【创新设计】2022届高考数学一轮总复习 易失分点清零(六) 平面向量增分特色训练 理 湘教版

易失分点清零(六)　基平面向量1.已知点O，A，B是平面上的三点，直线AB上有一点C，满足＝，则等于(　　)．A.－B.＋C.－D.＋解析　由＝，知点C为AB的中点，由向量加法可得＝＋.答案　D2．若平面向量a＝(1，x)和b＝(2x＋3，－x)互相平行，其中x∈R.则|a－b|＝(　　)．A．－2或0B．2C．2或2D．2或10解析　由a∥b，得x＝0或－2.当x＝－2，即a－b＝(2，－4)时，|a－b|＝＝2；当x＝0，即a－b＝(－2,0)时，|a－b|＝2.综上，知|a－b|＝2或2.答案　C3．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则(　　)．A.＋＝0B.＋＝0C.＋＝0D.＋＋＝0解析　据已知＋＝2，可得点P为线段AC的中点，故有＋＝0.答案　B4．在△ABC中，＝(2cosα，2sinα)，＝(5cosβ，5sinβ)，若·＝－5.则∠ABC＝(　　)．A.B.C.D.解析　由已知得||＝2，||＝5，又因为·＝－5，所以cos∠ABC＝cos〈，〉＝＝，又∵∠ABC∈(0，π)，所以∠ABC＝.5\n答案　B5．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝(　　)．A．(－2，－4)B．(－3，－6)C．(－4，－8)D．(－5，－10)解析　因为a∥b，所以1×m＝2×(－2)，即m＝－4.故2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．答案　C6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝(　　)．A．8B．4C．2D．1解析　由2＝16，得||＝4，|＋|＝|－|＝||＝4.而|＋|＝2||，故||＝2，故选C.答案　C7．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是(　　)．A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1解析　由＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)及A，B，C三点共线得：＝t，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得所以λμ＝1.故选D.答案　D8．已知两个单位向量a与b的夹角为135°，则|a＋λb|>1的充要条件是(　　)．A．λ∈(0，)B．λ∈(－，0)C．λ∈(－∞，0)∪(，＋∞)D．λ∈(－∞，－)∪(，＋∞)解析　|a＋λb|>1⇔a2＋2λa·b＋λ2b2＝1＋λ2＋2λ·1·1·cos135°＝λ2－λ＋1>1⇔λ2－λ>0⇔λ<0或λ>，故选C.答案　C9．已知向量a＝(1－cosθ，1)，b＝，且a∥b，则锐角θ＝________.解析　由于a∥b，故(1－cosθ)(1＋cosθ)＝1×，5\n即sin2θ＝.又θ为锐角，故sinθ＝，所以θ＝.答案　10．若向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且α－β＝kπ(k∈Z)，则a与b一定满足：①a与b夹角等于α－β；②|a|＝|b|；③a∥b；④a⊥b.其中正确结论的序号为________．解析　显然①不对．对于②：|a|＝＝1，|b|＝＝1.∴|a|＝|b|，故②正确．对于③：∵cosα＝cos(kπ＋β)＝sinα＝sin(kπ＋β)＝∴a＝(cosβ，sinβ)或a＝(－cosβ，－sinβ)，与b平行，故③正确．显然④不正确．答案　②③11．已知＝(x,2x)，＝(－3x,2)，如果∠BAC是钝角，则x的取值范围是________．解析　由∠BAC是钝角，知·<0且与不平行，即－3x2＋4x<0且2x＋6x2≠0，得x>或x<0且x≠－，故填∪∪.答案　∪∪12．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是________．解析　法一　记|c|＝r，设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(rcosθ，rsinθ)，由(a－c)·(b－c)＝0，得(1－rcosθ，－rsinθ)·(－rcosθ，1－rsinθ)＝0，即－rcosθ＋r2cos2θ－rsinθ＋r2sin2θ＝0，即r2＝r(sinθ＋cosθ)，当r≠0时，即r＝sinθ＋cosθ＝sin≤，即|c|的最大值是.法二　设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则(a－c)·(b－c)＝0，即(1－x，－y)·(－x,1－y)＝0，即x2＋y2－x－y＝0，即2＋2＝5\n，这是一个圆心坐标为，半径为的圆，所求的问题等价于这个圆上的点到坐标原点的最大距离，根据图形，这个最大距离是，即所求的最大值为.答案　13．已知O为坐标原点，向量＝(2,0)，＝(2,2)，＝(cosα，sinα)，求向量与的夹角的范围．解　∵＝(2,2)，＝(2,0)，∴B(2,0)，C(2,2)．∵＝(cosα，sinα)，∴＝＋＝(2＋cosα，2＋sinα)，∴点A的轨迹是以C(2,2)为圆心，为半径的圆．如图，过原点O作此圆的切线，切点分别为M，N，连接CM，CN，则向量与的夹角范围是∠MOB≤〈，〉≤∠NOB.由||＝2，||＝||＝||，知∠COM＝∠CON＝，但∠COB＝.∴∠MOB＝∠COB－∠COM＝，∠NOB＝∠COB＋∠CON＝，故≤〈，〉≤.14．设函数f(x)＝cos－cosx，将f(x)的图象按向量a＝平移后得到函数g(x)的图象．(1)求g(x)的解析式；(2)设h(x)＝f(ωx)(ω>0)，求使h(x)在区间上是减函数的ω的最大值．解　(1)f(x)＝cos－cosx＝－cosx＝cosx－sinx＝cos，所以g(x)＝cos＝cos.(2)h(x)＝f(ωx)＝cos，5\n由x∈，得ωx＋∈，因为h(x)在区间上是减函数，所以(k∈Z)⇒因为ω>0，则得－<k<，又因为k∈Z，则k＝0,0<ω≤2，所以ω的最大值为2.5