2020-2021学年山东省日照市某校高三（上）期中考试数学试卷

2020-2021学年山东省日照市某校高三（上）期中考试数学试卷一、选择题)1.已知集合⮸ݑ�ʎݒ⮸，ݑ㴠ܝ�橔ܝ큘ʎݒ，则⮸()A.�香䁞B.�香䁞）C.�香�D.�香�g2.“ܝܝ䁞”是“lgܝlg䁞”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件橔䁚3.在复平面内，复数对应的点位于()䁚�A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知定义在R上的奇函数在香큘上单调递减，且⮸큘，若⮸�log䁞，⮸�，⮸�䁞，则，，的大小关系是()A.ܝܝB.ܝܝC.ܝܝD.ܝܝ5.为了抗击新型冠状病毒肺炎保障师生安全，某校决定每天对教室进行消毒工作，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量（单位：单位䁞与时间（单位：小时）成正比큘ܝܝ；药物释放完毕后，与的函数关系式为⮸（为常数，�䁞），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到큘e㴠单位以下时，学生方可进教�室，则学校应安排工作人员至少提前()分钟进行消毒工作.A.䁞큘B.큘C.큘D.큘6.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，角的终边绕原点逆时针旋转䁞后经过点香，则sin⮸()�㴠㴠䁞䁞A.B.C.D.㴠㴠㴠㴠试卷第1页，总10页,7.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记时刻五角星露出水面部分的图形面积为큘⮸큘，则导函数⮸ܵ的图像大致为()A.B.C.D.8.已知函数在定义域上是单调函数，且�큘�큘g⮸�큘�，当单⮸sin䁞coss在香g上与在R上的单调性相同时，实数s的取值范围是��()A.香gB.香䁞gC.香䁞gD.䁞香橔二、多选题)9.在的展开式中，下列说法正确的有()A.所有项的二项式系数和为B.所有项的系数和为큘C.常数项为�큘D.二项式系数最大的项为第䁞项10.设函数⮸lnʎ�橔ʎlnʎ�ʎ，则()A.是偶函数B.是奇函数C.在香上单调递增D.在香上单调递减���11.在正方体ܥܥ中，点在线段上运动，则()A.直线ܥ平面ܥB.三棱锥ܥ的体积为定值C.异面直线与ܥ所成角的取值范围是香�D.直线与平面ܥ所成角的正弦值的最大值为䁞试卷第2页，总10页,12.在中，ܥ，分别是，上的点，与ܥ交于，且⮸⮸，橔⮸�，ܥ⮸�ܥ，ʎʎ⮸，则()A.ܥ⮸큘B.橔⮸큘䁞C.ʎ橔橔ʎ⮸D.ܥ在方向上的正射影的数量为�三、填空题)13.中国古典数学有完整的理论体系，其代表作有《算数书》、《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》等，有䁞名中学生计划去图书馆阅读这四种古典数学著作（这四种著作每种各一本），要求每人至少阅读一种古典数学著作，每种古典数学著作有且只有一人阅读，则不同的阅读方案的总数有________种．（用数字作答）14.已知橔�⮸ݔ香큘ݔ큘，则�橔的最小值为________.15.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥ܥ的每个顶点都在球的球面上，底面ܥ，ܥ，且⮸ܥ⮸䁞，⮸�，利用张衡的结论可得球的表面积为________．16.已知函数⮸�橔䁞橔香单⮸，若关于的不等式ܝ单的解集中恰好有一个整数，则实数的取值范围是________.四、解答题)䁞㴠17.在①sin⮸sin橔sin，⮸，②cos⮸，cos⮸两个条件中任选一个补䁞㴠㴠充在下面问题中，并加以解答．已知的内角，，的对边分别为，，．若⮸䁞，________，求的面积．18.已知数列的前项和为，⮸�橔．数列为等比数列，且橔，橔分别为数列第一项和第二项．求数列与数列的通项公式；䁞�若数列⮸橔，设数列的前项和为，证明：ܝ.橔�19.已知函数⮸橔ln橔，其中实数．橔若⮸�，求曲线⮸在点（큘香큘）处的切线方程；�若在⮸处取得极值，试讨论的单调性．试卷第3页，总10页,ܵ20.如图所示，中，⮸，四棱锥ܥ是由沿其中位线ܥ翻�折而成，其中ܵ为锐角，⮸�ܵ.证明：ܵ位位平面ܥ；ܵ㴠ܵ�若⮸⮸，二面角ܥ的大小为，求四棱锥ܥ的体积．21.图是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图�的半圆弧所示，其中为半圆弧的中点，渠宽为�米．当渠中水深ܥ为큘e米时，求水面的宽度；�若把这条水渠改挖（不准填土）成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？22.设函数单⮸，⮸ln，ݔ큘香�e.设⮸��，求的最小值；�设⮸单橔，若在香橔）上为增函数，求实数的取值范围；䁞求证：，�时，䁚⮸�䁚ܝe试卷第4页，总10页,参考答案与试题解析2020-2021学年山东省日照市某校高三（上）期中考试数学试卷一、选择题1.D2.A3.B4.A5.C6.B7.A8.C二、多选题9.A,B10.B,C,D11.B,D12.B,C,D三、填空题13.䁞14.15.큘큘16.�香四、解答题17.解：选①∵sin⮸sin橔sin，∴由正弦定理得：�⮸橔�．∵⮸䁞，∴�⮸�䁞．又∵⮸，䁞∴�⮸�橔��cos⮸�橔䁞．∴�橔䁞⮸�䁞．∴⮸，∴⮸sin⮸䁞䁞．�䁞㴠选②∵cos⮸，cos⮸，㴠㴠�㴠∴sin⮸，sin⮸，㴠㴠∴sin⮸sin橔⮸sincos橔cossin㴠䁞�㴠�㴠⮸橔⮸，㴠㴠㴠㴠㴠�㴠sin䁞㴠䁞㴠由正弦定理得：⮸⮸⮸，sin�㴠䁞㴠�㴠∴⮸sin⮸䁞⮸．���㴠�试卷第5页，总10页,18.解：∵数列的前项和为⮸�橔，当⮸时，⮸�，当�时，⮸⮸�橔�橔g⮸�，当⮸时，⮸�满足上式，∴⮸�N．设数列ݒݑ的首项为，公比为，橔⮸⮸䁞，则橔⮸�⮸，∴⮸䁞香⮸䁞，∴⮸䁞N.�∵⮸橔，橔∴⮸橔⮸橔��橔�䁞橔䁞⮸橔，橔䁞䁞䁞∴⮸橔橔橔橔��䁞橔䁞⮸橔橔�䁞⮸橔，橔��䁞可知数列ݒݑ为正项数列，∴ݑݒ是单调递增数列，当⮸时，取最小值，⮸；�䁞当无穷大时，无限接近橔큘⮸；�䁞∴ܝ．�橔橔19.解：ܵ⮸橔⮸橔，橔�橔橔�橔当⮸�时，ܵ큘⮸，而큘⮸，�所以曲线在点（큘香큘）处的切线方程为：⮸큘，即�⮸큘．�橔�因为，由可知ܵ⮸橔⮸橔；橔�橔橔�又因为在⮸处取得极值，所以橔⮸큘，解得⮸䁞；橔�此时⮸橔ln橔，定义域香䁞䁞香橔；䁞�ܵ⮸橔⮸，䁞�橔䁞�橔试卷第6页，总10页,由ܵ⮸큘得⮸，�⮸，当ܝܝ或ݔܵ时ݔ큘；当ܝܝ且䁞时ܵܝ큘；综上所述：在香g,香橔上是增函数，在香䁞香䁞香g上是减函数．20.证明：连结交ܥ于点，连结．∵ܥ为的中位线，∴ܥ位位，ܥ⮸，�∴ܥ⮸，ܥ⮸，∴ܥ，∴⮸⮸�，ܥ∵⮸�ܵ，∴ܵ位位．又∵平面ܥ，ܵ平面ܥ，∴ܵ位位平面ܥ．�解：以为原点，为轴的正方向，为轴的正方向，竖直方向为轴建立空间直角坐标系．记ܵ在底面的投影为，且⮸．则ܵ�香큘香�，큘香香큘，ܥ�香�香큘，�香큘香큘．ܵ⮸香큘香�，∴ܥ⮸큘香�香큘，ܵ⮸�香香�，ܥ⮸�香�香큘，记平面ܵܥ和平面ܵܥ的法向量分别为，，ܵ⮸큘，则ܥ⮸큘，ܵ⮸큘，ܥ⮸큘，取⮸�香큘香，⮸�香�，橔�，�䁞则cos香⮸⮸⮸，ʎʎʎʎ�橔橔��化简得：�橔�큘⮸큘，试卷第7页，总10页,큘解得：⮸，�⮸�(舍去)，��큘故ܵܥ⮸䁞�⮸．21.解：以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系角，∵⮸�米，∴半圆的半径为米，则半圆的方程为�橔�⮸，香큘，∵水深ܥ⮸큘e米，∴ܥ⮸큘e米，在ܥ中，ܥ⮸�ܥ�⮸큘e�⮸큘e（米），∴ܰ⮸�ܥ⮸e米，∴水面的宽度为e米．�为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，设切点为cos香sin，ܝܝ큘为圆弧上的一点，�过作半圆的切线得如图所示的直角梯形，可得切线的方程为cos橔sin⮸，橔sin令⮸큘，得香큘，令⮸，得香，coscos设直角梯形的面积为，橔sin�橔sin则⮸橔⮸橔⮸，ܝܝ큘，��coscos�cos�cos�cos�橔sin�sin橔�sinܵ⮸⮸，cos��cos�令ܵ⮸큘，解得⮸，当ܝܝ时，ܵܝ큘，函数单调递减；当ܝܝ큘时，ܵݔ큘，函数单调递增．�䁞∴⮸时，面积取得最小值，最小值为，�橔sin䁞此时⮸⮸，cos䁞试卷第8页，总10页,�䁞即当渠底宽为米时，所挖的土最少．䁞22.解：⮸��⮸��lnݔ큘，ܵ�∴⮸，令ܵ⮸큘，解得⮸，�⮸(舍去)，��ܵ∴当큘香时，ܝ큘，单调递减；�ܵ当香橔时，ݔ큘，单调递增；�∴在⮸处取得最小值，��min⮸⮸�ln⮸橔ln�.�����⮸单橔⮸橔lnݔ큘,ܵ∴⮸,�∵在香橔）上为增函数，ܵ∴⮸큘在香橔）上恒成立，�即在香橔）上恒成立，∵큘ܝ，∴,∴的取值范围是香橔e䁞证明：由�知当⮸时，⮸橔ln在香橔）上为增函数，∴令⮸，其中，�，则ݔ，∴⮸ݔ,即橔ln⮸橔lnݔ큘，化简得：lnlnݔ,∴ln�lnݔ䁞lnln，ݔ�ln䁞ln，ݔ，�䁞，lnlnݔ，试卷第9页，总10页,∴lnݔ橔橔橔橔,�䁞ln橔橔橔橔∴⮸ݔ�䁞，即䁚⮸�䁚ܝe试卷第10页，总10页