【创新设计】2022届高考数学一轮总复习 易失分点清零(四) 导数及其应用增分特色训练 理 湘教版

易失分点清零(四)　导数及其应用1．已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b切于点(1,3)，则b的值为(　　)．A．3B．－3C．5D．－5解析　∵点(1,3)在直线y＝kx＋1上，∴k＝2.∴2＝f′(1)＝3×12＋a×1⇒a＝－1.∴f(x)＝x3－x＋b.∵点(1,3)在曲线上，∴b＝3.故选A.答案　A2．(2022·泰安一中月考)dx＝(　　)．A．lnx＋ln2xB.－1C.D.解析　dx＝＝.答案　C3．(2022·广州模拟)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是(　　)．解析　若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则易得a＝c.因选项A、B的函数为f(x)＝a(x＋1)2，则[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝a(x＋1)(x＋3)ex，∴x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，满足条件；选项C中，对称轴x＝－＞0，且开口向下，∴a＜0，b＞0，∴f(－1)＝2a－b＜0，也满足条件；选项D中，对称轴x＝－＜－1，且开口向上，∴a＞0，b＞2a，∴f(－1)＝2a－b＜0，与图矛盾，故答案选D.答案　D4．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于(　　)．A．0B．－4C．－2D．2解析　f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，∴f′(x)＝2x4\n－4，∴f′(0)＝－4.答案　B5．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝[f′(x)]′，若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在内不是凸函数的是(　　)．A．f(x)＝sinx＋cosxB．f(x)＝lnx－2xC．f(x)＝－x3＋2x－1D．f(x)＝－xe－x解析　A选项中，f′(x)＝cosx－sinx，f″(x)＝－(sinx＋cosx)，当x∈时，f″(x)<0，故f(x)在内是凸函数；同理可得选项B和选项C中的函数在内是凸函数；对D选项，f′(x)＝－e－x＋xe－x＝e－x(x－1)，f″(x)＝e－x－(x－1)e－x＝e－x(2－x)，当x∈时，f″(x)>0，故f(x)＝－xe－x在内不是凸函数．答案　D6．(2022·福建)若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)．A．2B．3C．6D．9解析　f′(x)＝12x2－2ax－2b，由函数f(x)在x＝1处有极值，可知函数f(x)在x＝1处的导数值为零，12－2a－2b＝0，所以a＋b＝6，由题意知a，b都是正实数，所以ab≤2＝2＝9，当且仅当a＝b＝3时取到等号．答案　D7．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则(　　)．A．a≤0B．a<1C．a<0D．a≤1解析　f′(x)＝3ax2－1，若a＝0，则f′(x)＝－1<0，f(x)在R上为减函数若a≠0，由已知条件即解得a<0.综上可知a≤0.答案　A8．若函数y＝f(x)满足2f(x)＋f＝lnx，则函数f(x)在(1,0)点处的切线斜率为(　　)．A．1B．2C．3D．4解析　因为2f(x)＋f＝lnx，所以2f＋f(x)＝－lnx，故f(x)＝lnx4\n，所以切线斜率k＝f′(1)＝1.答案　A9．(2022·济宁一中月考)若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为(　　)．A．1B.C.D.解析　由已知y′＝2x－，令2x－＝1，解得x＝1.曲线y＝x2－lnx在x＝1处的切线方程为y－1＝x－1，即x－y＝0.两直线x－y＝0，x－y－2＝0之间的距离为d＝＝.答案　B10．幂指函数y＝f(x)g(x)在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得lny＝g(x)lnf(x)，两边求导数得＝g′(x)lnf(x)＋g(x)，于是y′＝f(x)g(x)·.运用此法可以探求得知y＝x的一个单调递增区间为(　　)．A．(0,2)B．(2,3)C．(e,4)D．(3,8)解析　将函数y＝x两边求对数得lny＝lnx，两边求导数得＝－lnx＋·＝(1－lnx)，所以y′＝y·(1－lnx)＝x·(1－lnx)．令y′>0⇒1－lnx>0⇒0<x<e，结合选项只有A正确．答案　A11．给出如下命题：(1)dx＝dt＝b－a(a，b为常数且a<b)；(2)－1dx＝dx＝；(3)曲线y＝sinx(0≤x≤2π)与直线y＝0围成的两个封闭区域的面积之和为2.真命题的个数为________．解析　由于dx＝a－b，dt＝b－a，故(1)错；由定积分的几何意义知－1dx和dx都表示半径为1的圆面积的，所以都等于，故(2)正确；曲线y＝sinx(0≤x≤2π)与直线y＝0所围成的两个封闭区域的面积之和应该等于4，所以(3)错误．4\n答案　112．抛物线x2＝y在第一象限内的图象上一点(ai,2a)处的切线与x轴交点的横坐标记为ai＋1，其中i∈N*，若a2＝32，则a2＋a4＋a6＝________.解析　由y＝2x2，知y′＝4x，则切线方程为y－2a＝4ai(x－ai)，切线与x轴交点的横坐标为ai＋1＝ai，所以a2，a4，a6成首项为32，公比为的等比数列，故a2＋a4＋a6＝42.答案　4213．(2022·温州一模)已知a＝(cosx－sinx)dx，则二项式5展开式中x的系数为________．解析　a＝(cosx－sinx)dx＝(sinx＋cosx)＝－2.又5的通项Tr＋1＝Cx2(5－r)(－2x－1)r＝(－2)rCx10－3r，令10－3r＝1，∴r＝3.此时x的系数为(－2)3C＝－80.答案　－8014．已知f′(x)为函数f(x)＝ax3＋(3－a)x2－7x＋5(a>0)的导函数，当x∈[－2,2]时，|f′(x)|≤7恒成立，则f(x)＝________.解析　由f(x)＝ax3＋(3－a)x2－7x＋5(a>0)可得f′(x)＝ax2＋2(3－a)x－7，因为f′(x)＝ax2＋2(3－a)x－7是开口向上的抛物线且f′(0)＝－7，所以要使x∈[－2,2]时，|f′(x)|≤7恒成立，只要f′(x)的对称轴为y轴且即可，所以对称轴－＝＝0，可得a＝3，经检验满足题意，则f(x)＝x3－7x＋5.答案　x3－7x＋515．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是________．解析　阴影部分的面积S＝＝－(－1－1)＝2，矩形的面积为2π.概率P＝＝＝.答案　4