2020-2021学年山东省潍坊市某校高三（上）期中考试数学试卷

2020-2021学年山东省潍坊市某校高三（上）期中考试数学试卷一、选择题)1.已知集合th댳䁪，th댳，则()A.th댳댳䁪B.th댳h䁣C.th䁣D.t댳䁪䁣2.“댳䁪”是“h䁪h댳”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知变量，之间的一组数据如表：若关于的线性回归方程为ȁെ，则()A.䁪B.C.D.䁪4.已知，为不同直线，，为不同平面，则下列结论正确的是()A.若，，则ᦙᦙB.若，，ᦙᦙ，ᦙᦙ，则ᦙᦙC.若ᦙᦙ，，ᦙᦙ，则D.若，，，则5.高一某班有名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有()A.䁪种B.种C.䁪种D.䁪쳌种6.已知，tanh，则sinh等于()䁪A.B.C.D.7.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量(单位：贝克)与h时间（单位：天）满足函数关系，其中为时该放射性同位素ln的含量．已知䁪时，该放射性同位素的瞬时变化率为h，则该放射性同位素䁪含量为䁪贝克时衰变所需时间为()A.天B.天C.䁪天D.天8.定义运算：①对R，；②对，，R，െെ.若h䁪䁪h，则有()试卷第1页，总11页,A.函数的图象关于䁪对称B.函数在R上单调递增C.函数的最小值为D.댳二、多选题)9.中国的华为公司是全球领先的领先（信息与通信）基础设施和智能终端提供商，其致力于把数字世界带给每个人，每个家庭、每个组织，构建万物互联的智能世界．其中华为的智能手机是全世界很多年轻人非常喜欢的品牌．为了研究某城市甲、乙两个华为智能手机专卖店的销售状况，统计了年䁪月到月甲、乙两店每月的营业额（单位：万元），得到如下的折线图，则下列说法正确的是()A.根据甲店的营业额折线图可知，该店月营业额的平均值在䁪内B.根据乙店的营业额折线图可知，该店月营业额总体呈上升趋势C.根据甲、乙两店的营业额折线图可知乙店的月营业额极差比甲店小D.根据甲、乙两店的营业额折线图可知ȁ、쳌、月份的总营业额甲店比乙店少10.若非零实数，满足댳，则以下判断正确的是()䁪䁪䁪䁪A.댳B.댳C.댳D.lnhെ䁪댳11.已知函数cosെ댳댳댳的最小正周期为，其图象的一条对称轴为，则()䁪A.B.函数的图象可由sin的图象向左平移个单位长度得到C.函数在上的值域为h䁪D.函数在区间hh上单调递减䁪h䁪tht䁪12.已知函数’其中R，下列关于函数的判断h䁪댳䁪试卷第2页，总11页,正确的为()A.当时，䁪B.当tt댳䁪时，函数的值域hh䁪h䁪C.当且h䁪N时，h䁪tht䁪hD.当댳时，不等式在െ上恒成立三、填空题)䁪13.െ的展开式中的系数为________.14.若一直角三角形的面积为，则该直角三角形的斜边的最小值为________.15.已知是定义在R上的奇函数，满足䁪h䁪െ．若䁪䁪，则䁪െെെെ䁪________.16.已知菱形领形边长为，形，为对角线领上一点，领，将形沿形翻折到形的位置，记为且二面角h形h领的大小为䁪，则三棱锥h领形的外接球的半径为________；过作平面与该外接球相交，所得截面面积的最小值为________.四、解答题)17.已知正三棱柱领h䁪䁪领䁪的底面边长为，点，分别为棱领领䁪与䁪䁪的中点．䁪求证：直线ᦙᦙ平面䁪领；若该正三棱柱的体积为，求直线与平面领所成角的余弦值．െ䁪18.在①sinsin，②cos，③cos领െsin这三个条件中任选一ȁ个，补充在下面问题中的横线处，并完成解答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）试卷第3页，总11页,问题：领的内角，，领的对边分别为，，，，形是边上一点，形，领形ȁ，且________，试判断形和形的大小关系．19.已知函数hെെ在处取得极大值䁪䁪求函数的图象在䁪处切线的方程；若函数在െ上不单调，求实数的取值范围．20.四棱锥h领形中，底面领形为直角梯形，领形ᦙᦙ，领，领领形䁪，侧面形面领形，形䁪求证：形；已知平面形与平面领的交线为，在上是否存在点，使二面角h形领h䁪的余弦值为？若存在，请确定点位置，若不存在，请说明理由．21.年䁪月䁪日，是第䁪个世界粮食日．中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地领h쳌䁪测产，亩产超过䁪쳌公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入．某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为ȁ䁪，其质量指标等级划分如下表：质量指标值ȁȁȁ쳌쳌쳌쳌䁪质量指标等级良好优秀良好合格废品为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了䁪件，将其质量指标值的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：试卷第4页，总11页,䁪若将频率作为概率，从该产品中随机抽取件产品，记“抽出的产品中至少有䁪件不是废品”为事件，求事件发生的概率；若从质量指标值쳌的样本中利用分层抽样的方法抽取ȁ件产品，然后从这ȁ件产品中任取件产品，求质量指标值）的件数的分布列及数学期望；若每件产品的质量指标值与利润（单位：元）的关系如下表䁪댳댳䁪：质ȁȁȁ쳌쳌쳌쳌䁪量指标值利쳌䁪h润（元）试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：lnȁln䁪）．22.已知函数hlnെ.䁪当댳时，求的最小值；若对任意댳恒有不等式䁪成立．①求实数的值；②证明：댳െlnെsin.试卷第5页，总11页,参考答案与试题解析2020-2021学年山东省潍坊市某校高三（上）期中考试数学试卷一、选择题1.C2.B3.C4.C5.B6.B7.D8.A二、多选题9.A,B,D10.B,D11.B,C12.A,C三、填空题13.䁪14.䁪15.䁪䁪16.,䁪四、解答题17.䁪证明：如图，取䁪中点形，连接形，形，平行四边形领领䁪䁪中，为领领䁪中点，形为䁪中点，所以形ᦙᦙ领，䁪䁪中，为䁪䁪中点，形为中点，所以形ᦙᦙ䁪，因为形形平面形，形形形，所以平面形ᦙᦙ平面䁪领．又平面形，所以ᦙᦙ平面䁪领．解：设䁪，领h䁪䁪领䁪领，所以，即．因为平面领ᦙᦙ平面䁪䁪领䁪，所以与平面领所成的角即直线与平面䁪䁪领䁪所成的角，因为领领䁪平面䁪䁪领䁪，所以在平面䁪䁪领䁪上的射影为领䁪，所以领䁪即为直线与平面䁪䁪领䁪所成的角，试卷第6页，总11页,因为领䁪，领䁪，所以，䁪所以cos领䁪，䁪即直线与平面领所成角的余弦值为．18.解：设领，在领形中由余弦定理可得：䁪െhcos，即hh䁪，解得쳌或h（舍去），所以领쳌．方案一：选择条件①െ由正弦定理得sin领sinsinsin，因为，െ所以sin，所以sin领sin，又因为െh领，领领领所以sin领sincoscos．因为领，领领所以，所以cos．领䁪所以sin领即，领又，所以领是等边三角形，所以쳌，所以形，故形댳形.方案二：选择条件②䁪ȁ由cos，得sin.ȁȁ因为െെ领，所以sin领sinെsincosെcossin䁪䁪ȁȁെ，ȁȁ䁪䁪领在领中，由正弦定理得，sin领sin쳌即ȁȁ䁪䁪ȁ解得䁪，又形，故形形.方案三：选择条件③因为cos领െsin，由正弦定理得sincos领െsin领sinsin，因为െെ领，试卷第7页，总11页,所以sincos领െsin领sinsinെ领sincos领െsin领cos，所以sin领sinsin领cos,又因为sin领，所以sincos,又因为，故,䁪所以领，䁪领在领中，由正弦定理得，sin领sin쳌即，െ䁪解得䁪െ䁪댳䁪，又因为形，所以形댳形.19.解：䁪因为hെ，，由题意可得䁪，解得䁪，所以hെ䁪；又䁪h䁪䁪h，所以函数图象在䁪处切线的方程为hh䁪hh䁪，即െh．因为h，令h，得或．当댳时，댳，函数为增函数，当댳댳时，댳，函数为减函数，当댳时，댳，函数为增函数．因为函数在െ上不单调，所以댳댳െ或댳댳െ，所以h댳댳或댳댳．20.䁪证明：连接形，形领形െ领，形，所以形െ形，所以形形，因为平面形平面领形，平面形平面领形形，形平面领形，所以形平面形，因为平面形，所以形．解：延长形，领相交于点，连接，因为平面形，平面领，所以，又，所以即为交线，取中点，连接形，则形形领，过形在平面形内作形的垂线形，则形平面领形，以形，形领，形所在直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，试卷第8页，总11页,则䁪h䁪，领，h，形，所以形䁪h䁪，形领，设平面形领的法向量为，则形领，形，，所以取h䁪，െ，设䁪䁪䁪，，则䁪h䁪䁪െ䁪䁪hhh，所以䁪䁪h，䁪h䁪െ，䁪h，形䁪hh䁪െh，形领，设平面形领的法向量为，则形领，形，，所以䁪hെh，取hh䁪，所以tcos댳댳tth䁪hെh䁪t䁪，䁪hെh䁪所以쳌h䁪െ，䁪所以，，䁪经检验时，不合题意，舍去，䁪所以存在，为中点．试卷第9页，总11页,21.解：䁪设事件的概率为，则由频率分布直方图可得，䁪件产品为废品的概率为䁪െ，则䁪h领䁪hȁȁ．由频率分布直方图可知，质量指标值大于或等于쳌的产品中，쳌的频率为쳌䁪；的频率为䁪；䁪的频率为䁪，故利用分层抽样抽取的ȁ件产品中，쳌的有䁪件，的有件，䁪ͳ的有䁪件，从这ȁ件产品中任取件产品，质量指标值的件数的所有可能取值为，䁪，，领领䁪领䁪领领䁪䁪，䁪，，领ȁ领ȁ领ȁȁȁȁ所以的分布列为：䁪䁪䁪ȁȁȁ䁪䁪所以െ䁪െ．ȁȁȁȁ由频率分布直方图可得该产品的质量指标值与利润（元）的关系如下表所示䁪댳댳䁪：质ȁȁȁ쳌쳌䁪量쳌쳌指标值利쳌䁪h润䁪䁪䁪故每件产品的利润െ쳌െെ쳌hh䁪댳댳䁪，则h，令h得ln，故当䁪ln时，댳，函数h单调递增；当ln䁪时，댳，函数h单调递减，所以当ln时，取得最大值，为lnhln䁪，所以生产该产品能够盈利，当ln䁪时，每件产品的利润取得最大值䁪元．22.解：䁪方法①：的定义域为െ，h由题意െ䁪hെ䁪，令h，得，令,െെ䁪댳，所以在െ上为增函数，且，所以有唯一实根，试卷第10页，总11页,即有唯一实根，设为，即,所以在上为减函数，在െ上为增函数，所以hlnെhln．min方法②：hlnെlnെhlnെ댳，设lnെ，则R.记hR，故最小值即为最小值，h댳,当hln时，댳，单调递减，当lnെ时，댳，单调递增，所以lnlnhlnhln，min所以的最小值为hln.①当时，单调递增，值域为R，不符合题意，当댳时，由䁪可知minhln，设hln댳，所以hln.当䁪时，댳，单调递增，当䁪െ时，댳，单调递减，所以max䁪䁪，即hln䁪，由已知，䁪恒成立，所以hln䁪，所以hln䁪，所以䁪.②由①可知hlnh䁪，因此只需证：െ댳lnെsin，又因为lnh䁪，只需证െ댳hെsin，即hെ댳sin，当댳䁪时，hെ댳sin结论成立，当䁪ͳ时，设hെhsin，h䁪hcos，当䁪ͳ时，显然单调递增，䁪䁪hcos䁪댳，故单调递减，䁪hsin䁪댳，即hെ댳sin．综上，结论成立．试卷第11页，总11页