【北京特级教师 二轮复习精讲辅导】2022届高考数学 数列与函数、不等式综合问题选讲经典精讲课后练习一 理
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数列与函数、不等式综合问题选讲经典精讲题一：设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2022x1＋log2022x2＋…＋log2022x2022的值为________．题二：已知定义域为R的二次函数的最小值为0，且有，直线被的图像截得的弦长为，数列满足，（1）求函数的解析式；（2）求数列的通项公式；（3）设，求数列的最值及相应的.题三：已知函数，数列{an}满足条件：a1≥1，an+1≥f′(an+1)．试比较与1的大小，并说明理由．题四：已知数列的前项和为,且对于任意,总有.(1)求数列的通项公式;(2)在与之间插入个数,使这个数组成等差数列,当公差满足时,求的值并求这个等差数列所有项的和;(3)记,如果(),问是否存在正实数,使得数列是单调递减数列?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.-4-\n数列与函数、不等式综合问题选讲经典精讲课后练习参考答案题一：－1详解：因为y′＝(n＋1)xn，所以在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，所以＝n＋1，所以xn＝，所以log2022x1＋log2022x2＋…＋log2022x2022＝log2022(x1·x2·…·x2022)＝log2022(··…·)＝log2022＝－1.题二：（1）;(2)；（3）当时，有最小值是，当时，有最大值是0.详解：（1）设，则直线与图像的两个交点为（1，0），，.（2）数列是首项为1，公比为的等比数列（3）令，则-4-\n，的值分别为……，经比较距最近，∴当时，有最小值是，当时，有最大值是0.题三：小于1详解：∵f′(x)=x2-1，an+1≥f′（an+1），∴an+1≥（an+1）2-1．∵函数g（x）=（x+1）2-1=x2+2x在区间[1，+∞）上单调递增，于是由an≥1，得a2≥（a1+1）2-1≥22-1，由此猜想：an≥2n-1．以下用数学归纳法证明这个猜想：①当n=1时，1=a1≥21-1=1，结论成立；②假设n=k时结论成立，即ak≥2k-1，则当n=k+1时，由g（x）=（x+1）2-1在区间[1，+∞）上单调递增知，ak+1≥（ak+1）2-1≥22k-1≥2k+1-1，即n=k+1时，结论也成立．由①、②知，对任意n∈N*，都有an≥2n-1．即1+an≥2n，∴，∴．题四：（1）;(2)，;(3)详解：(1)当时,由已知,得.当时,由,,两式相减得,即,所以是首项为,公比为的等比数列.所以,()(2)由题意,,故,即,因为,所以,即,解得,所以.所以所得等差数列首项为,公差为,共有项-4-\n所以这个等差数列所有项的和所以,,(3)由(1)知,所以由题意,,即对任意成立,所以对任意成立因为在上是单调递增的,所以的最小值为.所以.由得的取值范围是.所以,当时,数列是单调递减数列-4-
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