【备战2022】高考数学 2022届全国统考区（甘肃、贵州、云南）精选试题分类汇编14 导数与积分 理

备战2022年高考之2022届全国统考区（甘肃、贵州、云南）精选理科试题（大部分详解）分类汇编14：导数与积分一、选择题．（云南师大附中2022届高三高考适应性月考卷（三）理科数学试题）如图3，直线y=2x与抛物线y=3－x2所围成的阴影部分的面积是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，故选D.．（云南省昆明一中2022届高三新课程第一次摸底测试数学理）函数处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为A．B．C．D．【答案】D【解析】，所以在处的切线效率为，所以切线方程为，令，得，令，得，所以所求三角形的面积为，选D.．（贵州省六校联盟2022届高三第一次联考理科数学试题）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数）．下面四个图象中，的图象大致是（　　图3）38\n．．．．【答案】C【解析】由条件可知当时，，函数递减，当时，，函数递增，所以当时，函数取得极小值.当时，，所以，函数递增，当，，所以，函数递减，所以当时，函数取得极大值.所以选C.．（【解析】云南省玉溪一中2022届高三上学期期中考试理科数学）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()A.3B.2C.1D.【答案】A【解析】函数的定义域为，函数的导数为，由，得，解得或（舍去），选A.．（云南省昆明一中2022届高三第二次高中新课程双基检测数学理）曲线轴所围成图形的面积为A．1B．2C．D．38\n【答案】B【解析】根据积分的应用可知所求面积为，选B.．（【解析】贵州省四校2022届高三上学期期末联考数学（理）试题）如果的展开式中的常数项为，则直线与曲线围成图形的面积为（）A.B.9C.D.【答案】C【解析】展开式的通项为，所以当时，。即常数项为，所以直线方程为，由得或，所以曲线所围成图形的面积为，选C.．（甘肃省天水一中2022届高三下学期五月第二次检测（二模）数学（理）试题）过点A(2,1)作曲线f(x)=x-x的切线的条数最多是()A.3B.2C.1D.0 【答案】A ．（云南师大附中2022届高三高考适应性月考卷（三）理科数学试题）已知为R上的可导函数，且均有′（x），则有（）A．B．C．D．【答案】A【解析】构造函数则，因为，均有并且，所以，故函数在R上单调递减，所以，即，也就是，故选A.．（甘肃省兰州一中2022届高三上学期12月月考数学（理）试题）设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,38\n且g(3)=0.则不等式的解集是A．（－3,0)∪(3,+∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞,-3)∪(3,+∞)D．(－∞,－3)∪(0,3)【答案】D【解析】构造函数，因为当x＜0时,，所以当x＜0时，，所以函数在上单调递增，又因为f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以是奇函数，所以函数在上单调递增，又g(3)=0.所以，所以不等式的解集是(－∞,－3)∪(0,3)。．（贵州省遵义四中2022届高三第四月考理科数学）对于三次函数（），定义：设是函数的导数，若方程有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数的“拐点”．有同学发现:“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，若函数，则=（）（A）2022（B）2022（C）2022（D）2022【答案】A【解析】令，，则g（x）=h（x）+m（x）．则，令，所以h（x）的对称中心为（，1）．设点p（x0，y0）为曲线上任意一点，则点P关于（，1）的对称点P′（1﹣x0，2﹣y0）也在曲线上，∴h（1﹣x0）=2﹣y0，∴h（x0）+h（1﹣x0）=y0+（2﹣y0）=2．38\n∴h（）+h（）+h（）+h（）+…+h（）=[h（）+h（）]+[h（）+h（）]+[h（）+h（）]+…+[h（）+h（）]=1005×2=2022．由于函数m（x）=的对称中心为（，0），可得m（x0）+m（1﹣x0）=0．∴m（）+m（）+m（）+m（）+…+m（）=[m（）+m（）]+[m（）+m（）]+[m（）+m（）]+…+[m（）+m（）]=1005×0=0．∴g（）+g（）+g（）+g（）+…+g（）=h（）+h（）+h（）+h（）+…+h（）+m（）+m（）+m（）+m（）+…+m（）=2022+0=2022，选A.．（云南师大附中2022届高考适应性月考卷(八)理科数学试题（详解））已知方程(为实常数)有两个不等实根,则实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】, 令,直线过定点, 设直线与的切点为,由于, 所以,切线斜率, 当时,直线与的图象有2个交点.．（贵州省贵阳市2022届高三适应性监测考试（二）理科数学word版含答案）定积分的值等于A.B.C.D.【答案】B38\n．（云南省昆明市2022届高三复习适应性检测数学（理）试题）若函数的图象上任意点处切线的倾斜角为,则的最小值是(A)(B)(C)(D)【答案】B．（云南省玉溪一中2022届高三第五次月考理科数学）设定义在R上的函数是最小正周期为的偶函数，是的导函数，当时，；当且时，，则函数在上的零点个数为()A.2B.4C.5D.8【答案】B【解析】由知，当时，导函数，函数递增，当时，导函数，函数递减。由题意可知函数的草图为，由,即，由图象可知方程上的根的个数为为4个，选B.．（甘肃省2022届高三第一次诊断考试数学（理）试题）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为A．B．C．D．【答案】B【解析】根据图像可得：，再由定积分的几何意义，可求得面积为.．（云南省玉溪一中2022届高三第三次月考理科数学）如图所示，曲线和曲线38\n围成一个叶形图（阴影部分），则该叶形图的面积是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由，解得或，所以根据积分的应用可得阴影部分的面积为，选D.．（贵州省遵义四中2022届高三第四月考理科数学）过点且与曲线相切的直线方程是（）（A）（B）（C）　　（D）或【答案】D【解析】设点是曲线上的任意一点，则有。导数则切线斜率，所以切线方程为，即，整理得，将点代入得，即，即，整理得，解得或，代入切线方程得切线为或，选D.．（云南师大附中2022届高三高考适应性月考卷（四）理科数学试题）已知定义在上的函数，则曲线在点处的切线方程是A．B．C．D．【答案】A【解析】令，解得.对求导，得+2x−1+cosx，令，解得，故切线方程为.选A.二、填空题．（云南省玉溪一中2022届高三第五次月考理科数学）已知不等式38\n的解集为（-1,2），则。【答案】【解析】由得，即，即，因为不等式的解集为，所以，解得。所以。．（甘肃省兰州一中2022届高三上学期12月月考数学（理）试题）从如图所示的长方形区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为______.【答案】【解析】长方形的面积为，阴影部分的面积为，所以点取自阴影部分的概率为。．（云南省玉溪一中2022届高三第五次月考理科数学）已知函数有零点，则的取值范围是。【答案】【解析】，有，得。当时，，当时，，所以当时，函数取得极小值，所以要使函数有零点，则有，即，即，所以的取值范围是。38\n．（云南省昆明一中2022届高三新课程第一次摸底测试数学理）=。【答案】【解析】．（甘肃省兰州一中2022届高三上学期12月月考数学（理）试题）已知函数，.若,使,则实数的取值范围是________________.【答案】【解析】要使,，使，只需在的最小值大于等于在上的最小值，因为在上成立，所以在单调递增，所以。因为是单调递减函数，所以，所以。．（【解析】甘肃省天水市一中2022届高三上学期第三次考试数学理试题）_【答案】【解析】。．（【解析】云南省玉溪一中2022届高三上学期期中考试理科数学）已知函数,若,则.【答案】或【解析】因为，所以，即38\n，所以，即，解得或。．（甘肃省天水一中2022届高三下学期五月第二次检测（二模）数学（理）试题）已知在区间(a,b)上,f(x)>0,f′(x)>0,对x轴上的任意两点(x1,0),(x2,0),(a<x1<x2<b)都有f()>.若S1=f(x)dx,S2=(b-a),S3=f(a)(b-a),则S1、S2、S3的大小关系为_____________________.【答案】S1>S2>S3．（云南师大附中2022届高三高考适应性月考卷（三）理科数学试题）在区间[－6，6]，内任取一个元素xO，若抛物线y=x2在x=xo处的切线的倾角为，则的概率为。【答案】【解析】当α∈时，斜率或，又，所以或，所以P=.三、解答题．（云南省玉溪一中2022届高三第五次月考理科数学）（本小题满分12分）已知函数.(Ⅰ)当时，讨论的单调性；（Ⅱ）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围。【答案】38\n（Ⅱ）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意，有，又已知存在，使，所以，，即存在，使，即，即，所以，解得，即实数取值范围是。38\n．（甘肃省兰州一中2022届高三上学期12月月考数学（理）试题）已知函数，（1）讨论的单调性，（2）设，证明：当时，，（3）若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：【答案】解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)(ⅰ)若时,,所以f(x)在(0,+∞)内单调递增(ⅱ)若时,由得,且内单调递增时f(x)单调递减(2)设当时，，而∴即时(3)由(1)可得，当，f(x)单调递增，所以f(x)与x轴至多有一个交点，不合题意.故a>0,从而,且不妨设，则由(2)知即．（【解析】甘肃省天水市一中2022届高三上学期第三次考试数学理试题）38\n(本小题12分)已知函数f(x)＝，g(x)＝alnx，a∈R.(1)设h(x)＝f(x)－g(x)，当h(x)存在最小值时，求最小值φ(a)的解析式；(2)对于(1)中的φ(a)，证明当a∈(0，＋∞)时，φ(a)≤1.【答案】【解】　(1)由条件知h(x)＝－alnx(x＞0)．∴h′(x)＝－＝.①当a＞0时，令h′(x)＝0，解得x＝4a2，∴当0＜x＜4a2时，h′(x)＜0，h(x)在(0，4a2)上递减；当x＞4a2时，h′(x)＞0，h(x)在(4a2，＋∞)上递增．∴x＝4a2是h(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点．∴最小值φ(a)＝h(4a2)＝2a－aln4a2＝2a(1－ln2a)．②当a≤0时，h′(x)＝＞0，h(x)在(0，＋∞)上递增，无最小值．故h(x)的最小值为φ(a)＝2a(1－ln2a)(a＞0)．(2)由(1)知φ(a)＝2a(1－ln2a)，(a＞0)．则φ′(a)＝－2ln2a，令φ′(a)＝0，解得a＝.当0＜a＜时，φ′(a)＞0，∴φ(a)在(0，)上递增；当a＞时，φ′(a)＜0，∴φ(a)在(，＋∞)上递减．∴φ(a)在a＝处取得极大值φ()＝1，∵φ(a)在(0，＋∞)上有且只有一个极值点，所以φ()＝1也是φ(a)的最大值．∴当a∈(0，＋∞)时，总有φ(a)≤1.．（云南师大附中2022届高考适应性月考卷(八)理科数学试题（详解））已知函数,,其中且.(1)判断函数的单调性;38\n(2)当时,求函数在区间上的最值;(3)设函数当时,若对于任意的,总存在唯一的,使得成立,试求的取值范围.【答案】解:(Ⅰ)依题意,, 当时,或, 所以在上单调递增;在上单调递减. 当时,或, 所以在上单调递减;在上单调递增. (Ⅱ)当时, 在上单调递减. 由(Ⅰ)知,在上单调递减, 所以在上单调递减. ; . (Ⅲ)当,时,, 由(Ⅰ)知在上单调递减, 从而,即; 当,时,,在上单调递增, 从而,即. 对于任意的,总存在唯一的,使得成立, 38\n只需,即成立即可. 记函数,易知在上单调递增,且, 所以的取值范围为.．（贵州省贵阳市2022届高三适应性监测考试（二）理科数学word版含答案）已知函数在处取得极值,且在x=l处的切线的斜率为1. (I)求b,c的值及f(x)的单调减区间.(II)设p>0,q>0,求证:.【答案】解:(Ⅰ) ,∴,即,∴ ∴,又,∴,∴ 综上可知 ,定义域为>0, 由<0得0<<,∴的单调减区间为 (Ⅱ)欲证成立 需证成立38\n 即证 令,∵>0,>0,∴>0,即证 令则 ∴ ①当>,即0<<1时,>0,即>0 在(0,1)上递增,∴<=0, ②当<,即>1时,<0,即<0 在(1,+∞)上递减,∴<=0, ③当=,即=1时,==0 综合①②③知即 即 ．（甘肃省兰州一中2022高考冲刺模拟(一)数学（理））已知函数，（其中）．（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）若函数在区间内有两个零点，求正实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：当时，．（说明：e是自然对数的底数，e=2.71828…）.38\n【答案】解：（Ⅰ），∴（，），由，得，由，得，故函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的极小值为，无极大值．3分（Ⅱ）函数，则，令，∵，解得，或（舍去），当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．函数在区间内有两个零点，只需即∴故实数a的取值范围是．7分（Ⅲ）问题等价于．由（Ⅰ）知的最小值为．设，得在上单调递增，在上单调递减．∴，∵=，∴，∴，故当时，．12分．（甘肃省河西五市部分普通高中2022届高三第二次联合考试数学（理）试题）已知函数（Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值及函数的单调区间；（Ⅱ）设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围．38\n【答案】（12分）【解】（Ⅰ），由得，…（2分）得其单调递增区间为单调递减区间为.（5分）（Ⅱ）若要命题成立，只须当时，，由可知当时,所以只须……（7分）对来说，，①当时，当时，显然小于0，满足题意，当时，可令求导可知该函数在时单调递减，，满足题意，所以满足题意，②当时，在上单调递增，得综上所述，满足题意的……（12分）．（云南省昆明一中2022届高三第二次高中新课程双基检测数学理）已知函数的图象关于点对称。（I）求函数的单调区间；（II）设函数使得成立，求c的取值范围。38\n【答案】38\n．（云南师大附中2022届高三高考适应性月考卷（三）理科数学试题）（本小题满分12分）已知f(x)=xlnx.（I）求f(x)在[t，t+2]（t>0）上的最小值；（Ⅱ）证明：都有。【答案】（本小题满分12分）（Ⅰ）解：，令.当单调递减；当单调递增.…………………………………………（2分）因为，38\n（1）当0＜t＜时；（2）当t≥时，所以………………………………………………………（6分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当时，的最小值是，（当且仅当x=时取到最小值）问题等价于证明，设，则，易得，（当且仅当x=1时取到最大值）从而对一切，都有成立.………………………………（12分）．（贵州省六校联盟2022届高三第一次联考理科数学试题）已知函数在点处的切线方程为．（I）求，的值；（II）对函数定义域内的任一个实数，恒成立，求实数的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）由而点在直线上，又直线的斜率为故有（Ⅱ）由（Ⅰ）得由及38\n令令，故在区间上是减函数，故当时，，当时，从而当时，，当时，在是增函数，在是减函数，故要使成立，只需故的取值范围是．（云南省昆明市2022届高三复习适应性检测数学（理）试题）设函数(,为常数) (Ⅰ)讨论的单调性; (Ⅱ)若,证明:当时,.【答案】解:(Ⅰ)的定义域为,, (1)当时,解得或;解得 所以函数在,上单调递增,在上单调递减; (2)当时,对恒成立,所以函数在上单调递增; (3)当时,解得或;解得 所以函数在,上单调递增,在上单调递减. (Ⅱ)证明:不等式等价于 因为,所以, 因此 令,则 38\n令得:当时, 所以在上单调递减,从而.即, 在上单调递减,得:, 当时,.. ．（云南省昆明一中2022届高三新课程第一次摸底测试数学理）已知函数（I）若函数在定义域上是减函数，求a的取值范围；（II）若函数存在极值，且所有极值之和大于求a的取值范围。【答案】38\n．（【解析】云南省玉溪一中2022届高三上学期期中考试理科数学）（本小题满分13分）设函数（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）若函数f(x)在x∈[－1，1]内没有极值点，求a的取值范围；（Ⅲ）若对任意的a∈[3,6]，不等式在x∈[－2,2]上恒成立，求m的取值范围.【答案】解：（Ⅰ）∵f′(x)=3x2+2ax－a2=3(x－)(x+a),又a>0，∴当x<－a或x>时f′(x)>0；当－a<x<时，f′(x)<0.∴函数f(x)的单调递增区间为（－∞，－a），(，+∞)，单调递减区间为38\n(－a，).(4分）（Ⅱ）由题设可知，方程f′(x)=3x2+2ax－a2=0在[－1，1]上没有实根∴，解得a>3.（8分）（Ⅲ）∵a∈[3,6]，∴由（Ⅰ）知∈[1，2]，－a≤－3又x∈[－2,2]∴f(x)max=max{f(－2),f(2)}而f(2)－f(－2)=16－4a2<0f(x)max=f(-2)=－8+4a+2a2+m（10分）又∵f(x)≤1在[－2，2]上恒成立∴f(x)max≤1即－8+4a+2a2+m≤1即m≤9－4a－2a2,在a∈[3，6]上恒成立∵9－4a－2a2的最小值为－87∴m≤－87.（13分）．（云南省昆明三中2022届高三高考适应性月考（三）理科数学）已知函数在处取得极值.(1)求实数的值；(2)若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围；(3)证明:对任意的正整数,不等式都成立.【答案】解:(1)…………1分时,取得极值,…………2分故解得经检验符合题意.…………3分（2）由知由,得38\n令则在区间上恰有两个不同的实数根等价于在区间上恰有两个不同的实数根.当时,,于是在上单调递增;当时,,于是在上单调递减.…………6分依题意有,解得,…………8分(3)的定义域为,由(1)知,令得,或(舍去),当时,,单调递增;当时,,单调递减.为在上的最大值.,故(当且仅当时,等号成立)对任意正整数,取得,…………10分.故.…………12分（方法二）数学归纳法证明：当时，左边，右边，显然，不等式成立.假设时，成立，则时，有.做差比较：38\n构建函数，则，单调递减，.取，即，亦即，故时，有，不等式成立.综上可知，对任意的正整数,不等式都成立.------12分．（贵州省遵义四中2022届高三第四月考理科数学）（满分12分）设函数．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（II）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．【答案】解：（1）函数的定义域为，………………………………………………1分∵，………………………………………2分∵，则使的的取值范围为，38\n故函数的单调递增区间为．……………………………………………4分（2）方法1：∵，∴．…………………………6分令，∵，且，由．∴在区间内单调递减，在区间内单调递增，……………………8分故在区间内恰有两个相异实根……10分即解得：．综上所述，的取值范围是．………………………………12分方法2：∵，∴．…………………………6分即，令，∵，且，由．∴在区间内单调递增，在区间内单调递减．……………………8分∵，，，又，故在区间内恰有两个相异实根．……………………………………10分38\n即．综上所述，的取值范围是．……………………………12分．（【解析】贵州省四校2022届高三上学期期末联考数学（理）试题）已知函数（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）证明：。【答案】解：（1）设上单调递增。当；当。因此，。（6分）（2）原不等式就是即令上单调递增，当，所以当（12分）．（云南省玉溪一中2022届高三第四次月考理科数学）（本题12分）（Ⅰ）已知函数在上是增函数,求的取值范围;38\n（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下,设，,求的最小值.【答案】解:（1）,∵f（x）在（0，1）上是增函数,∴2x+-a≥0在（0,1）上恒成立,即a≤2x+恒成立,∴只需a≤（2x+）min即可.…………4分∴2x+≥（当且仅当x=时取等号）,∴a≤…………6分（2）设设，其对称轴为t=，由（1）得a≤，∴t=≤＜…………8分则当1≤≤,即2≤a≤时,h（t）的最小值为h（）=-1-,当＜1,即a＜2时，h（t）的最小值为h（1）=-a…………10分当2≤a≤时g（x）的最小值为-1-,当a＜2时g（x）的最小值为-a.…………12分．（甘肃省天水一中2022届高三下学期五月第二次检测（二模）数学（理）试题）设函数,其中.⑴当时,判断函数在定义域上的单调性;⑵求函数的极值点;⑶证明对任意的正整数,不等式成立.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.【答案】 38\n ⑵①由⑴得当时函数无极值点 ②时,有两个相同的解 时,,时, 函数在上无极值点 ③当时,有两个不同解,, 时,,即 时,、随的变化情况如下表:↘极小值↗38\n; 综上所述:时,有唯一极小值点;时,有一个极大值点和一个极小值点;时,无极值点. ．（云南省部分名校2022届高三第一次统一考试理科数学（玉溪一中、昆明三中、楚雄一中））已知函数为常数．（1）当时，求的最大值；（2）若在区间（0，e］上的最大值为，求的值；（3）当时，试推断方程是否有实数解。38\n【答案】解：（1）当（2）．（云南省部分名校（玉溪一中、昆明三中、楚雄一中）2022届高三下学期第二次统考数学（理）试题）已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间和极值;(Ⅱ)已知对任意,都成立,求实数的取值范围.(Ⅲ)是否存在实数,使得函数在上的最小值为0?若存在,求出的值; 若不存在,请说明理由.38\n请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.【答案】 38\n ．（云南省玉溪一中2022届高三第三次月考理科数学）（本小题满分12分）已知函数.(1)求的单调区间；(2)若对，都有，求的取值范围。【答案】解：(1)，令得当时，在和上递增，在上递减；当时，在和上递减，在上递增(2)当时，；所以不可能对，都有；当时有（1）知在上的最大值为，所以对，都有38\n即，故对，都有时，的取值范围为。．（甘肃省2022届高三第一次诊断考试数学（理）试题）已知函数f（x）=alnx－bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=－3x+21n2+2．（I）求a，b的值；（Ⅱ）若方程f（x）+m=0在[，e]内有两个不等实根，求m的取值范围（e为自然对数的底数）；（Ⅲ）令g（x）=f（x）－kx，若g（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（其中x1<x2），AB的中点为C（xO，0），求证：g（x）在xO处的导数g′（xO）≠0．【答案】38\n．（云南师大附中2022届高三高考适应性月考卷（四）理科数学试题）（本小题满分12分）已知函数在处取得极值，且（1）求与满足的关系式；（2）求函数的单调区间．【答案】解：（Ⅰ），由得.………………………（4分）（Ⅱ）函数的定义域为，由（Ⅰ）可得．令，则，.时，，x138\n+0−0+↗↘↗所以单调递增区间为，，单调递减区间为.………（12分）38