2020-2021学年山东省烟台市某校高三（上）第一学期期中诊断性测试数学试卷
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2020-2021学年山东省烟台市某校高三（上）第一学期期中诊断性测试数学试卷一、选择题)1.已知集合A=-2,-1,0,1,2，B=x|-1<x≤2，则a∩b=(>a→-b→”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若cosα+π4=34，则sin2α=( )A.18B.-18C.38D.-384.设a=20.2，b=12-0.3，c=log0.20.3，则a，b，c的大小关系为( )A.a<b<cb.b<a<cc.b<c<ad.c<a<b5.若m为△abc的边ab上一点，且ab→=3am→，则cb→=(>b>0，则( )A.1a-b>1aB.2a>2b-1C.a2+b2<2a+b-1D.a-b>a-b10.已知fx是定义在R上的奇函数，且满足f4-x=fx，则下列说法正确的是( )A.fx+8=fxB.fx在区间-2,2上单调递增C.f2019+f2020+f2021=0D.fx=cosπ4x+π2是满足条件的一个函数11.函数fx=Asinωx+φ，(A，ω，φ是常数，A>0)的部分图象如图所示，则( )A.fx=2cosπ6-2xB.fx=2sin2x+π3C.fx的对称轴为x=kπ+π12，k∈ZD.fx的递减区间为kπ-5π12,kπ+π12，k∈Z12.已知函数f(x)=sinxx，x∈(0,π]，则下列结论正确的有( )A.fx在区间(0,π]上单调递减B.若0<x1<x2≤π，则x1⋅sinx2>x2⋅sinx1C.fx在区间(0,π]上的值域为[0,1)D.若函数gx=xg'x+cosx，且gπ=-1，则gx在(0,π]上单调递减试卷第9页，总10页, 三、填空题)13.设a→，b→为单位向量，且|a→-b→|=1，则|a→-2b→|=_________.14.函数fx=1-x2+lnx的定义域为________.15.已知函数fx是定义在R上的偶函数，其导函数为f'x，若对任意的正实数，xf'x+2fx<0，gx=x2fx，则不等式g(2|x-1|)>g(-2)的解集为________.16.如图，C，D是两所学校所在地，C，D到一条公路的垂直距离分别为CA=8km，DB=27km．为了缓解上下学的交通压力，决定在AB上找一点P，分别向C、D修建两条互相垂直的公路PC和PD，设∠APC=θ0<θ<π2，则当PC+PD最小时，AP=________km．四、解答题)17.在平面直角坐标系xOy中，已知向量a→=32,-12，b→=cosx,sinx，x∈0,π2.(1)若a→⊥b→，求tanx的值；(2)若a→在b→上的投影向量长度为12，求x的值．18.某市作为新兴的“网红城市”，有很多风靡网络的“网红景点”，每年都有大量的游客来参观旅游．为提高经济效益，管理部门对某一景点进行了改造升级．经市场调查，改造后旅游增加值y万元与投入xx≥10万元之间满足：y=12ax2+bx-lnx5（a，b为常数）．当x=10万元时， y=17.7万元；当x=15万元时，y=25万元．（参考数据：ln2=0.7，ln3=1.1，ln5=1.6）(1)写出该景点改造升级后旅游增加利润Lx万元与投入x万元的函数解析式；（利润=旅游增加值-投入）(2)投入多少万元时，旅游增加利润最大？最大利润是多少万元？（精确到0.1）19.在①acosB+bsinA=c，②b+bcosA=3asinB，③b2+c2-a2=43S△ABC这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求bc的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：在△ABC中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的外接圆半径为2，且b+c=2a，________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．试卷第9页，总10页, 20.古希腊数学家海伦著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边分别为a、b、c，则其面积s=pp-ap-bp-c，这里p=a+b+c2，已知在△ABC中，BC=8，AB=3AC.(1)设AC=x，试将三角形的面积s表示成x的函数；(2)求s的最大值，并求三角形面积最大时sinA的值．21.已知函数fx=x-12+alnx-x+1a>0.(1)讨论函数fx的单调性；(2)若关于x的不等式xf'x≥x-1xlnx在1,+∞上恒成立，求实数a的取值范围．22.已知函数fx=ex+ax-1a∈R.(1)若对任意的实数x，函数y=f'x的图象与直线y=x有且只有两个交点，求a的取值范围；(2)设gx=fx-12x2+1，若函数gx有两个极值点x1，x2，且x1<x2，证明：gx1+gx2>2.试卷第9页，总10页, 参考答案与试题解析2020-2021学年山东省烟台市某校高三（上）第一学期期中诊断性测试数学试卷一、选择题1.C2.A3.B4.D5.A6.B7.C8.D二、多选题9.A,B,D10.A,C,D11.A,B12.A,C,D三、填空题13.314.(0,1]15.x|12<x<3216. 12="">=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=32cosx-12sinx1×1=12，所以sinπ3-x=12，又x∈0,π2，所以π3-x∈-π6,π3，所以π3-x=π6，即x=π6 ；②试卷第9页，总10页, 当夹角为2π3时， cos<a→,b→>=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=32cosx-12sinx1×1=-12，所以sinπ3-x=-12，又π3-x∈-π6,π3，所以π3-x不存在．综上，x的值为π6 ．18.解：(1)由已知得：12a×100+10b-ln2=17.7，12a×225+15b-ln3=25，解得：a=-125,b=5125，∴y=-150x2+5125x-lnx5x≥10，则该景点改造升级后旅游增加利润为：Lx=-150x2+5125x-lnx5-x=-150x2+2625x-lnx5x≥10 .(2)由(1)得：Lx=-150x2+2625x-lnx5x≥10，则L'x=-125x+2625-1x=-x2-26x+2525x=-x-1x-2525x，令L'x=0得，x=25，当x∈10,25时，L'x>0 , Lx单调递增；当x∈25,+∞时，L'x<0 , Lx单调递减；∴x=25时，Lx取得最大值，且Lxmax=L25=11.9，当投入25万元时，旅游增加利润最大，最大利润为11.9万元.19.解：若选①：因为acosB+bsinA=c，所以sinAcosB+sinBsinA=sinC=sinA+B=sinAcosB+cosAsinB ，所以sinBsinA=cosAsinB，因为sinB≠0，所以sinA=cosA，所以A=π4 .因为△ABC的外接圆半径为2，所以asinA=2×2，所以a=4sinA=22，所以b+c=2a=4，又因为a2=b2+c2-2bccosA=b+c2-2bc-2bccosA 所以8=16-2bc-2bc，所以bc=82+2=42-2=8-42 .若选②试卷第9页，总10页, ：因为b+bcosA=3asinB，所以sinB+sinBcosA=3sinAsinB，因为sinB≠0，所以3sinA-cosA=1，所以sinA-π6=12.因为0<a<π，所以a-π6∈-π6,5π6，所以a-π6=π6，所以a=π3>2时，函数fx在区间0,1，a2,+∞上单调递增，在区间1,a2上单调递减．(2)不等式xf'x≥x-1xlnx等价于x(2x-a)(x-1)x-(x-1)lnxx≥0，等价于(2x2-ax-lnx)(x-1)x≥0，因为x>1，故原不等式可化为：a≤2x-lnxx在1,+∞上恒成立，设hx=2x-lnxx，x∈1,+∞，h'x=2-1-lnxx2=2x2-1+lnxx2． 令gx=2x2-1+lnx，x∈1,+∞，则g'x=4x+1x>0，所以gx在1,+∞上单调递增， gx>g1=1>0，所以h'x>0，则函数hx在1,+∞上单调递增，h(x)>h1=2，故实数a的取值范围是0<a≤2 .22.="">0，h(x)单调递增，所以h(x)min=h(0)=a+1，所以a+1<0，所以a<-1，且x→-∞时，h(x)→+∞；x→+∞时，h(x)→+∞，试卷第9页，总10页, 所以a<-1时，函数y=f'(x)的图象与直线y=x有且只有两个交点.(2)证明：g(x)=ex-12x2+ax，g'(x)=ex-x+a，函数g(x)有两个极值点x1，x2，所以方程g'(x)=0有两个不同的实数解x1，x2.由(1)知：h(x)=ex-x+a，h(x1)=h(x2)=0，且x1<0<x2，所以g(x)在区间(-∞,x1)，(x2,+∞)上单调递增，在区间(x1,x2)上单调递减且a=x2-ex2.h(-x2)=e-x2+x2+a=e-x2+x2+x2-ex2=e-x2-ex2+2x2(x2>0)，设k(x)=e-x-ex+2x(x>0)，则k'(x)=-e-x-ex+2=-1ex-ex+2=-(1ex+ex)+2<0，所以k(x)在(0,+∞)上单调递减.又因为k(0)=0，所以k(x)<0恒成立，即h(-x2)<0，所以x1<-x2<0.又因为g(x)在(x1,0)上单调递减，所以g(x1)>g(-x2)，要证g(x1)+g(x2)>2，只需证g(-x2)+g(x2)>2，即证e-x2+ex2-x22-2>0.设φ(x)=e-x+ex-x2-2(x>0)，则φ'(x)=-e-x+ex-2x，令p(x)=-e-x+ex-2x(x>0)，则p'(x)=e-x+ex-2>0，所以p(x)在(0,+∞)上单调递增，p(x)>p(0)=0，即φ'(x)>0，所以φ(x)在(0,+∞)上单调递增，φ(x)>φ(0)=0，故当x>0时，e-x+ex-x2-2>0，即e-x2+ex2-x22-2>0，所以g(-x2)+g(x2)>2，亦即g(x1)+g(x2)>2.试卷第9页，总10页</x2，所以g(x)在区间(-∞,x1)，(x2,+∞)上单调递增，在区间(x1,x2)上单调递减且a=x2-ex2.h(-x2)=e-x2+x2+a=e-x2+x2+x2-ex2=e-x2-ex2+2x2(x2></a≤2></a<π，所以a-π6∈-π6,5π6，所以a-π6=π6，所以a=π3></a→,b→></x<3216.></x2，证明：gx1+gx2></x1<x2≤π，则x1⋅sinx2></b<cb.b<a<cc.b<c<ad.c<a<b5.若m为△abc的边ab上一点，且ab→=3am→，则cb→=(></x≤2，则a∩b=(>
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