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【步步高】2022届高考数学一轮复习 2.4.2 抛物线的几何性质(二)备考练习 苏教版
【步步高】2022届高考数学一轮复习 2.4.2 抛物线的几何性质(二)备考练习 苏教版
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2.4.2 抛物线的几何性质(二)一、基础过关1.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,则p的值为________.2.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为________.3.设O是坐标原点,F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,A是抛物线上的一点,与x轴正向的夹角为60°,则OA的长度为________.4.已知F是抛物线y=x2的焦点,P是该抛物线上的动点,则线段PF中点的轨迹方程是__________.5.探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,灯口直径为60cm,灯深40cm,则光源到反射镜顶点的距离是________cm.6.点P到A(1,0)和直线x=-1的距离相等,且点P到直线l:y=x的距离等于,则这样的点P的个数为________.7.根据条件求抛物线的标准方程.(1)抛物线的顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且焦点在直线x+y+2=0上;(2)抛物线的顶点在原点,焦点是圆x2+y2-4x=0的圆心.二、能力提升8.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作两弦AB和CD,其所在直线的倾斜角分别为与,则AB与CD的大小关系是____________.9.若点P在抛物线y2=x上,点Q在圆M:(x-3)2+y2=1上,则PQ的最小值是____.10.设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于点C,BF=2,则△BCF与△ACF的面积之比=________.11.已知抛物线顶点在原点,焦点在x轴上.又知此抛物线上一点A(1,m)到焦点的距离为3.(1)求此抛物线的方程;(2)若此抛物线方程与直线y=kx-2相交于不同的两点A、B,且AB中点横坐标为2,求k的值.12.在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A、B两点.(1)如果直线l过抛物线的焦点,求·的值;(2)如果·=-4,证明直线l必过一定点,并求出该定点.三、探究与拓展13.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线与x轴交点为Q,过Q点的直线l交抛物线于A、B两点.-4-\n(1)直线l的斜率为,求证:·=0;(2)设直线FA、FB的斜率为kFA、kFB,探究kFB与kFA之间的关系并说明理由.-4-\n答案1.2 2. 3.p4.x2=2y-1 5.5.6256.37.解 (1)直线x+y+2=0与x,y轴的交点坐标分别为(-2,0)和(0,-2),所以抛物线的标准方程可设为y2=-2px(p>0)或x2=-2py(p>0),由-=-2,得p=4,所以所求抛物线的方程为y2=-8x或x2=-8y.(2)圆x2+y2-4x=0的圆心为(2,0),故抛物线方程的形式为y2=2px(p>0).由=2得p=4,所以所求抛物线方程为y2=8x.8.AB>CD9.-110.11.解 (1)由题意设抛物线方程为y2=2px,其准线方程为x=-,∵A(1,m)到焦点的距离等于A到其准线的距离.∴1+=3,∴p=4.∴此抛物线的方程为y2=8x.(2)由,消去y得k2x2-(4k+8)x+4=0,∵直线y=kx-2与抛物线相交于不同的两点A、B,则有,解得k>-1且k≠0.又∵x1+x2==4,解得k=2或k=-1(舍去).∴所求k的值为2.12.(1)解 由题意知,抛物线焦点为(1,0),设l:x=ty+1,代入抛物线方程y2=4x,消去x,得y2-4ty-4=0.设A(x1,y1)、B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=-4,·=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2=t2y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2=-4t2+4t2+1-4=-3.(2)证明 设l:x=ty+b,代入抛物线方程y2=4x,消去x,得y2-4ty-4b=0,设A(x1,y1)、B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=-4b.∵·=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2-4-\n=-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b,令b2-4b=-4,∴b2-4b+4=0,∴b=2,∴直线l过定点(2,0).13.(1)证明 ∵Q,∴直线l的方程为y=,由.消去x得y2-2py+p2=0.解得A,B.而F,故=((1+)p,(1+)p),=((1-)p,(-1)p),∴·=-p2+p2=0.(2)解 kFA=-kFB或kFA+kFB=0.因直线l与抛物线交于A、B两点,故直线l方程:y=k(k≠0).由,消去x得ky2-2py+kp2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=p2.kFA=,kFB=,∴kFA====-kFB.-4-
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 15:29:15
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文章作者:U-336598
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