【备战2022】北京中国人民大学附中高考数学（题型预测+范例选讲）综合能力题选讲第14讲立体几何中的有关计算（含详解）

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立体几何中的有关计算题型预测立体几何中的计算主要是求角和距离．其中二面角的平面角和点到平面的距离（体积）常常作为考查的重点．范例选讲例1长方体中，，，是侧棱中点．（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求二面角的大小；（3）求三棱锥的体积．讲解：（1）要求线面所成角，首先需要找到这个角，为此，我们应该先作出面的一条垂线．不难发现，正为所求．由长方体知：，又，所以，．在矩形中，为中点且，，所以，，所以，为等腰直角三角形，．所以，面．所以，就是直线与平面所成的角，为．（2）要作出二面角的平面角，一般的思路是最好能找到其中一个面的一条垂线，则可利用三垂线定理（或逆定理）将其作出．注意到，所以，面，所以，只需在内过点作4\n于F，则面．过作于G，连EG，则就是二面角的平面角．在中，，所以，．在中，．在中，．所以，二面角的平面角的大小为．（3）要求三棱锥的体积，注意到（2）中已经求出了点到平面的距离EF．所以，．另一方面，也可以利用等积转化．因为，所以，．所以，点A到平的距离就等于点到平的距离．所以，．点评：求角的一般方法是：先作出所求角，然后再解三角形．利用三垂线定理作出二面角的平面角是很常用的方法．例2如图：三棱台中，侧棱⊥底面，，，，直线与所成的角等于60°．4\n（1）求二面角的大小；（2）求点到平面的距离．讲解无论从已知（直线与所成的角等于60°）的角度还是从所求（二面角）的角度，过作的平行线都是当然之举．在平面中，过作交于点，连接，则就是直线与所成的角．所以，．又因为⊥底面，所以，⊥底面．在平面内过点作于，连，则，所以，就是二面角的平面角．在中，．在Rt中，．在Rt中，．在Rt中，．所以，二面角的平面角的大小为：．（2）由为中点，故点B到平面的距离等于点D到平面的距离的2倍，作于H．由（1）知，所以，，所以，，所以，就是点D到平面的距离．4\n在Rt中，．所以，点B到平面的距离等于．另外，我们也可以用体积法求出这个距离．设点B到平面的距离为．则由及，可得：．所以，点B到平面的距离等于．点评等积变形是求体积和求距离时常用的方法．4

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所属：高考 - 二轮专题

发布时间：2022-08-26 00:29:42 页数：4

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文章作者：U-336598

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