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【最高考】2022届高考数学二轮专题突破高效精练 第24讲 高考题中的解答题解法
【最高考】2022届高考数学二轮专题突破高效精练 第24讲 高考题中的解答题解法
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第24讲 高考题中的解答题解法1.已知集合A={x|x2-(3a+3)x+2(3a+1)<0,x∈R},集合B=.(1)当4B时,求实数a的取值范围;(2)求使BA的实数a的取值范围.解:(1)若4∈B,则<0a<-或<a<4.所以当4B时,实数a的取值范围为[-,]∪[4,+∞).(2)A={x|(x-2)(x-3a-1)<0},B={x|a<x<a2+1}.①当a<时,A=(3a+1,2).要使BA,必须此时-1≤a≤-;②当a=时,A=,使BA的a不存在;③当a>时,A=(2,3a+1).要使BA,必须此时2≤a≤3.综上,使BA的实数a的取值范围是[2,3]∪[-1,-].2.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=a,点E、F分别在PD、BC上,且PE∶ED=BF∶FC.(1)求证:PA⊥平面ABCD;(2)求证:EF∥平面PAB.证明:(1)∵底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,∴AB=AD=AC=a.在△PAB中,∵PA2+AB2=2a2=PB2,∴PA⊥AB,同理PA⊥AD.又AB∩AD=A,∴PA⊥平面ABCD.(2)作EG∥PA交AD于G,连结GF,则==,∴GF∥AB.又AB平面PAB,GF平面PAB,∴GF∥平面PAB.同理EG∥平面PAB.又GF∩EG=G,∴平面EFG∥平面PAB.又EF平面EFG,-10-\n∴EF∥平面PAB.3.如图,现要在边长为100m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”.以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm(x不小于9)的扇形花坛,以正方形的中心为圆心建一个半径为x2m的圆形草地.为了保证道路畅通,岛口宽不小于60m,绕岛行驶的路宽均不小于10m.(1)求x的取值范围;(运算中取1.4)(2)若中间草地的造价为a元/m2,四个角花坛的造价为ax元/m2,其余区域的造价为元/m2,则当x取何值时,可使“环岛”的整体造价最低?解:(1)由题意得,解得即9≤x≤15.(2)记“环岛”的整体造价为y元,则由题意得y=a×π×+ax×πx2+×[104-π×-πx2]=,令f(x)=-x4+x3-12x2,则f′(x)=-x3+4x2-24x=-4x,由f′(x)=0,解得x=10或x=15,列表如下:x9(9,10)10(10,15)15f′(x)-0+0f(x)极小值所以当x=10,y取最小值.答:当x=10m时,可使“环岛”的整体造价最低.4.在直角坐标系xOy中,动点P到定点F(1,0)的距离与到定直线m:x=4的距离之比为,记动点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)记曲线E与y轴的正半轴交点为D,过点D作直线l与曲线E交于另一点M,与x轴交于点A(不同于原点O),点M关于x轴的对称点为N,直线DN交x轴于点B.试探究OA·OB是否为定值?若是定值,请求出该定值,否则请说明理由.解:(1)设点P(x,y),曲线E是椭圆,其方程为+=1.(2)设直线l方程为y=kx+.令y=0,得A.-10-\n由方程组可得3x2+4(kx+)2=12,即(3+4k2)x2+8kx=0.所以M,N,所以kDN==.直线DN的方程为y=x+.令y=0,得B.所以OA·OB=|-|·|-|=4,故OA·OB为定值4.5.已知函数f(x)=lnx-mx(m∈R).(1)若曲线y=f(x)过点P(1,-1),求曲线y=f(x)在点P处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值;(3)若函数f(x)有两个不同的零点x1、x2,求证:x1x2>e2.(1)解:因为点P(1,-1)在曲线y=f(x)上,所以-m=-1,解得m=1.因为f′(x)=-1,所以切线的斜率为0,所以切线方程为y=-1.(2)解:因为f′(x)=-m=.①当m≤0时,x∈(1,e),f′(x)>0,所以函数f(x)在(1,e)上单调递增,则f(x)max=f(e)=1-me.②当≥e,即0<m≤时,x∈(1,e),f′(x)>0,所以函数f(x)在(1,e)上单调递增,则f(x)max=f(e)=1-me.③当1<<e,即<m<1时,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减,则f(x)max=f=-lnm-1.④当≤1,即m≥1时,x∈(1,e),f′(x)<0,函数f(x)在(1,e)上单调递减,则f(x)max=f(1)=-m.综上,当m≤时,f(x)max=1-me;当<m<1时,f(x)max=-lnm-1;当m≥1时,f(x)max=-m.(3)证明:不妨设x1>x2>0.因为f(x1)=f(x2)=0,所以lnx1-mx1=0,lnx2-mx2=0,可得lnx1+lnx2=m(x1+x2),lnx1-lnx2=m(x1-x2).要证明x1x2>e2,即证明lnx1+lnx2>2,也就是m(x1+x2)>2.因为m=,所以即证明>,-10-\n即ln>.令=t,则t>1,于是lnt>.令φ(t)=lnt-(t>1),则φ′(t)=-=>0.故函数φ(t)在(1,+∞)上是增函数,所以φ(t)>φ(1)=0,即lnt>成立.所以原不等式成立.6.已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)在函数y=x2的图象上,数列{bn}满足bn=6bn-1+2n+1(n≥2,n∈N*),且b1=a1+3.(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明列数是等比数列,并求数列{bn}的通项公式;(3)设数列{cn}满足对任意的n∈N*,均有an+1=+++…+成立,求c1+c2+c3+…+c2014的值.(1)解:∵点(n,Sn)在函数y=x2的图象上,∴Sn=n2(n∈N*),当n=1时,a1=S1=12=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,又a1=1也适合,∴{an}的通项公式为an=2n-1(n∈N*).(2)证明:∵bn=6bn-1+2n+1(n≥2),∴+1=+1=3·+3=3(n≥2).∵b1=a1+3=4,∴+1=3,∴是首项为3,公比为3的等比数列.∴+1=3·3n-1=3n,∴bn=6n-2n(n∈N*).(3)解:由(2)得bn+2n=6n,由题意得n∈N*均有an+1=+++…+,∴an=+++…+(n≥2),∴an+1-an==2(n≥2),∴cn=2·6n(n≥2).又a2==3,∴c1=3(b1+2)=3×6=18,∴cn=∴c1+c2+c3+…+c2014=18+2(62+63+64+…+62014)=6+2(6+62+63+…+62014)=(62015+9).滚动练习(八)1.已知集合P={x︱x2≤1,x∈R},M={a}.若P∪M=P,-10-\n则实数a的取值范围是________.答案:[-1,1]2.某市教师基本功大赛七位评委为某选手打出分数的茎叶图如图所示,去掉一个最高分和一个最低分后的5个数据的标准差为________.(茎表示十位数字,叶表示个位数字)7983456793答案:3.在等比数列{an}中,a1=,a4=-4,则|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=________.答案:2n-1-解析:数列{an}的公比为-2,数列{|an|}是首项为,公比为2的等比数列.4.计算:sin10°cos20°sin30°cos40°=________.答案:解析:sin10°cos20°sin30°cos40°===.5.已知D是△ABC边BC的中点,AB=2,AC=3,则·=________.答案:解析:·=(+)·(-)=(2-2)=(32-22)=.6.在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别是AC和BD,则四边形ABCD的面积为________.答案:10解析:AC=2,BD=2,S四边形ABCD=×2×2=10.7.已知f(x)=则不等式f(x2-x+1)<12的解集是____________.答案:(-1,2)8.若函数f(x)=x3+ax2+bx为奇函数,其图象的一条切线方程为y=3x-4,则b的值为________.答案:-3解析:因为f(x)是奇函数,所以a=0,f(x)=x3+bx.设f(x)在点(x0,y0)处的切线为y=3x-4,得解得b=-3.9.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的取值范围是____________.答案:[-2,2]10.设函数y=f(x)满足对任意的x∈R,f(x)≥0且f2(x+1)+f2(x)=9.已知当x∈[0-10-\n,1)时,有f(x)=2-|4x-2|,则f=____________.答案:解析:f2(x+1)+f2(x)=9,∴f2(x+2)+f2(x+1)=9,故f2(x+2)=f2(x).又f(x)≥0,∴f(x+2)=f(x).f=f=f.由f2(x+1)+f2(x)=9,得f2+f2=9,f=2,f2=5,f=.11.设数列{an}满足:a3=8,(an+1-an-2)(2an+1-an)=0(n∈N*),则a1的值大于20的概率为__________.答案:解析:(an+1-an-2)(2an+1-an)=0,得①an+1-an-2=0,又a3=8,故an=2n+2;②2an+1-an=0,则an+1=an,若{an}为等比数列,则由a3=8得an=32;若{an}不为等比数列,则a1=0;③a1=-4.综上,a1∈{4,-4,0,32},则a1的值大于20的概率为.12.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的导函数为f′(x).对任意x∈R,不等式f(x)≥f′(x)恒成立,则的最大值为__________.答案:2-2解析:∵f(x)=ax2+bx+c,∴f′(x)=2ax+b.∵对任意x∈R,不等式f(x)≥f′(x)恒成立,∴ax2+bx+c≥2ax+b恒成立,即ax2+(b-2a)x+(c-b)≥0恒成立,故Δ=(b-2a)2-4a(c-b)=b2+4a2-4ac≤0,且a>0,即b2≤4ac-4a2,故≤===≤=2-2.13.在△ABC中,内角∠A、∠B、∠C所对边长分别为a、b、c,·=8,∠BAC=θ,a=4.(1)求bc的最大值及θ的取值范围;(2)求函数f(θ)=2sin2+2cos2θ-的最值.解:(1)bc·cosθ=8,b2+c2-2bccosθ=42,即b2+c2=32.又b2+c2≥2bc,所以bc≤16,即bc的最大值为16.-10-\n即≤16,所以cosθ≥.又0<θ<π,所以0<θ≤.(2)f(θ)=·+1+cos2θ-=sin2θ+cos2θ+1=2sin+1.因为0<θ≤,所以<2θ+≤,故≤sin≤1.当2θ+=,即θ=时,f(θ)min=2×+1=2;当2θ+=,即θ=时,f(θ)max=2×1+1=3.14.某生产旅游纪念品的工厂,拟在2022年度进行系列促销活动.经市场调查和测算,该纪念品的年销售量x万件与年促销费用t万元之间满足3-x与t+1成反比例.若不搞促销活动,纪念品的年销售量只有1万件.已知工厂2022年生产纪念品的固定投资为3万元,每生产1万件纪念品另外需要投资32万元.当工厂把每件纪念品的售价定为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时,则当年的产量和销量相等.(利润=收入-生产成本-促销费用)(1)求出x与t所满足的关系式;(2)请把该工厂2022年的年利润y万元表示成促销费用t万元的函数;(3)试问当2022年的促销费投入多少万元时,该工厂的年利润最大?解:(1)设比例系数为k(k≠0),由题知3-x=.又t=0时,x=1,所以3-1=,所以k=2.所以x与t的关系是x=3-(t≥0).(2)依据题意可知工厂生产x万件纪念品的生产成本为(3+32x)万元,促销费用为t万元,则每件纪念品的定价为(·150%+)元/件.于是,y=x·-(3+32x)-t,进一步化简,得y=--(t≥0).因此,工厂2022年的年利润y=--(t≥0).(3)由(2)知,y=--(t≥0)=50-≤50-2=42,当且仅当=,即t=7时,取等号.所以,当2022年的促销费用投入7万元时,工厂的年利润最大,最大利润为42万元.15.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B,离心率为,右准线为l:x=4.M为椭圆上不同于A、B的一点,直线AM与直线l交于点P.-10-\n(1)求椭圆C的方程;(2)若=,判断点B是否在以PM为直径的圆上,并说明理由;(3)连结PB并延长交椭圆C于点N.若直线MN垂直于x轴,求点M的坐标.解:(1)由解得所以b2=3.所以椭圆方程为+=1.(2)因为=,所以xM=1,代入椭圆得yM=,即M.所以直线AM的方程为y=(x+2),解得P(4,3).所以=,=(2,3).因为·=≠0,所以点B不在以PM为直径的圆上.(3)因为MN垂直于x轴,由椭圆对称性可设M(x1,y1),N(x1,-y1).直线AM的方程为y=(x+2),所以yP=,直线BN的方程为y=(x-2),所以yP=,所以=.因为y1≠0,所以=-,解得x1=1.所以点M的坐标为或.16.已知函数f(x)=ex,a、b∈R,且a>0.(1)若a=2,b=1,求函数f(x)的极值;(2)设g(x)=a(x-1)ex-f(x).①当a=1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)≥1成立,求b的最大值;②设g′(x)为g(x)的导函数.若存在x>1,使g(x)+g′(x)=0成立,求的取值范围.解:(1)当a=2,b=1时,f(x)=ex,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).-10-\n所以f′(x)=ex.令f′(x)=0,得x1=-1,x2=,列表如下:x(-∞,-1)-1(-1,0)(,+∞)f′(x)+0--0+f(x)极大值极小值由表知f(x)的极大值是f(-1)=e-1,f(x)的极小值是f=4.(2)①(解法1)因为g(x)=(ax-a)ex-f(x)=(ax--2a)ex,当a=1时,g(x)=ex.因为g(x)≥1在x∈(0,+∞)上恒成立,所以b≤x2-2x-在x∈(0,+∞)上恒成立.记h(x)=x2-2x-(x>0),则h′(x)=.当0<x<1时,h′(x)<0,h(x)在(0,1)上是减函数;当x>1时,h′(x)>0,h(x)在(1,+∞)上是增函数.所以h(x)min=h(1)=-1-e-1.所以b的最大值为-1-e-1.(解法2)因为g(x)=(ax-a)ex-f(x)=(ax--2a)ex,当a=1时,g(x)=ex.因为g(x)≥1在x∈(0,+∞)上恒成立,所以g(2)=-e2>0,因此b<0.g′(x)=ex+ex=.因为b<0,所以当0<x<1时,g′(x)<0,g(x)在(0,1)上是减函数;当x>1时,g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上是增函数.所以g(x)min=g(1)=(-1-b)e-1,因为g(x)≥1在x∈(0,+∞)上恒成立,所以(-1-b)e-1≥1,解得b≤-1-e-1,因此b的最大值为-1-e-1.②(解法1)因为g(x)=ex,所以g′(x)=ex.由g(x)+g′(x)=0,得ex+ex=0,整理得2ax3-3ax2-2bx+b=0.存在x>1,使g(x)+g′(x)=0成立,等价于存在x>1,使2ax3-3ax2-2bx+b=0成立.-10-\n因为a>0,所以=.设u(x)=(x>1),则u′(x)=.因为x>1,u′(x)>0恒成立,所以u(x)在(1,+∞)是增函数,所以u(x)>u(1)=-1,所以>-1,即的取值范围为(-1,+∞).(解法2)因为g(x)=ex,所以g′(x)=ex.由g(x)+g′(x)=0,得ex+ex=0,整理得2ax3-3ax2-2bx+b=0.存在x>1,使g(x)+g′(x)=0成立,等价于存在x>1,使2ax3-3ax2-2bx+b=0成立.设u(x)=2ax3-3ax2-2bx+b(x≥1),u′(x)=6ax2-6ax-2b=6ax(x-1)-2b≥-2b,当b≤0时,u′(x)≥0,此时u(x)在[1,+∞)上单调递增,因此u(x)≥u(1)=-a-b.因为存在x>1,2ax3-3ax2-2bx+b=0成立,所以只要-a-b<0即可,此时-1<≤0,当b>0时,令x0=>=>1,得u(x0)=b>0,又u(1)=-a-b<0,于是u(x)=0在(1,x0)上必有零点,即存在x>1,2ax3-3ax2-2bx+b=0成立,此时>0,综上,的取值范围为(-1,+∞).-10-
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:21:04
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