【创新设计】2022届高考数学一轮总复习 易失分点清零(五)三角函数与解三角形增分特色训练 理 湘教版

　易失分点清零(五)三角函数与解三角形1.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2＝，则△ABC是(　　)．A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析　因为cos2＝及2cos2－1＝cosA，所以cosA＝，则△ABC是直角三角形．故选A.答案　A2．函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的.所得函数解析式为(　　)．A．y＝sinB．y＝sinC．y＝sinD．y＝sin解析　将原函数向右平移个单位长度，所得函数解析式为y＝sin＝sin，再压缩横坐标得y＝sin.故选D.答案　D3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(b－c)cosA＝acosC，则cosA的值等于(　　)．A.B.C.D.解析　(b－c)cosA＝acosC，由正弦定理得sinBcosA＝sinCcosA＋cosCsinA⇒sinBcosA＝sin(C＋A)＝sinB，又sinB≠0，所以cosA＝，故选B.答案　B4．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则(　　)．6\nA．f(x)在单调递减B．f(x)在单调递减C．f(x)在单调递增D．f(x)在单调递增解析　先将f(x)化为单一函数形式：f(x)＝sin，∵f(x)的最小正周期为π，∴ω＝2.∴f(x)＝sin.由f(x)＝f(－x)知f(x)是偶函数，因此φ＋＝kπ＋(k∈Z)．又|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝cos2x.由0<2x<π，得0<x<时，f(x)单调递减，故选A.答案　A5．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝(　　)．A.B.C．－D．－解析　因为a＝15，b＝10，A＝60°，所以在△ABC中，由正弦定理可得sinB＝＝＝，又由a>b可得A>B，即得B为锐角，则cosB＝＝.答案　A6.已知函数y＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则(　　)．A．ω＝1，φ＝B．ω＝1，φ＝－6\nC．ω＝2，φ＝D．ω＝2，φ＝－解析　∵T＝π，∴ω＝2.由五点作图法知2×＋φ＝，∴φ＝－.答案　D7．(2022·龙岩模拟)将函数y＝f(x)·sinx的图象向右平移个单位后，再作关于x轴的对称变换，得到函数y＝1－2sin2x的图象，则f(x)可以是(　　)．A．sinxB．cosxC．2sinxD．2cosx解析　运用逆变换方法：作y＝1－2sin2x＝cos2x的图象关于x轴的对称图象得y＝－cos2x＝－sin2的图象，再向左平移个单位得y＝f(x)·sinx＝－sin2＝sin2x＝2sinxcosx的图象．∴f(x)＝2cosx.答案　D8．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanαtanβ＝(　　)．A.B．－C.D．－解析　由已知，得cosαcosβ－sinαsinβ＝，cosαcosβ＋sinαsinβ＝，则有cosαcosβ＝，sinαsinβ＝，所以＝，即tanαtanβ＝.答案　A9．(2022·湖州模拟)在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为________．解析　由正弦定理知＝＝，∴AB＝2sinC，BC＝2sinA．又A＋C＝120°∴AB＋2BC＝2sinC＋4sin(120°－C)＝2(sinC＋2sin120°cosC－2cos120°sinC)＝2(sinC＋cosC＋sinC)＝2(2sinC＋cosC)6\n＝2sin(C＋α)，其中tanα＝，α是第一象限角．由于0°<C<120°，且α是第一象限角，因此AB＋2BC有最大值2.答案　210．已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈，则tan的值是________．解析　因为a>1，tanα＋tanβ＝－4a<0，tanα·tanβ＝3a＋1>0，所以tanα<0，tanβ<0.又由α，β∈，得α，β∈，所以α＋β∈(－π，0)，则∈.又tan(α＋β)＝＝＝，又tan(α＋β)＝＝，整理，得2tan2＋3tan－2＝0，解得tan＝－2或tan＝(舍去)．答案　－211．函数y＝sin的单调递减区间是________．解析　即求y＝sin的单调递增区间，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．答案　(k∈Z)12．将函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x6\n)的图象．若y＝g(x)在上为增函数，则ω的最大值为________．解析　由条件，得g(x)＝2sin＝2sinωx，从而＝≥，解之得ω≤2，所以ω的最大值为2.答案　213．在△ABC中，＝.(1)证明：B＝C；(2)若cosA＝－，求sin的值．(1)证明　在△ABC中，由正弦定理及已知，得＝.于是sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin(B－C)＝0.因为－π<B－C<π，从而B－C＝0.所以B＝C.(2)解　由A＋B＋C＝π和(1)，得A＝π－2B，故cos2B＝－cos(π－2B)＝－cosA＝.又0<2B<π，于是sin2B＝＝.从而sin4B＝2sin2Bcos2B＝，cos4B＝cos22B－sin22B＝－.所以sin＝sin4Bcos＋cos4Bsin＝.14．已知函数f(x)＝a＋b.(1)当a＝1时，求f(x)的单调递增区间；(2)当a>0，且x∈[0，π]时，f(x)的值域是[3,4]，求a，b的值．解　(1)因为f(x)＝1＋cosx＋sinx＋b＝sin＋b＋1，由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，6\n得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(2)因为f(x)＝a(sinx＋cosx)＋a＋b＝asin＋a＋b，因为x∈[0，π]，则x＋∈，所以sin∈.故所以6