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【步步高】2022届高考数学一轮复习 2.4.2 抛物线的几何性质(一)备考练习 苏教版
【步步高】2022届高考数学一轮复习 2.4.2 抛物线的几何性质(一)备考练习 苏教版
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2.4.2 抛物线的几何性质(一)一、基础过关1.设点A为抛物线y2=4x上一点,点B(1,0),且AB=1,则A的横坐标的值为________.2.以x轴为对称轴的抛物线的通径长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为______________.3.经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则的值是________.4.过抛物线y2=2px的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,若A、B在准线上的射影为A1、B1,则∠A1FB1=__________.5.等腰Rt△ABO内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则Rt△ABO的面积是________.6.如图所示,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若BC=2BF,且AF=3,则此抛物线的方程为________.7.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2).若x1+x2=6,则AB=________.二、能力提升8.如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2m,水面宽4m.水位下降1m后,水面宽________m.9.已知△ABC的三个顶点都在y2=32x上,A(2,8),且这个三角形的重心与抛物线的焦点重合,则直线BC的斜率是________.10.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.11.线段AB过x轴正半轴上一定点M(m,0),端点A、B到x轴的距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线.求抛物线的方程.12.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;-4-\n(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值.三、探究与拓展13.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则称AB为抛物线的焦点弦.求证:(1)y1y2=-p2;x1x2=;(2)+=.-4-\n答案1.0 2.y2=8x或y2=-8x3.-4 4.90°5.4p26.y2=3x7.88.29.-410.解 如图所示,设正三角形OAB的顶点A,B在抛物线上,且坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则y=2px1,y=2px2.又OA=OB,所以x+y=x+y,即x-x+2px1-2px2=0.整理得(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.∵x1>0,x2>0,2p>0,∴x1=x2.由此可得|y1|=|y2|,即线段AB关于x轴对称.由此得∠AOx=30°,∴y1=x1.与y=2px1联立,解得y1=2p,∴AB=2y1=4p.11.解 画图可知抛物线的方程为y2=2px(p>0),直线AB的方程为x=ky+m,由消去x,整理得y2-2pky-2pm=0,由根与系数的关系得y1y2=-2pm,由已知条件知|y1|·|y2|=2m,从而p=1,故抛物线方程为y2=2x.12.解 (1)直线AB的方程是y=2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=,由抛物线定义得-4-\nAB=x1+x2+p=9,所以p=4,抛物线方程为y2=8x.(2)由p=4,4x2-5px+p2=0,化简得x2-5x+4=0,从而x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,从而A(1,-2),B(4,4).设=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(1+4λ,-2+4λ),又y=8x3,即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.13.证明 (1)如图所示.抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,准线方程:x=-.设直线AB的方程为x=ky+,把它代入y2=2px,化简,得y2-2pky-p2=0.∴y1y2=-p2,∴x1x2=·===.(2)根据抛物线定义知FA=AA1=x1+,FB=BB1=x2+,∴+=+=+====.-4-
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 15:29:14
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文章作者:U-336598
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