【北京特级教师 二轮复习精讲辅导】2022届高考数学 数列与函数、不等式综合问题选讲经典精讲课后练习二 理

数列与函数、不等式综合问题选讲经典精讲题一：已知函数f(x)＝a·bx的图象过点A(2，)，B(3,1)，若记an＝log2f(n)(n∈N*)，Sn是数列{an}的前n项和，则Sn的最小值是________．题二：已知函数f(x)＝，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f()，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(n≥2)，b1＝3，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，若Sn<对一切n∈N*成立，求最小的正整数m.题三：已知数列{an}具有性质：①a1为整数；②对于任意的正整数n，当an为偶数时，an＋1＝；当an为奇数时，an＋1＝；(1)若a1为偶数，且a1，a2，a3成等差数列，求a1的值；(2)设a1＝2m＋3(m>3且m∈N)，数列{an}的前n项和为Sn，求证：Sn≤2m＋1＋3；(3)若an为正整数，求证：当n>1＋log2a1(n∈N)时，都有an＝0.题四：定义数列，如果存在常数，使对任意正整数，总有成立，那么我们称数列为“摆动数列”．（1）设，（），，判断数列、是否为“摆动数列”，并说明理由；（2）已知“摆动数列”满足，，求常数的值；（3）设，且数列的前项和为，求证：数列是“摆动数列”，并求出常数的取值范围.-4-\n数列与函数、不等式综合问题选讲经典精讲课后练习参考答案题一：－3详解：将A、B两点坐标代入f(x)得解得∴f(x)＝·2x.∴f(n)＝·2n＝2n－3.∴an＝log2f(n)＝n－3.令an≤0，即n－3≤0，∴n≤3.∴数列第3项小于或等于零，故S3或S2最小．S3＝a1＋a2＋a3＝－2＋(－1)＋0＝－3.题二：（1）an＝n＋;(2)m最小＝2022.详解：(1)∵an＋1＝f()＝＝an＋，∴{an}是以为公差，首项a1＝1的等差数列，∴an＝n＋.(2)当n≥2时，bn＝＝＝(－)，当n＝1时，上式同样成立．∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)，∵Sn<，即(1－)<对一切n∈N*成立，又(1－)随n递增，且(1－)<，∴≤，∴m≥2022，∴m最小＝2022.题三：（1）2或0；（2）省略；（3）省略-4-\n详解：(1)设a1＝2k，则a2＝k，由条件知2k＋a3＝2k，∴a3＝0.分两种情况讨论：若k是奇数，则a3＝＝＝0，∴k＝1，a1＝2，a2＝1，a3＝0，若k是偶数，则a3＝＝＝0，∴k＝0，a1＝0，a2＝0，a3＝0，∴a1的值为2或0.(2)当m>3时，a1＝2m＋3，a2＝2m－1＋1，a3＝2m－2，a4＝2m－3，a5＝2m－4，…，am＝2，am＋1＝1，am＋2＝…＝an＝0，∴Sn≤Sm＋1＝1＋2＋…＋2m＋4＝2m＋1＋3.(3)∵n>1＋log2a1，∴n－1>log2a1，∴2n－1>a1，由定义可知：an＋1＝，∴an＋1≤，∴≤.∴an＝··…··a1≤a1，∴an<·2n－1＝1，∵an∈N，∴an＝0，综上可知：当n>1＋log2a1(n∈N)时，都有an＝0.题四：（1）不是“摆动数列”；是“摆动数列”.（2）；（3）详解：（1）假设数列是“摆动数列”，即存在常数，总有对任意成立，不妨取时则，取时则，显然常数不存在，所以数列不是“摆动数列”；由，于是对任意成立，其中.所以数列是“摆动数列”.（2）由数列为“摆动数列”，，即存在常数，使对任意正整数，总有成立；-4-\n即有成立.则，所以.同理.所以，解得即.同理，解得，即.综上.（3）证明：由，显然存在，使对任意正整数，总有成立，所以数列是“摆动数列”；当为奇数时递减，所以，只要即可当为偶数时递增，，只要即可综上，的取值范围是.-4-