【步步高】2022届高考数学一轮复习 1.3.2 空间几何体的体积备考练习 苏教版

1.3.2　空间几何体的体积一、基础过关1．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的________倍．2．正方体的内切球和外接球的体积之比为__________．3．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为________．4．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为________．5．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为________．6．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是________．7．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比．8．如图所示，在边长为5＋的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．二、能力提升9．如图所示，已知三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1—ABC1的体积为________．10．圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是______cm.11．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为______cm3.-4-\n12．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．三、探究与拓展13．阿基米德在他的许许多多的科学发现当中最为得意的一个发现是：图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球．在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的，球的表面积也是圆柱全面积的.请你试着证明．-4-\n答案1．22．1∶33．50π4．4∶95.6．487．解　截面EB1C1F将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台AEF－A1B1C1，另一部分是一个不规则几何体，故可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得．设棱柱的底面积为S，高为h，则△AEF的面积为S，由于V1＝VAEF－A1B1C1＝·h·(＋S＋)＝hS，剩余的不规则几何体的体积为V2＝V－V1＝hS－hS＝hS，所以两部分的体积之比为V1∶V2＝7∶5.8．解　设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，由已知条件，解得r＝，l＝4，S＝πrl＋πr2＝10π，h＝＝，V＝πr2h＝2π.9.10．411．612．解　由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝π·(r)2·3r－πr3＝πr3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为h，从而容器内水的体积是V′＝π·(h)2·h＝πh3，由V＝V′，得h＝r.即容器中水的深度为r.-4-\n13．解　设圆的半径为R，球的体积与圆柱的体积分别为V球和V柱，球的表面积与圆柱的全面积分别为S球及S柱，则有V球＝πR3，V柱＝πR2·2R＝2πR3，∴V球＝V球．S柱＝2πR·2R＋2πR2＝6πR2，S球＝4πR2＝S柱．-4-