【科学备考】（新课标）2022高考数学二轮复习 第九章 平面解析几何 直线与圆、圆与圆的位置关系 理（含2022试题）

【科学备考】（新课标）2022高考数学二轮复习第九章平面解析几何直线与圆、圆与圆的位置关系理（含2022试题）理数1.(2022福建,6,5分)直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“△OAB的面积为”的(　　)A.充分而不必要条件　　B.必要而不充分条件　　C.充分必要条件　　D.既不充分又不必要条件　　[答案]1.A[解析]1.当k=1时,l:y=x+1,由题意不妨令A(-1,0),B(0,1),则S△AOB=×1×1=,所以充分性成立;当k=-1时,l:y=-x+1,也有S△AOB=,所以必要性不成立.2.(2022江西,9,5分)在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,则圆C面积的最小值为(　　)A.π　　B.π　　C.(6-2)π　　D.π　　[答案]2.A[解析]2.由题意得以AB为直径的圆C过原点O,圆心C为AB的中点,设D为切点,要使圆C的面积最小,只需圆的半径最短,也只需OC+CD最小,其最小值为OE(过原点O作直线2x+y-4=0的垂线,垂足为E)的长度.由点到直线的距离公式得OE=.∴圆C面积的最小值为π=π.故选A.3.(2022天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，6)过点（－4，0）作直线L与圆x2+y2+2x－4y－20=0交于A、B两点，如果|AB|=8，则L的方程为(   ) A.5x+12y+20=0　　    B.5x-12y+20=015\nC.5x-12y+20=0或x+4=0　　 D.5x+12y+20=0或x+4=0[答案]3. D[解析]3. 圆x2+y2+2x－4y－20=0的圆心为（－1,2），半径为5，当|AB|=8时，可得圆心到直线L的距离为3.显然直线L的斜率不存在时，满足题意，此时直线方程为x+4=0；当斜率存在时，设直线L的方程为，由题意可得，解得此时直线方程为5x+12y+20=0，综上可得答案为D.4.(2022天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，7)过点（)作直线与圆交于A、B两点，如果,则直线的方程为（ ）(A)　　　　　　　　(B)(C)或　　　　(D)或[答案]4. C[解析]4. 因为圆的圆心为（1,2），半径为5.当弦AB的长为8时，可得圆心到直线的距离为3，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，由题意得，解得k=0或，所以所求直线的方程为或.5.(2022贵州贵阳高三适应性监测考试,12)双曲线的左、右焦点分别为，,过左焦点作圆的切线，切点为，直线交双曲线右支于点.若，则双曲线的离心率是（  ）[答案]5.C[解析]5.由已知可知，且是的中点，所以，从而，在中，，故.6.(2022贵州贵阳高三适应性监测考试,10)在平面直角坐标系中，抛物线:15\n的焦点为，是抛物线上的点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆面积，则（   ）A.2　　B.4 　　C.6　　D.8[答案]6.B[解析]6.因为的中垂线过外接圆圆心，所以此直线与准线的距离即为外接圆半径，故=，故.7.(2022广东广州高三调研测试，7)若点和点到直线的距离依次为1和2，则这样的直线有（   ）A.1条B.2条           C.3条D.4条[答案]7.C [解析]7. 由已知可转化为圆的切线问题。以为圆心，1为半径作圆；以为圆心，2为半径作圆，显然这两圆外切，则这两个圆的外公切线有2条，内公切线有1条；从而满足条件的直线有3条.8.(2022黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，7)直线截圆所得劣弧所对圆心角为（   ）A.   　　B.    　　C.　　D.[答案]8. C[解析]8. 如图，设直线与圆交于、，于，所以，因为圆心到直线的距离，圆的半径为2，所以，即，所以.15\n9.（2022江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，10）给定圆:及抛物线：过圆心作直线,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为如果线段的长按此顺序构成一个等差数列,则直线的斜率为（   ）A．　　　　  B．　　　　  C．　　　　　　D．[答案]9. C[解析]9. 圆P的圆心P（1,0），抛物线的焦点坐标为（1,0）.由圆P与抛物线的位置关系可得，点A和点D在抛物线上，点B和点C在圆上，因为直线l过圆心，可得BC=2，又因为的长按此顺序构成一个等差数列可得，设点，根据抛物线的定义可知，可得.显然直线l的斜率存在，设直线方程为，联立直线与抛物线方程可得，解得.10.（2022吉林实验中学高三年级第一次模拟，9）若抛物线的焦点是F，准线是，点M（4，4）是抛物线上一点，则经过点F、M且与相切的圆共有（   ）A．0个　　        B．1个　　      C．2个　　       D．4个[答案]10. C[解析]10. 焦点F的坐标为（1,0），准线为x=－1，由圆与相切可设圆的方程为:，则由题意可得①、②两式联立得，代入到①中消b得关于a的一元二次方程，此方程有两个实数根，由此可得此圆共有2个.15\n11.(2022广西桂林中学高三2月月考，3)若直线始终平分圆的周长，则的取值范围是（   ）(A)(B)(C)(D)[答案]11. D[解析]11. 由配方得，所以圆心坐标为，若直线始终平分圆的周长，则直线必过点，所以，所以，即，当且仅当，即是取等号.故的取值范围是是.12.(2022广州高三调研测试,7)若点和点到直线的距离依次为1和2，则这样的直线有（  ）A．1条　　B．2条　　C．3条　　D．4条[答案]12. C[解析]12. 依题意作图，满足条件的直线有3条.13.(2022湖北黄冈高三期末考试)命题，使；命题直线与圆相切.则下列命题中真命题为（   ）A.       B.      C.      D.  [答案]13. A15\n[解析]13. 命题的真假判断.对命题，当时，成立，则命题为真；又圆心到直线的距离为圆的半径，则命题真，故为真.14.(2022大纲全国,15,5分)直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线.若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于________.[答案]14.[解析]14.依题意设过点(1,3)且与圆x2+y2=2相切的直线方程为y-3=k(x-1),即kx-y-k+3=0.由直线与圆相切得=,即k2+6k-7=0.解得k1=-7,k2=1,设切线l1,l2的倾斜角分别为θ1,θ2,不妨设tanθ1<0,则tanθ1=-7,tanθ2=1,从而tan(θ1-θ2)==.15.(2022重庆,13,5分)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=________.[答案]15.4±[解析]15.易知△ABC是边长为2的等边三角形,故圆心C(1,a)到直线AB的距离为,即=,解得a=4±.经检验均符合题意,则a=4±.16.(2022湖北,12,5分)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2=________.[答案]16.2[解析]16.由题意知直线l1和l2与单位圆C所在的位置如图.因此或故a2+b2=1+1=2.17.(2022江苏,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为________.[答案]17.15\n[解析]17.易知圆心(2,-1),r=2,故圆心到直线的距离d==,∴弦长为2=2=.18.(2022山东,15,5分)已知函数y=f(x)(x∈R),对函数y=g(x)(x∈I),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y=h(x)(x∈I),y=h(x)满足:对任意x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x,f(x))对称.若h(x)是g(x)=关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)>g(x)恒成立,则实数b的取值范围是________.[答案]18.(2,+∞)[解析]18.函数g(x)=的图象是以坐标原点为圆心,2为半径的圆在x轴上及其上方的部分.由题意可知,对任意x0∈I,都有h(x0)+g(x0)=2f(x0),即(x0,f(x0))是点(x0,h(x0))和点(x0,g(x0))的中点,又h(x)>g(x)恒成立,所以直线f(x)=3x+b与半圆g(x)=相离且b>0.即解之得b>2.所以实数b的取值范围为(2,+∞).19.(2022山西太原高三模拟考试（一），14)已知P是直线上的动点，PA、PB是圆的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB的面积的最小值是      .[答案]19. [解析]19. 圆C的圆心为（1,1），半径为1，圆心C到直线的距离为.四边形PACB的面积等于△CAP的面积的二倍，其值为15\n，欲使其值最小只需使PC的长度最小即可，结合圆的性质可得PC的长度的最小值为即为圆心C到直线的距离，所以四边形PACB的面积的最小值为.20.(2022山东青岛高三第一次模拟考试,12)圆的圆心到直线的距离_________________.[答案]20. 3[解析]20. 因为，所以，即圆心为，所以.21.(2022福州高中毕业班质量检测,13)若直线与圆相交于、两点,则的值为      .[答案]21. 0[解析]21.因为圆心到直线的距离为，圆的半径为2，所以弦长，所以是直角三角形，且，所以.22.(2022北京东城高三第二学期教学检测，12)已知圆的方程为,设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为_______________.　[答案]22.[解析]22. 圆的方程可化为，故圆心为，半径为.由题意知，且为圆的直径长为，最短弦的中点为，由勾股定理可算出.故.23.(2022重庆七校联盟,11)已知圆的方程为，直线的方程为，若圆与直线相切，则实数        .15\n[答案]23. 或[解析]23. 圆与直线相切，，解得或.24.(2022天津七校高三联考,9)直线被圆截得的弦长为__________[答案]24. 4[解析]24. 由得，圆系的坐标为，半径为，直线被圆截得的弦长为.25.(2022福建,21(2),7分)选修4—4:坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(θ为参数).(Ⅰ)求直线l和圆C的普通方程;(Ⅱ)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.[答案]25.查看解析[解析]25.(Ⅰ)直线l的普通方程为2x-y-2a=0,圆C的普通方程为x2+y2=16.(Ⅱ)因为直线l与圆C有公共点,故圆C的圆心到直线l的距离d=≤4,解得-2≤a≤2.26.(2022江苏,18,16分)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan∠BCO=.(1)求新桥BC的长;(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?[答案]26.查看解析[解析]26.(1)解法一:如图,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy.15\n由条件知A(0,60),C(170,0),直线BC的斜率kBC=-tan∠BCO=-.因为AB⊥BC,所以直线AB的斜率kAB=.设点B的坐标为(a,b),则kBC==-,kAB==.解得a=80,b=120.所以BC==150.因此新桥BC的长是150m.(2)设保护区的边界圆M的半径为rm,OM=dm(0≤d≤60).由条件知,直线BC的方程为y=-(x-170),即4x+3y-680=0.由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离是r,即r==.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,所以即解得10≤d≤35.故当d=10时,r=最大,即圆面积最大.所以当OM=10m时,圆形保护区的面积最大.解法二:如图,延长OA,CB交于点F.15\n因为tan∠FCO=,所以sin∠FCO=,cos∠FCO=.因为OA=60,OC=170,所以OF=OCtan∠FCO=,CF==,从而AF=OF-OA=.因为OA⊥OC,所以cos∠AFB=sin∠FCO=.又因为AB⊥BC,所以BF=AFcos∠AFB=,从而BC=CF-BF=150.因此新桥BC的长是150m.(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D,连结MD,则MD⊥BC,且MD是圆M的半径,并设MD=rm,OM=dm(0≤d≤60).因为OA⊥OC,所以sin∠CFO=cos∠FCO.故由(1)知sin∠CFO====,所以r=.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,所以即解得10≤d≤35.故当d=10时,r=最大,即圆面积最大.所以当OM=10m时,圆形保护区的面积最大.15\n27.(2022天津,18,13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=|F1F2|.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切.求直线l的斜率.[答案]27.查看解析[解析]27.(Ⅰ)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|=·|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则=.所以椭圆的离心率e=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为+=1.设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c).由已知,有·=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c≠0,故有x0+y0+c=0.①又因为点P在椭圆上,故+=1.②由①和②可得3+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,故x0=-c,代入①得y0=,即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1,y1),则x1==-c,y1==c,进而圆的半径r=15\n=c.设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.由l与圆相切,可得=r,即=c,整理得k2-8k+1=0,解得k=4±.所以直线l的斜率为4+或4-.28.(2022北京,19,14分)已知椭圆C:x2+2y2=4.(Ⅰ)求椭圆C的离心率;(Ⅱ)设O为原点.若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.[答案]28.查看解析[解析]28.(Ⅰ)由题意知,椭圆C的标准方程为+=1.所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=.故椭圆C的离心率e==.(Ⅱ)直线AB与圆x2+y2=2相切.证明如下:设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x0≠0.因为OA⊥OB,所以·=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.当x0=t时,y0=-,代入椭圆C的方程,得t=±,故直线AB的方程为x=±.圆心O到直线AB的距离d=.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.当x0≠t时,直线AB的方程为y-2=(x-t),15\n即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.圆心O到直线AB的距离d=.又+2=4,t=-,故d===.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.29.(2022周宁、政和一中第四次联考，16)已知动点到点的距离是它到点的距离的倍．（Ⅰ）试求点的轨迹方程；（Ⅱ）已知直线经过点且与点的轨迹相切，试求直线的方程．[答案]29.查看解析[解析]29. （Ⅰ）设点，由题意得两边平方整理得.故点的轨迹是一个圆，其方程为.   （6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得圆心为，半径.   (i)若直线的斜率不存在，则方程为，圆心到直线的距离，故该直线与圆不相切；(ii)若直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.由直线和圆相切得：，整理得，解得或.故所求直线的方程为或.         (13分)30.(2022江苏苏北四市高三期末统考,18)已知的三个顶点，，，其外接圆为.（Ⅰ）若直线过点，且被截得的弦长为2，求直线的方程；（Ⅱ）对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求的半径的取值范围.[答案]30.查看解析[解析]30.   解析 （Ⅰ）线段的垂直平分线方程为，线段的垂直平分线方程为，15\n所以外接圆圆心，半径，圆的方程为.（4分）设圆心到直线的距离为，因为直线被圆截得的弦长为2，所以.当直线垂直于轴时，显然符合题意，即为所求；当直线不垂直于轴时，设直线方程为，则，解得，综上，直线的方程为或.（8分）（Ⅱ）直线的方程为，设，因为点是线段的中点，所以，又都在半径为的圆上，所以即因为该关于的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，所以,（12分）又，所以对]成立.而在[0，1]上的值域为[，10]，所以且.又线段与圆无公共点，所以对成立，即.故圆的半径的取值范围为.（16分）15