2020-2021学年山东省青岛市某校高二（上）期中考试数学试卷
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2020-2021学年山东省青岛市某校高二（上）期中考试数学试卷一、选择题)1.直线x=2021的倾斜角为( )A.90∘B.0∘C.180∘D.45∘2.已知向量a→=1,2,t，b→=t,1,2，且a→⊥b→，则实数t=( )A.1B.-1C.-23D.233.若直线l1:ax+y+1=0与直线l2:x+ay+2a-1=0平行，则实数a=（ ）A.1B.-1C.0D.±14.已知三棱柱ABC-A1B1C1，点P为线段B1C1的中点，则AP→=（ ）A.12AB→+AC→+12AA1→B.AB→+12AC→+12AA1→C.12AB→+12AC→-AA1→D.12AB→+12AC→+AA1→5.已知二面角α-l-β的大小为60∘，A，B为棱l上不同两点，C，D分别在半平面α,β内，AC，BD均垂直于棱l，AC=BD=2AB=2，则异面直线CD与AB所成角的余弦值为（ ）A.15B.55C.13D.126.若过原点的直线l与圆x2-4x+y2+3=0有两个交点，则l的倾斜角的取值范围是( )A.-π3,π3B.-π6,π6C.[0,π6)∪(5π6,π)D.[0,π3)∪(2π3,π)7.已知椭圆C：x24+y2=1上两点A，B，若AB的中点为D，直线OD的斜率等于1，则直线AB的斜率等于( )A.-1B.1C.-12D.-148.已知圆O：x2+y2=r2r>0与直线x2+y2=1交于A，B两点，且|AB|=23，则圆O与函数fx=lnx-1的图象交点个数为( )个.A.2B.1C.0D.3二、多选题)9.已知直线l:x-my+m-1=0，则下述正确的是（ ）A.直线l的斜率可以等于0B.直线l的斜率有可能不存在试卷第9页，总9页, C.直线l可能过点2,1D.若直线l的横纵截距相等，则m=±110.已知椭圆C:16x2+25y2=400，关于椭圆C下述正确的是（ ）A.椭圆C的长轴长为10B.椭圆C的两个焦点分别为0,-3和0,3C.椭圆C的离心率等于35D.若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q，则|PQ|=32511.已知点F1-1,0,F21,0，动点P到直线x=2的距离为d，|PF2|d=22，则（ ）A.点P的轨迹是椭圆B.点P的轨迹曲线的离心率等于12C.点P的轨迹方程为x22+y2=1D.△PF1F2的周长为定值4212.已知四面体ABCD的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（ ）A.异面直线AC与BD所成角为60∘B.点A到平面BCD的距离为263C.四面体ABCD的外接球体积为6πD.动点P在平面BCD上，且AP与AC所成角为60∘，则点P的轨迹是椭圆三、填空题)13.圆C1：x2+y2+4x=0与圆C2：x-22+y-12=9的位置关系为________.14.已知椭圆x2m+y29=1的离心率是13，则实数m的值是________.15.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的梭长为1，点P为线段AC1上一点，|PA→|=1，则点P到平面ABCD的距离为________.16.在平面直角坐标系中，A1,2,D2,1，点B，C分别在x轴、y轴上，则①|AB|+|BD|的最小值是________；②|AC|+|CB|+|BD|的最小值是________.四、解答题)17.已知O为坐标原点，直线l:ax+y-a-1=0a∈R，圆O:x2+y2=1.(1)若l的倾斜角为120∘，求a；(2)若l与直线l0:2x-y=0的倾斜角互补，求直线l上的点到圆O上的点的最小距离；(3)求点O到l的最大距离及此时a的值．18.在平面直角坐标系中，圆C过点E1,0和点F0,1，圆心C到直线x+y=0的距离等于2.试卷第9页，总9页, (1)求圆C的标准方程；(2)若圆心C在第一象限，M为圆C外一点，过点M做圆C的两条切线，切点分别为A，B，四边形MACB的面积为3，求点M的轨迹方程．19.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PD⊥平面ABCD，M为PC中点．(1)如果PD=4，求证：PC⊥平面MAD；(2)当BP与平面MBD所成角的正弦值最大时，求三棱锥D-MBC的体积V．20.在平面直角坐标系中，C10,-2，圆C2:x2+y-22=12，动圆P过C1且与圆C2相切．(1)求动点P的轨迹C的标准方程；(2)若直线l过点0,1，且与曲线C交于A，B，已知A，B中点在直线x=-14上，求直线l的方程．21.如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，△BCF为等边三角形，∠ABC=60∘，AB=2，EF//CD，平面BCF⊥平面ABCD．(1)证明：在线段BC上存在点O，使得平面ABCD⊥平面AOF；(2)求二面角B-AF-C的余弦值；(3)若ED//平面AOF，求EF．22.已知O为坐标原点，椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=2，P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过F1,F2的圆与直线x=-2相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知直线l交椭圆C于M，N两点．①若直线l的斜率等于1，求△OMN面积的最大值；②试卷第9页，总9页, 若OM→⋅ON→=-1，点D在l上，OD⊥l．证明：存在定点W，使得|DW|为定值．试卷第9页，总9页, 参考答案与试题解析2020-2021学年山东省青岛市某校高二（上）期中考试数学试卷一、选择题1.A2.C3.B4.D5.B6.C7.D8.A二、多选题9.B,D10.A,C,D11.A,C12.B,C三、填空题13.相交14.8或81815.3316.10,32四、解答题17.解：(1)由题知：直线l的斜率等于tan120∘=-3=-a，解得a=3．(2)因为l与直线l0：2x-y=0的倾斜角互补，所以两者斜率互为相反数，所以-a=-2，即a=2，所以l：2x+y-3=0．则圆心O到直线l的距离d=355>1，所以直线l上的点到圆O上的点的最小距离为355-1．(3)直线l恒过定点W1,1，所以O到l的最大距离小于等于|OW|=2，此时，OW⊥l，所以kOW⋅kl=-1，解得a=1．18.解：(1)因为圆C过点E1,0和点F0,1，所以圆心C在线段EF的垂直平分线y=x上，所以可设圆心为Ca,a，因为圆心C到直线x+y=0的距离等于2，所以|a+a|2=2，解得a=±1.当a=1时，圆心为1,1，半径r=|EC|=1，圆C的方程为：x-12+y-12=1；当a=-1试卷第9页，总9页, 时，圆心为-1,-1，半径r=|EC|=5，圆C的方程为：x+12+y+12=5.所以圆C的标准方程为：x-12+y-12=1或x+12+y+12=5.(2)由题知：因为CA⊥MA，所以四边形MACB的面积S四边形CAMB=2S△CAM=|CA|⋅|AM|=3.因为|CA|=1，所以|AM|=3，所以|CM|2=|CA|2+|AM|2=4，所以|CM|=2，点M的轨迹是以C为圆心，半径为2的圆，所以点M的轨迹方程为：x-12+y-12=4.19.(1)证明：在△PDC中， PD=DC，M为PC中点，所以PC⊥DM.因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD⊥AD.又因为AD⊥CD，PD∩CD=D，所以AD⊥平面PCD.因为PC⊂平面PCD，所以AD⊥PC ，因为AD∩DM=D，所以 PC⊥平面MAD. (2)解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在方向为x,y,z轴正方向，建立D-xyz空间直角坐标系，设PD=t，则D0,0,0，B4,4,0，M0,2,t2，P0,0,t，设平面MBD的法向量为n→=x,y,z，所以DM→=0,2,t2，DB→=4,4,0，BP→=-4,-4,t，所以n→⋅DM→=0，n→⋅DB→=0， 得 2y+t2z=0，4x+4y=0， 令y=1，可得x=-1，z=-4t，所以n→=-1,1,-4t，所以BP与平面MBD试卷第9页，总9页, 的所成角的正弦值为|cos<bp→,n→>|=|-416+16+t21+1+16t2|=480+2(t2+256t2)≤13，（当且仅当t2=256t2，即t=4时等号成立），所以，棱锥D-MBC的体积VD-MBC=VM-DBC=12VP-DBC=14VP-ABCD=14×13×4×4×4=163.20.解：(1)设动圆P的半径为r，由题意知：|PC1|=r ，|PC2|=23-r，所以|PC1|+|PC2|=23>|C1C2|=22 . 所以P点的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆．其长轴长2a=23，焦距为2c=22，b=a2-c2=1．所以曲线C的标准方程为：y23+x2=1 .(2)若直线斜率不存在，则A，B关于x轴对称，不合题意，若直线斜率存在，设其方程为y=kx+1，将y=kx+1代入y23+x2=1得：3+k2x2+2kx-2=0，所以x1+x2=-2k3+k2，所以x1+x22=-k3+k2=-14，所以k2-4k+3=0，解得k=1或k=3，所以，直线l的方程为：y=x+1或y=3x+1 .21.(1)证明：取线段BC的中点O，连接OA，OF，因为△BCF,△ABC均为等边三角形，所以BC⊥OA，BC⊥OF，OA∩OF=O，所以BC⊥平面AOF ，又因为BC⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面AOF，所以，在线段BC上存在点O，使得平面ABCD⊥平面AOF·(2)解：因为平面BCF⊥平面ABCD，平面BCF∩平面ABCD=BC，FO⊥BC，所以FO⊥平面ABCD，所以OA，OB，OF两两垂直，以O为原点，OA，OB，OF为x,y,z轴建立空间直角坐标系O-xyz，则A(3,0,0)，B(0,1,0)，F(0,0,3)，C(0,-1,0)，D(3,-2,0) 试卷第9页，总9页, ．设平面ABF的一个法向量m→=x1,y1,z1，因为AB→=-3,1,0，AF→=-3,0,3，由m→⋅AB→=0，m→⋅AF→=0，得-3x1+y1=0，-3x1+3z1=0，令x1=1，所以m→=1,3,1.设平面ACF的一个法向量n→=x2,y2,z2，因为CA→=3,1,0，CF→=0,1,3，由n→⋅CA→=0，n→⋅CF→=0，得3x2+y2=0，y2+3z2=0，令x2=1，所以n→=1,-3,1.设二面角B-AF-C的平面角为θ，所以cosθ=|m→⋅n→||m→||n→|=15，所以二面角B-AF-C的余弦值为15 .(3)解：因为EF//CD//AB，设FE→=tBA→=3t,-t,0，F0,0,3，所以E3t,-t,3，则DE→=3t-3,2-t,3，又因为平面AOF试卷第9页，总9页, 的一个法向量为OB→=0,1,0，因为DE→⋅OB→=3t-3,2-t,3⋅0,1,0=2-t=0，所以t=2，所以|FE→|=2|BA→|=4 .22.解：(1)由题意知：F1-1,0，F21,0，由椭圆定义知，所以2a=PF1+PF2=22，设椭圆的半焦距为c，因为b2+c2=a2，所以a=2，b=1，c=1，所以椭圆C的标准方程为：x22+y2=1.(2)①设直线l的方程为：y=kx+t，将y=kx+t代入x22+y2=1得：1+2k2x2+4ktx+2t2-2=0，所以x1+x2=-4kt1+2k2，x1x2=2t2-21+2k2，又因为k=1，|AB|=2|x1-x2|=2⋅x1+x22-4x1x2=43-t23，所以S△AOB=12⋅|t|2⋅43-t23=23×t23-t2≤23×t2+3-t22=22，等号当仅当t2=3-t2时取，即当t=±62时，△OMN的面积取最大值为22.②显然直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为：y=kx+t，由①知：x1+x2=-4kt1+2k2，x1x2=2t2-21+2k2，所以y1y2=kx1+tkx2+t=k2x1x2+ktx1+x2+t2=t2-2k21+2k2，所以OM→⋅ON→=x1x2+y1y2=3t2-2-2k21+2k2=-1，解得t2=13，t=±33，直线过定点Z0,33或0,-33，所以D在以OZ为直径的圆上，该圆的圆心为W0,36或0,-36，半径等于36，所以存在定点W0,36或0,-36，使得|DW|为定值36.试卷第9页，总9页</bp→,n→>
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