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【优化指导】2022高考数学总复习 第8章 第8节 直线与圆锥曲线的位置关系课时演练 新人教A版
【优化指导】2022高考数学总复习 第8章 第8节 直线与圆锥曲线的位置关系课时演练 新人教A版
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活页作业 直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1.(理)设双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切,则该双曲线的离心率等于( )A. B.2 C. D.解析:据双曲线方程得其渐近线方程为y=±x,若该渐近线与圆相切,则有r==.答案:A2.(2022·九江模拟)已知直线l:x+ky-3k=0,如果它与双曲线-=1只有一个公共点,则k的取值个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4解析:直线经过定点(0,3),过该点可作双曲线的两条切线,或分别与两条渐近线平行的直线,此时直线l与双曲线只有一个公共点,故这样的k值有4个.答案:D3.设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是( )9\nA.(0,2) B.[0,2]C.(2,+∞) D.[2,+∞)解析:根据抛物线的定义可知|FM|=y0+2,又由圆与准线相交可得y0+2>4,即y0>2,故选C.答案:C4.(理)设斜率为1的直线l与椭圆C:+=1相交于不同的两点A,B,则使|AB|为整数的直线l共有( )A.4条 B.5条 C.6条 D.7条4.(文)直线y=x+1截抛物线y2=2px所得弦长为2,此抛物线方程为( )A.y2=2x B.y2=6xC.y2=-2x或y2=6x D.以上都不对解析:由消去y整理得x2+(2-2p)x+1=0.设两交点为P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=2p-2,x1x2=1.∴2=·=·.解得p=-1或p=3,∴抛物线方程为y2=-2x或y2=6x.答案:C5.(理)已知曲线C1方程为x2-=1(x≥0,y≥0),圆C2方程为(x-3)2+y2=1,斜率为k(k>0)的直线l与圆C2相切,切点为A,直线l与曲线C1相交于点B,|AB|=9\n,则直线AB的斜率为( )A. B.C.1 D.解析:如图,由题意可知,C2为双曲线的右焦点,BA为圆C2的切线,于是,|AC2|=1,|AB|=,所以|BC2|=2,易知B为双曲线的右顶点,故可设直线AB的方程为y=k(x-1),由直线AB与圆C2相切得=1,又k>0,所以k=.答案:A5.(文)已知点A(1,2)是抛物线C:y2=2px与直线l:y=k(x+1)的一个交点,则抛物线C的焦点到直线l的距离是( )A. B.C. D.2解析:将点A(1,2)代入y2=2px中,可得p=2,即得抛物线y2=4x,其焦点坐标为(1,0),将点A(1,2)代入y=k(x+1)中,可得k=1,即得直线x-y+1=0,∴抛物线C的焦点到直线l的距离d==.答案:B6.(2022·金华模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A,B两点,若=3,则k等于( )A.1 B. C. D.2解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),∵=3,∴y1=-3y2,∵e=,∴设a=2t,c=t,b=t,∴x2+4y2-4t2=0.①设直线AB的方程为x=sy+t.9\n代入①式,消去x整理得(s2+4)y2+2sty-t2=0,∴y1+y2=-,y1y2=-,∴-2y2=-,-3y=-,解得s2=,∴k=.答案:B二、填空题7.(理)(2022·宜春模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B,若=,则p=________.7.(文)(2022·南昌模拟)椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M,若MF1垂直于x轴,则椭圆的离心率为__________________.解析:在△MF1F2中,∠MF2F1=60°,|F2F1|=2c,所以|MF1|=2c,由MF1⊥x轴,且|MF1|+|MF2|=2a,得2c+4c=2a,则e=2-.答案:2-8.抛物线y2=4x,O为坐标原点,A,B为抛物线上两个动点,且OA⊥OB,当直线AB的倾斜角为45°时,△AOB的面积为________.解析:设A,B,据题意可得将A、B点的坐标代入,整理可得①故S△AOB=|OA|·|OB|=·9\n=·=·,②将①式代入②式即得S△AOB=8.答案:8三、解答题9.(理)已知点A(-1,0),B(1,-1),抛物线C:y2=4x,O为坐标原点,过点A的动直线l交抛物线C于M,P两点,直线MB交抛物线C于另一点Q.(1)若向量O与O的夹角为,求△POM的面积;(2)求证:直线PQ恒过一个定点.(1)解:设点M,P,∵P,M,A三点共线,∴kAM=kPM,即=,即=,∴y1y2=4.∴O·O=·+y1y2=5.∵向量O与O的夹角为,∴|O|·|O|·cos=5,∴|O||O|=5.∴S△POM=|O|·|O|·sin=×5×=.(2)证明:设点Q坐标为(,y3),∵M,B,Q三点共线,∴kBQ=kQM,9\n即=,即=.∴(y3+1)(y1+y3)=y-4,即y1y3+y1+y3+4=0.∵y1y2=4,∴y1=,∴·y3++y3+4=0,整理得4(y2+y3)+y2y3+4=0,(*)又kPQ==,解:(1)设B(x1,y1),C(x2,y2),当直线l的斜率是时,l的方程为y=(x+4),即x=2y-4,联立,得2y2-(8+p)y+8=0,y1+y2=,y1y2=4,由已知A=4A,∴y2=4y1,由根与系数的关系及p>0可得y1=1,y2=4,p=2,∴抛物线G的方程为x2=4y.(2)由题意知直线l的斜率存在,且不为0,设l:y=R(x+4),BC中点坐标为(x0,y0),由,得x2-4kx-16k=0,9\n由Δ>0得k<-4或k>0,∴x0==2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k,BC中垂线方程为y-2k2-4k=-(x-2k),∴b=2(k+1)2,∴b>2,故b的取值范围是(2,+∞).10.(理)(2022·济宁模拟)如图,在直角坐标系xOy中有一直角梯形ABCD,AB的中点为O,AD⊥AB,AD∥BC,AB=4,BC=3,AD=1,以A,B为焦点的椭圆经过点C.(1)求椭圆的标准方程;(2)若点E(0,1),问是否存在直线l与椭圆交于M,N两点且|ME|=|NE|,若存在,求出直线l斜率的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)连接AC,依题意设椭圆的标准方程为:+=1(a>b>0),在Rt△ABC中,AB=4,BC=3,∴AC=5.∴CA+CB=5+3=2a,a=4.又2c=4,∴c=2,从而b==2,∴椭圆的标准方程为+=1.(2)由题意知,当l与x轴垂直时,不满足|ME|=|NE|,当l与x轴平行时,|ME|=|NE|显然成立,此时k=0.设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),由消去y整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-48=0.由直线与椭圆交于两点得Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-48)>0,∴16k2+12>m2.①设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为F(x0,y0),则x0==,y0=kx0+m=.∵|ME|=|NE|,∴EF⊥MN,∴kEF·k=-1,9\n即×k=-1,化简得m=-(4k2+3),结合①得16k2+12>(4k2+3)2,即16k4+8k2-3<0,解得-<k<(k≠0).综上可知,存在满足条件的直线l,且其斜率k的取值范围为.10.(文)(2022·郴洲模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0),F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点,A1、A2分别为椭圆C的左、右顶点,过右焦点F2且垂直于x轴的直线与椭圆C在第一象限的交点为M(,2).(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线l:x=my+1与椭圆C交于P、Q两点,直线A1P与A2Q交于点S.试问:当直线l变化时,点S是否恒在一条定直线上?若是,请写出这条定直线的方程,并证明你的结论:若不是,请说明理由.9\n===,所以x0=9.所以当直线l变化时,点S恒在定直线x=9上.9
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:46:27
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