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【创新设计】2022届高考数学一轮总复习 易失分点清零(四) 导数及其应用增分特色训练 理 湘教版

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易失分点清零(四) 导数及其应用1.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b切于点(1,3),则b的值为(  ).A.3B.-3C.5D.-5解析 ∵点(1,3)在直线y=kx+1上,∴k=2.∴2=f′(1)=3×12+a×1⇒a=-1.∴f(x)=x3-x+b.∵点(1,3)在曲线上,∴b=3.故选A.答案 A2.(2022·泰安一中月考)dx=(  ).A.lnx+ln2xB.-1C.D.解析 dx==.答案 C3.(2022·广州模拟)设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)的图象是(  ).解析 若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则易得a=c.因选项A、B的函数为f(x)=a(x+1)2,则[f(x)ex]′=f′(x)ex+f(x)(ex)′=a(x+1)(x+3)ex,∴x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,满足条件;选项C中,对称轴x=->0,且开口向下,∴a<0,b>0,∴f(-1)=2a-b<0,也满足条件;选项D中,对称轴x=-<-1,且开口向上,∴a>0,b>2a,∴f(-1)=2a-b<0,与图矛盾,故答案选D.答案 D4.已知f(x)=x2+2xf′(1),则f′(0)等于(  ).A.0B.-4C.-2D.2解析 f′(x)=2x+2f′(1),∴f′(1)=2+2f′(1),即f′(1)=-2,∴f′(x)=2x4\n-4,∴f′(0)=-4.答案 B5.给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f′(x)存在,且导函数f′(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=[f′(x)]′,若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在内不是凸函数的是(  ).A.f(x)=sinx+cosxB.f(x)=lnx-2xC.f(x)=-x3+2x-1D.f(x)=-xe-x解析 A选项中,f′(x)=cosx-sinx,f″(x)=-(sinx+cosx),当x∈时,f″(x)<0,故f(x)在内是凸函数;同理可得选项B和选项C中的函数在内是凸函数;对D选项,f′(x)=-e-x+xe-x=e-x(x-1),f″(x)=e-x-(x-1)e-x=e-x(2-x),当x∈时,f″(x)>0,故f(x)=-xe-x在内不是凸函数.答案 D6.(2022·福建)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于(  ).A.2B.3C.6D.9解析 f′(x)=12x2-2ax-2b,由函数f(x)在x=1处有极值,可知函数f(x)在x=1处的导数值为零,12-2a-2b=0,所以a+b=6,由题意知a,b都是正实数,所以ab≤2=2=9,当且仅当a=b=3时取到等号.答案 D7.函数f(x)=ax3-x在R上为减函数,则(  ).A.a≤0B.a<1C.a<0D.a≤1解析 f′(x)=3ax2-1,若a=0,则f′(x)=-1<0,f(x)在R上为减函数若a≠0,由已知条件即解得a<0.综上可知a≤0.答案 A8.若函数y=f(x)满足2f(x)+f=lnx,则函数f(x)在(1,0)点处的切线斜率为(  ).A.1B.2C.3D.4解析 因为2f(x)+f=lnx,所以2f+f(x)=-lnx,故f(x)=lnx4\n,所以切线斜率k=f′(1)=1.答案 A9.(2022·济宁一中月考)若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小值为(  ).A.1B.C.D.解析 由已知y′=2x-,令2x-=1,解得x=1.曲线y=x2-lnx在x=1处的切线方程为y-1=x-1,即x-y=0.两直线x-y=0,x-y-2=0之间的距离为d==.答案 B10.幂指函数y=f(x)g(x)在求导数时,可以运用对数法:在函数解析式两边求对数得lny=g(x)lnf(x),两边求导数得=g′(x)lnf(x)+g(x),于是y′=f(x)g(x)·.运用此法可以探求得知y=x的一个单调递增区间为(  ).A.(0,2)B.(2,3)C.(e,4)D.(3,8)解析 将函数y=x两边求对数得lny=lnx,两边求导数得=-lnx+·=(1-lnx),所以y′=y·(1-lnx)=x·(1-lnx).令y′>0⇒1-lnx>0⇒0<x<e,结合选项只有A正确.答案 A11.给出如下命题:(1)dx=dt=b-a(a,b为常数且a<b);(2)-1dx=dx=;(3)曲线y=sinx(0≤x≤2π)与直线y=0围成的两个封闭区域的面积之和为2.真命题的个数为________.解析 由于dx=a-b,dt=b-a,故(1)错;由定积分的几何意义知-1dx和dx都表示半径为1的圆面积的,所以都等于,故(2)正确;曲线y=sinx(0≤x≤2π)与直线y=0所围成的两个封闭区域的面积之和应该等于4,所以(3)错误.4\n答案 112.抛物线x2=y在第一象限内的图象上一点(ai,2a)处的切线与x轴交点的横坐标记为ai+1,其中i∈N*,若a2=32,则a2+a4+a6=________.解析 由y=2x2,知y′=4x,则切线方程为y-2a=4ai(x-ai),切线与x轴交点的横坐标为ai+1=ai,所以a2,a4,a6成首项为32,公比为的等比数列,故a2+a4+a6=42.答案 4213.(2022·温州一模)已知a=(cosx-sinx)dx,则二项式5展开式中x的系数为________.解析 a=(cosx-sinx)dx=(sinx+cosx)=-2.又5的通项Tr+1=Cx2(5-r)(-2x-1)r=(-2)rCx10-3r,令10-3r=1,∴r=3.此时x的系数为(-2)3C=-80.答案 -8014.已知f′(x)为函数f(x)=ax3+(3-a)x2-7x+5(a>0)的导函数,当x∈[-2,2]时,|f′(x)|≤7恒成立,则f(x)=________.解析 由f(x)=ax3+(3-a)x2-7x+5(a>0)可得f′(x)=ax2+2(3-a)x-7,因为f′(x)=ax2+2(3-a)x-7是开口向上的抛物线且f′(0)=-7,所以要使x∈[-2,2]时,|f′(x)|≤7恒成立,只要f′(x)的对称轴为y轴且即可,所以对称轴-==0,可得a=3,经检验满足题意,则f(x)=x3-7x+5.答案 x3-7x+515.如图,在一个长为π,宽为2的矩形OABC内,曲线y=sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分,向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的),则所投的点落在阴影部分的概率是________.解析 阴影部分的面积S==-(-1-1)=2,矩形的面积为2π.概率P===.答案 4

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发布时间:2022-08-26 00:38:58 页数:4
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文章作者:U-336598

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