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【优化指导】2022高考数学总复习 第7章 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质课时演练 新人教A版
【优化指导】2022高考数学总复习 第7章 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质课时演练 新人教A版
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活页作业 直线、平面垂直的判定及性质一、选择题1.若l为一条直线,α、β、γ为三个互不重合的平面,给出下面三个命题:①α⊥γ,β⊥γ⇒α⊥β;②α⊥γ,β∥γ⇒α⊥β;③l∥α,l⊥β⇒α⊥β.其中正确的命题有( )A.0个 B.1个 C.2个 D.3个解析:对于①,α与β可能平行,故错.②③正确,故选C.答案:C2.(理)a,b,c是三条不同直线,α,β是两个不同平面,b⊂α,c⊄α,则下列命题不成立的是( )A.若α∥β,c⊥α,则c⊥βB.“若b⊥β,则α⊥β”的逆命题C.若a是c在α内的射影,b⊥a,则c⊥bD.“若b∥c,则c∥α”的逆否命题2.(文)设两个平面α,β,直线l,下列三个条件:①l⊥α;②l∥β;③α⊥β.若以其中两个作为前提,另一个作为结论,则可构成三个命题,这三个命题中正确命题的个数为( )A.3 B.2 C.1 D.0解析:若①,②成立,则l与β内的某一直线a平行,∴a⊥α,∴β⊥α,即③成立;若①③成立,l还可能在β内,∴不能推出l∥β;若②③成立,l也可能平行于α,∴不能推出l⊥α,故只有①②⇒③正确.答案:C3.(理)下列命题中错误的是( )A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β8\nC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析:A正确,只需α内的直线平行于α与β的交线即平行于β;B正确,根据面面垂直的判定定理,若α内存在直线垂直于β,则α⊥β;C正确,设α内a⊥γ,β内b⊥γ,α∩β=l,则a∥b,所以a∥β,根据线面平行的性质定理,所以a∥l,所以l⊥γ;D错误,平面α内可以存在直线平行于交线而不垂直于平面β.答案:D3.(文)给出下列四个命题:①垂直于同一平面的两条直线相互平行;②垂直于同一平面的两个平面相互平行;③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线,那么这条直线垂直于这个平面.其中真命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4解析:命题①,④为真,命题②,③为假.答案:B4.如图在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在( )A.直线AB上 B.直线BC上C.直线AC上 D.△ABC内部解析:由AC⊥AB,AC⊥BC1,得AC⊥平面ABC1,AC⊂平面ABC,∴平面ABC1⊥平面ABC,因此C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上.答案:A5.(理)(2022·昆明模拟)给出下列三个命题:①“直线a、b为异面直线”的充分非必要条件是“直线a、b不相交”;②“直线a垂直于直线b”的充分非必要条件是“直线a垂直于直线b在平面β内的射影;③“直线a垂直于平面β”的必要非充分条件是“直线a垂直于平面β内的无数条直线”.其中正确的命题个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3解析:对于①,a、b不相交时,a、b可以平行,∴不能推出a、b异面,①8\n错;对于②,只有a在平面β内时才成立,②错;对于③,垂直于平面β内的无数条直线,当这无数条直线都平行时,a不一定垂直于β,而当a⊥β时,a一定能垂直于β内无数条直线,∴③正确,故选B.答案:B5.(文)(2022·大同模拟)设a、b是两条直线,α,β是两个平面,则a⊥b的一个充分条件是( )A.a⊥α,b∥β,α⊥β B.a⊥α,b⊥β,α∥βC.a⊂α,b⊥β,α∥β D.a⊂α,b∥β,α⊥β解析:C选项中,由b⊥β,α∥β可得b⊥α,又a⊂α,所以b⊥a,故选C.答案:C6.(理)如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是( )A.AC⊥SBB.AB∥平面SCDC.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角6.(文)已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=2,∠ASC=∠BSC=45°,则棱锥SABC的体积为( )A. B. C. D.解析:如图所示,由题意知,在棱锥SABC中,△SAC,△SBC都是等腰直角三角形,其中AB=2,SC=4,SA=AC=SB=BC=2.取SC8\n的中点D,易证SC垂直于面ABD,因此棱锥SABC的体积为两个棱锥SABD和CABD的体积和,所以棱锥SABC的体积V=SC·S△ADB=×4×=.答案:C二、填空题7.(理)(2022·聊城模拟)等腰直角△ABC中,AB=BC=1,M为AC中点,沿BM把它折成二面角,使得折后A与C的距离为1,则二面角CBMA的大小为________.解析:如图,由AB=BC=1,∠A′BC=90°,得A′C=.∵M为A′C中点,∴MC=AM=,且CM⊥BM,AM⊥BM,∴∠CMA为二面角CBMA的平面角.∵AC=1,MC=MA=,∴∠CMA=90°,故二面角CBMA的大小为90°.答案:90°7.(文)将正方形ABCD沿对角线BD折起,使平面ABD⊥平面CBD,E是CD的中点,则异面直线AE、BC所成角的正切值为______.解析:如图所示,取BD中点O,连接AO、OE,则AO⊥BD.∵平面ABD⊥平面CBD,∴AO⊥平面BCD,又OE∥BC,∴∠AEO即为AE、BC所成的角.设正方形的边长为2,则OE=1,AO=.∴tan∠AEO=.答案:8.(理)如图,矩形ABCD的边AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=2,现有数据:①a=;②a=1;③a=;④a=4,当BC边上存在点Q,使PQ⊥QD时,可以取______(填上正确的序号).解析:连接AQ,因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥DQ,又PQ⊥QD,所以AQ⊥QD.故Rt△ABQ∽Rt△QCD.令BQ=x,则有=.整理得x2-2x+a2=0.8\n由题意可知方程x2-2x+a2=0有正实根,所以0<a≤1.答案:①②8.(文)(2022·南昌模拟)在棱长为1的正方体AC1中,E为AB的中点,点P为侧面BB1C1C内一动点(含边界),若动点P始终满足PE⊥BD1,则动点P的轨迹的长度为________.解析:如图,根据题意,BD1要始终垂直于PE所在的一个平面,取BC,BB1的中点F,G,易证BD1⊥平面EFG,故点P的轨迹为线段FG,易求得这条线段的长度是.答案:三、解答题9.(理)(2022·陕西高考)(1)如图所示,证明命题“a是平面π内的一条直线,b是π外的一条直线(b不垂直于π),c是直线b在π上的投影,若a⊥b,则a⊥c”为真;(2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需证明).(1)证明:如图,记c∩b=A,P为直线b上异于点A的任意一点,过P作PO⊥π,垂足为O,则O∈c.因为PO⊥π,a⊂π,所以直线PO⊥a.又a⊥b,b⊂平面PAO,PO∩b=P,所以a⊥平面PAO.又c⊂平面PAO,所以a⊥c.(2)解:逆命题为:a是平面π内的一条直线,b是π外的一条直线(b不垂直于π),c是直线b在π上的投影,若a⊥c,则a⊥b.逆命题为真命题.9.(文)(2022·陕西高考)在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AA1,∠CAB=.(1)求证:CB1⊥BA1;(2)已知AB=2,BC=,求三棱锥C1ABA1的体积.(1)证明:如图所示,连接AB1.∵三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱,∠CAB=,∴AC⊥平面ABB1A1,8\n故AC⊥BA1.又∵AB=AA1,∴四边形ABB1A1是正方形,∴BA1⊥AB1.又CA∩AB1=A,∴BA1⊥平面CAB1,故CB1⊥BA1.(2)解:∵AB=AA1=2,BC=,∴AC=A1C1=1.由(1)知,A1C1⊥平面ABA1,∴VC1ABA1=S△ABA1·A1C1=×2×1=.10.(理)(2022·山东高考)在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,FC⊥平面ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF.(1)求证:BD⊥平面AED;(2)求二面角FBDC的余弦值.所以∠FGC为二面角FBDC的平面角.在等腰三角形BCD中,由于∠BCD=120°,因此CG=CB.又CB=CF,8\n所以GF==CG,在Rt△FCG中,∠FCG=90°,cos∠FGC==,所以二面角FBDC的余弦值为.10.(文)(2022·北京高考)如图(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图(2).(1)求证:DE∥平面A1CB;(2)求证:A1F⊥BE;(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?说明理由.(1)证明:因为D,E分别为AC,AB的中点,所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB,BC⊂平面A1CB.所以DE∥平面A1CB.(2)证明:由已知得AC⊥BC且DE∥BC,所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D,DE⊥CD.又A1D∩CD=D,所以DE⊥平面A1DC.因为A1F⊂平面A1DC,所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD,CD∩DE=D.所以A1F⊥平面BCDE.因为BE⊂平面BCDE,所以A1F⊥BE.(3)解:线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ.理由如下:8\n8
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:46:31
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