【创新设计】2022届高考数学一轮总复习 易失分点清零(七) 数列增分特色训练 理 湘教版

易失分点清零(七)　数列1.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn解析　∵an＋1－an＝ln，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝ln＋ln＋…＋ln＋ln＋2＝ln＋2＝2＋lnn，故应选A.答案　A2．记数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝3(an－2)，则a2＝(　　)．A.B．5C.D.解析　当n＝1时，有a1＝S1＝3(a1－2)，解得a1＝3；当n＝2时，有S2＝3(a2－2)，即a1＋a2＝3(a2－2)，解得a2＝.答案　C3．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝(　　)．A．－11B．－8C．5D．11解析　设等比数列的首项为a1，公比为q.因为8a2＋a5＝0，所以8a1q＋a1q4＝0.∴q3＋8＝0，∴q＝－2，∴＝·＝＝＝－11.答案　A4．等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前10项之和是(　　)．A．90B．100C．145D．190解析　设公差为d(d≠0)，则有a＝a1a5，(1＋d)2＝1＋4d，d2－2d＝0.又d≠0，因此d＝2，{an}的前10项和等于10a1＋×2＝100.5\n答案　B5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝12，S20＝17，则S30为(　　)．A．15B．20C．25D．30解析　由等差数列的性质，知S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，故有2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，整理，得S30＝3S20－3S10＝3×(17－12)＝15.答案　A6．已知等差数列{an}满足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n>3)，Sn＝100，则n的值为(　　)．A．8B．9C．10D．11解析　根据已知的两个条件列出方程，注意其中Sn－Sn－3＝51(n>3)就是an－2＋an－1＋an＝51，这个结果就是3an－1，由此得an－1＝17，这样a2＋an－1＝a1＋an＝20，利用等差数列的求和公式Sn＝，故100＝，解得n＝10.答案　C7．已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q的取值范围是(　　)．A.B.C.D.解析　设三角形的三边分别为a，aq，aq2.①当q≥1时，由a＋aq>aq2，解得1≤q<；②当0<q<1时，由aq＋aq2>a，解得<q<1.综合①②，得q的取值范围是<q<.答案　D8．在等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是(　　)．A．(－∞，－1]B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析　法一　因为在等比数列{an}中a2＝1，所以当公比为1时，a1＝a2＝a3＝1，S3＝3；当公比为－1时，a1＝－1，a2＝1，a3＝－1，S3＝－1，从而排除A，B，C三项．法二　因为在等比数列{an}中，a2＝1，所以S3＝a1＋a2＋a3＝a2＝1＋q＋.所以当公比q>0时，S3＝1＋q＋≥1＋2＝3；5\n当公比q<0时，S3＝1－≤1－2＝－1，所以S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案　D9．数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1，n∈N*)，则数列{an}的通项公式是________．解析　由an＋1＝2Sn＋1，可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，两式相减，得an＋1－an＝2an，an＋1＝3an(n≥2)．又a2＝2S1＋1＝3，所以a2＝3a1，故{an}是首项为1，公比为3的等比数列．所以an＝3n－1.答案　an＝3n－110．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n＝1,2,3，…)，则数列{nan}中数值最小的项是第________项．解析　当n＝1时，a1＝S1＝－9；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－(n－1)2＋10(n－1)＝2n－11.可以统一为an＝2n－11(n∈N*)，故nan＝2n2－11n，关于n的二次函数的对称轴是n＝，考虑到n为正整数，且对称轴离n＝3较近，故数列{nan}中数值最小的项是第3项．答案　311．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，则数列的公比q是________．解析　若q＝1，则有S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，但a1≠0，即得S3＋S6≠2S9，与题设矛盾，故q≠1.又依题意S3＋S6＝2S9⇒＋＝2·⇒q3(2q6－q3－1)＝0，即(2q3＋1)(q3－1)＝0，因为q≠1，所以q3－1≠0，则2q3＋1＝0，解得q＝－.答案　－12．若两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且满足＝，则＝________.解析　＝＝＝＝＝.5\n答案　13．已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n＝1,2,3，….(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前n项和Sn.(1)证明　因为an＋1＝，所以＝＝＋·.所以－1＝.又a1＝，所以－1＝.所以数列是以为首项，为公比的等比数列．(2)解　由(1)，知－1＝·＝，即＝＋1，所以＝＋n.设Tn＝＋＋＋…＋，①则Tn＝＋＋…＋＋，②由①－②，得Tn＝＋＋…＋－＝－＝1－－，所以Tn＝2－－＝2－.又1＋2＋3＋…＋n＝，所以数列的前n项和Sn＝2－＋＝－.14．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝，且[3＋(－1)n]an＋2＝2an－2[(－1)n－1](n5\n＝1,2,3，…)．(1)求a3，a4，a5，a6的值及数列{an}的通项公式；(2)令bn＝a2n－1·a2n，记数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<3.(1)解　分别令n＝1,2,3,4，可求得a3＝3，a4＝，a5＝5，a6＝.当n为奇数时，不妨设n＝2m－1，m∈N*，则a2m＋1－a2m－1＝2，所以{a2m－1}为等差数列．所以a2m－1＝1＋(m－1)·2＝2m－1，即an＝n.当n为偶数时，设n＝2m，m∈N*，则a2m＋2＝a2m，所以{a2m}为等比数列，a2m＝·m－1＝.故an＝.综上所述，an＝(2)证明　bn＝a2n－1·a2n＝(2n－1)·，所以Tn＝1×＋3×＋5×＋…＋(2n－1)·，所以Tn＝1×＋3×＋…＋(2n－3)·＋(2n－1)·.两式相减，得Tn＝＋2－(2n－1)·＝＋2·－(2n－1)·＝－，所以Tn＝3－.故Tn<3.5