸8.D二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分。9.A,C,D10.A,D11.A,C,D12.A,B,D三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共20分.13.㠱14.,)15.四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.∵ᦙ=,ᦙᦙ=,∴=,选择条件①:∵cos=,且,∴sin==,∴sin=sin=sincos==,试卷第7页,总14页
由正弦定理知,=,即=,∴=,由余弦定理知,=ᦙ‴cos,即香=ᦙ㠱‴,化简得=或㠱,当=时,有==,又=,sin=相矛盾;当=㠱时,的面积==.选择条件②:由正弦定理知,=,即,∴cos=,由余弦定理知,=ᦙ‴cos,即香=ᦙ㠱‴,化简得=或.下面的步骤同条件①.17.证明:取的中点,连接,㔴,∵㔴,分别为퐷,的中点,㠱∴㔴퐷,㔴ᦙ퐷,∵퐷为矩形,∴㔴,㔴=,∴四边形㔴是平行四边形,∴㔴,㔴平面,又∵平面,∴㔴平面.取퐷的中点,∵=퐷=퐷=,∴퐷,ᦙ,∵平面퐷平面퐷,平面퐷平面퐷=퐷,∴平面퐷,以为原点,为쳌轴,在平面퐷中过作퐷的垂线为轴,为轴,建立如图坐标系,设=,则⸸⸸,퐷‴㠱⸸⸸,‴㠱⸸⸸,㠱⸸⸸,∴퐷ᦙ‴㠱⸸⸸‴,퐷ᦙ⸸⸸,设平面퐷的法向量ᦙ쳌⸸⸸,퐷ᦙ‴쳌‴ᦙ则,取쳌ᦙ,得平面퐷的法向量ᦙ⸸⸸‴㠱,퐷ᦙ쳌ᦙᦙ‴⸸⸸,试卷第8页,总14页
设与平面퐷所成角为,∵与平面퐷所成角的余弦值等于,䁠䁠∴sinᦙᦙᦙ㠱‴,ᦙ䁠䁠䁠䁠解得ᦙ,(舍负).故的长为.18.因为=㌳㠱且晦,所以=-•(-)‴,则=+(--)+...+(-)=-[(-)ᦙǤǤǤᦙ‴)‴=-•=㠱ᦙ‴),上式对=㠱也成立,故=ᦙ‴)晦;试卷第9页,总14页
‴ᦙ㌳等价为‴㌳,数列‴的前项和为,令=‴ᦙ=‴)‴ᦙ,其前项和为=‴,则有㠱=,=,=-,故㌳⸸㌳⸸,当时,=‴)‴ᦙ=•[(-)‴㠱‴ᦙ,则有,综上可得,不等式成立的=㠱或.19.由题意,得=香ᦙᦙᦙᦙ=,=Ǥ香ᦙǤᦙᦙ㠱ǤᦙǤ=㠱Ǥ,所以===Ǥ,=Ǥ‴Ǥ=Ǥ香.所以回归直线方程为=ǤᦙǤ香,又当=时,=ǤᦙǤ香=,所以预测年双十一参与该商品促销活动的人数为百万.①由题意知,的所有可能取值为,㠱,,,==㠱‴,试卷第10页,总14页
=㠱=㠱‴=㠱‴,=香=㠱‴=㠱‴,==香,所以的分布列为:㠱㠱㠱‴‴‴㔴=‴ᦙ㠱㠱‴ᦙ‴ᦙ=.②因为=,所以㔴=㔴==(-,令=,],则㔴=;因为̵=cos‴=香cos‴),且,],所以当=香,,̵㌳;当=(,,̵;所以当==,即=时)=-,所以㔴取最大值时正整数的值为香.20.证明:由于椭圆的离心率,故,又=ᦙ,所以=所以椭圆的方程为쳌ᦙ=,又点在椭圆上=,所以,椭圆方程为,设直线的斜率为,则直线的斜率为‴,试卷第11页,总14页
则直线的方程为,代入椭圆方程可得,所以,,同理可知,,,所以===,故直线的斜率为定值.设直线的方程为,直线쳌=㠱和直线相交于点,则,所以䁠䁠=䁠䁠,把代入,可得,∵=‴‴㌳,∴,由韦达定理,所以‴‴㠱=香‴,即,所以=,所以当=时,的面积取得最大值.试卷第12页,总14页
21.当쳌㠱时,‴㠱쳌‴㠱⸸ln쳌,所以쳌‴ln쳌㌳ln쳌,又쳌ln쳌ᦙ=쳌‴㠱ln쳌ᦙ㌳ln쳌ᦙ,令쳌=ln쳌ᦙ,̵쳌=-=,所以쳌在⸸上单调递减,所以쳌㌳㠱=㌳,即쳌ln쳌ᦙ=쳌‴㠱ln쳌ᦙ㌳ln쳌ᦙ,故쳌㠱时,不等式成立,当쳌时,先证明不等式쳌‴㠱쳌在쳌㠱⸸ᦙ上恒成立,令쳌=쳌‴‴쳌쳌㠱,则̵쳌=쳌‴㠱‴,所以쳌在㠱⸸ᦙ上单调递增,即不等式쳌‴香쳌成立,而此时ln쳌,于是有쳌ln쳌ᦙ쳌‴ln쳌ᦙ쳌ln쳌ᦙ,要证쳌ln쳌ᦙ㌳成立㌳,即证ln쳌ᦙ-㌳在쳌㠱时成立,令쳌=ln쳌ᦙ-쳌㠱,则̵쳌=-+==,所以쳌在,)上单调递减,ᦙ上单调递增,所以쳌()=ln-,即쳌=ln쳌ᦙ-㌳㌳,试卷第13页,总14页
所以쳌ln쳌ᦙ=쳌‴㠱ln쳌ᦙ쳌ln쳌ᦙ㌳,故쳌㠱时,命题成立,综上,当쳌㌳时㌳成立.试卷第14页,总14页
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