福建省尤溪第一中学2021-2022学年高二上学期9月核心素养能力测试数学试题（Word版有答案）

尤溪县2021-2022学年高二年段第一学期核心素养能力测试数学试卷（考试时间：9月2日8：00-10：00满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若向量与不共线且，，，则（）A.，，共线B.与共线C.与共线D.，，共面2.已知向量，是平面a内的两个不相等的非零向量，非零向量是直线l的一个方向向量，则且是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知边长为1的正方体的上底面的中心为，则的值为（）A.B.0C.1D.24.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（）A.B.C.D.5.已知向量和在基底下的坐标分别为（3，4，5）和（0，2，1），若，则向量在基底下的坐标是（）A.B.C.D.6.已知向量，，若，则k等于（）A.1B.C.D.7.点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点， 且，，则满足的实数x，y，z的值分别为（）A.B.C.D.8.已知四棱柱为正方体.则下列结论不正确的是（）A.B.C.向量与向量的夹角是D.正方体的体积为二多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.设，，是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题，其中正确的是（）A.B.C.一定不与垂直D.10.已知在空间四面体O-ABC中，点M在线段OA上，且，点N为BC中点，设，，，则（）A.B.C.D.11.己知点P是所在的平面外一点，若，，，则（）A.B.C.D. 12.已知在正方体中，AC1的中点为O，则下列互为相反向量的是（）.A.与B.与C.与D.与三、填空题：共4小题，每题5分，满分20分，其中第15题一题两空，第一空2分，第二空3分。13.已知，是异面直线，，，，，且，，则所成的角是.14.已知空间向量，，满足，，，，则的值为.15.已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为；在基底下的坐标为.16.已知，，，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（O为坐标原点）.四、解答题：本大题共70分（17题10分，其余均为12分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，在空间四边形SABC中，AC，BS为其对角线，O为的重心，（1）求证：；（2）化简：. 18.已知空间向量，.（1）若，分别求λ与m的值：（2）若，且与垂直，求.19.用向量的方法证明：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。（三垂线定理的逆定理）20.如图，在正三棱柱中，底面边长为.（1）设侧棱长为1，求证：；（2）设与的夹角为，求侧棱的长.21.如图，正四面体V-ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.（1）求证：AO，BO，CO两两垂直；（2）求.22.如图，四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD中，，，，。设，在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由. 2021—2022学年高二年段第一学期核心素养能力测试参考答案1.【解析】选D.由于，即.即，又与不共线.所以共面.2.【解析】选B.当与不共线时，由，，可推出；当与为共线向量时，由，不能推出.若，则一定有，，故选项B符合题意.3.【解析】选C，，而，则.4.【解析】选C.，，向量在向量上的投影向量故选C5.【解析】选A.因为，所以，所以向量在基底下的坐标是.6.【解析】选D.由已知得，，且，由得，即，解得.7.【解析】选D.如图所示，取PC的中点E，连接NE， 则，又，则，，.8.【解析】选D.不妨役正方体的棱长1，以为正交基底.建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则各点坐标为，，，，，，.因为，所以；，故A正确，不符合题意.因为，.所以，故B正确，不符合题意.因为，，所以，，，所以，所以向量与向量的夹角是，故C正确，不符合题意. 因为，所以，所以，故D错误，符合题意.9.【解析】选BD.根据向量数量积的定义及性质，可知和是实数，而与不共线，故与不一定相等，故A错误；因为，所以当，且或时，，即与垂直，故C错误：易知BD正确.10.【解析】选BC.；；；11.【解析】选AC.因为，故A正确；，，故B不正确；，，故C正确；，，各个对应分量的比值不同，故D不正确.12.【解析】选ACD.如图，根据图形可以看出：选项A，D的两向量互为相反向量；，，，所以选项B的两向量不是相反向量；，，和互为相反向量，所以选项C的两向量互为相反向量.13.【解析】，所以， 所以，所以异面直线，所成的角是.答案：14.【解析】因为，所以，所以，所以答案：.15.【解析】由题意知，则向量在基底下的坐标为（1，1，1）.设向量在基底下的坐标为，则，又因为，所以解得，，，所以在基底下的坐标为.答案：16.【解析】选B.设，则，因为点Q在直线OP上运动，所以，所以，即，，所以，所以， 所以当时，取得最小值，此时点Q的坐标为.17.【解析】（1），①，②，③①+②+③得.（2）因为，所以.18.【解析】（1）因为，所以设，所以，解得所以，.（2）因为且，所以化简得解得.因此.19.已知：如图，PO，PA分别是平面的垂线、斜线，OA是PA在平面上的射影，，且.求证：.【解】如图4，取直线的方向向量，同时取AP，PO. ，又且，20.【解析】（1），.因为平面ABC，所以，又为正三角形，所以.因为，所以.（2）结合（1）知.又，所以，所以，即侧棱长为2.21.【解析】设，，，正四面体的棱长为1， （1）因为，，，，所以，所以，即.同理，，.所以AO，BO，CO两两垂直.（2），所以，又，，所以.又，所以.22.【解析】因为平面ABCD，且平面ABCD，平面ABCD，所以，.又，所以AP，AB，AD两两垂直.以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等.连接GB，GC，GP，设，（其中），则B（t，0，0），P（0，0，t），.因为，所以. 所以，，.由，得，即.①由，得.②由①②消去t，化简得.③由于方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等.