【备战2022】北京中国人民大学附中高考数学（题型预测+范例选讲）综合能力题选讲 第15讲 立体几何中的有关证明（含详解）

立体几何中的有关证明题型预测立体几何中的证明往往与计算结合在一起考查。三垂线定理及其逆定理是重点考查的内容。范例选讲例1．已知斜三棱柱ABC-A’B’C’的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°<α<90°），B’在底面上的射影D落在BC上。（1）求证：AC⊥面BB’C’C。（2）当α为何值时，AB’⊥BC’，且使得D恰为BC的中点。讲解：（1）∵B’D⊥面ABC，AC面ABC，∴B’D⊥AC，又AC⊥BC，BC∩B’D=D，∴AC⊥面BB’C’C。（2）由三垂线定理知道：要使AB’⊥BC’，需且只需AB’在面BB’C’C内的射影B’C⊥BC’。即四边形BB’C’C为菱形。此时，BC=BB’。因为B’D⊥面ABC，所以，就是侧棱B’B与底面ABC所成的角。由D恰好落在BC上，且为BC的中点，所以，此时=。即当α=时，AB’⊥BC’，且使得D恰为BC的中点。例2．如图：已知四棱锥中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC中点。（1）求证：平面EDB⊥平面PBC；（2）求二面角的平面角的正切值。讲解：（1）要证两个平面互相垂直，常规的想法是：证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线。首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面PDC为正三角形，所以，，那么我们自然想到：是否有？这样的想法一经产生，证明它并不是一件困难的事情。∵面PDC⊥底面ABCD，交线为DC，3\n∴DE在平面ABCD内的射影就是DC。在正方形ABCD中，DC⊥CB，∴DE⊥CB。又，，∴DE⊥。又面EDB，∴平面EDB⊥平面PBC。（2）由（1）的证明可知：DE⊥。所以，就是二面角的平面角。∵面PDC⊥底面ABCD，交线为DC，又平面ABCD内的直线CB⊥DC。∴CB⊥面PDC。又面PDC，∴CB⊥PC。在Rt中，。点评：求二面角的平面角，实际上是找到棱的一个垂面，事实上，这个垂面同时垂直于二面角的两个半平面。例3．如图：在四棱锥中，⊥平面，∠，，，为的中点。（1）求证：平面；（2）当点到平面的距离为多少时，平面与平面所成的二面角为？讲解：题目中涉及到平面与平面所成的二面角，所以，应作出这两个平面的交线（即二面角的棱）。另一方面，要证平面，应该设法证明CE平行于面内的一条直线，充分利用中点（中位线）的性质，不难发现，刚刚做出的二面角的棱正好符合要求。（1）延长BC、AD交于点F。在中，∠，所以，AB、CD都与AF垂直，所以，CD//AB，所以，∽。又，，所以，点D、C分别为线段AF、BF的中点。3\n又因为为的中点，所以，EC为的中位线，所以，EC//SF。又，，所以，平面。（2）因为：⊥平面，AB平面，所以，AB。又ABAF，，所以，AB面。过A作AHSF于H，连BH，则BHSF，所以，就是平面与平面所成的二面角的平面角。在Rt中，要使=，需且只需AH=AB=。此时，在SAF中，，所以，。在三棱锥S-ACD中，设点A到面SCD的距离为h，则h=因为AB//DC，所以，AB//面SCD。所以，点A、B到面SCD的距离相等。又因为E为SB中点，所以，点E到平面SCD的距离就等于点B到面SCD距离的一半，即。点评：探索性的问题，有些采用先猜后证的方法，有些则是将问题进行等价转化，在转化的过程中不断探求结论。3