【科学备考】（新课标）2022高考数学二轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数I 函数模型及综合问题 理（含2022试题）

【科学备考】（新课标）2022高考数学二轮复习第二章函数的概念与基本初等函数I函数模型及综合问题理（含2022试题）理数1.(2022湖南,10,5分)已知函数f(x)=x2+ex-(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是(　　)A.B.(-∞,)　　C.　　D.[答案]1.B[解析]1.设函数f(x)图象上一点A(x0,y0)(x0<0)关于y轴的对称点B(-x0,y0)在函数g(x)的图象上,则即+-=+ln(a-x0),得a=+x0.令φ(x)=+x(x<0),则a=φ(x)在(-∞,0)上有解.因为φ'(x)=·ex+1>0,故φ(x)在(-∞,0)上为增函数,则φ(x)<φ(0)=,从而有a<,故选B.2.(2022陕西,7,5分)设函数f(x)=xex,则(　　)A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=-1为f(x)的极大值点D.x=-1为f(x)的极小值点[答案]2.D　[解析]2.f'(x)=(x+1)ex,当x<-1时,f'(x)<0,当x>-1时f'(x)>0,所以x=-1为f(x)的极小值点,故选D.3.(2022重庆,8,5分)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(　　)14\nA.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)[答案]3.D　[解析]3.①当x<-2时,1-x>0.∵(1-x)f'(x)>0,∴f'(x)>0,即f(x)在(-∞,-2)上是增函数.②当-2<x<1时,1-x>0.∵(1-x)f'(x)<0,∴f'(x)<0,即f(x)在(-2,1)上是减函数.③当1<x<2时,1-x<0.∵(1-x)f'(x)>0,∴f'(x)<0,即f(x)在(1,2)上是减函数.④当x>2时,1-x<0.∵(1-x)f'(x)<0,∴f'(x)>0,即f(x)在(2,+∞)上是增函数.综上:f(-2)为极大值,f(2)为极小值.4.(2022山东青岛高三三月质量检测，11,5分)已知函数对定义域内的任意都有=，且当时其导函数满足若则(　　)A．　　　　B．C．　　　　D．[答案]4.C　[解析]4.由=可知关于直线对称，由可知，即当时，，函数是增函数；当时，，函数是减函数，由，可知，，故可知.5.(2022山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，15)已知,有且仅有一个零点时，则的取值范围是           .[答案]5. 或14\n[解析]5. 令，因为是定义域的减函数，而是定义域的增函数，所以当时为减函数，其值域为；，欲使函数只有一个零点，只需使函数的图像与函数的图像有一个交点即可，因此可得或.6.（2022江西红色六校高三第二次联考理数试题，21）已知实数，函数.（1）当时，求的最小值;（2）当时,判断的单调性,并说明理由；（3）求实数的范围，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形.[答案]6.查看解析[解析]6.易知的定义域为，且为偶函数.（1）时,     时最小值为2.     ----------------------------------3分（2）时,时， 递增；   时，递减；--------------------5分14\n为偶函数.所以只对时，说明递增.设，所以，得所以时，递增；------------8分（3），，从而原问题等价于求实数的范围，使得在区间上，恒有---10分①当时，在上单调递增，由得，从而； ②当时，在上单调递减，在上单调递增，，由得，从而；③当时，在上单调递减，在上单调递增，，由得，从而； ④当时，在上单调递减，由得，从而；14\n综上，.---------------------------------------14分7.(2022湖南株洲高三教学质量检测（一），19)设某企业在两个相互独立的市场上出售同一种商品，两个市场的需求函数分别是,,其中和分别表示该产品在两个市场上的价格（单位：万元/吨），和分别表示该产品在两个市场上的销售量（即需求量，单位：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数是，其中表示该产品在两个市场的销售总量，即   （Ⅰ）试用和表示总利润，确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；   (Ⅱ)在两地价格差别满足的条件下，推算该企业可能获得的最大利润（取一位小数）[答案]7.查看解析[解析]7.（Ⅰ）设总利润为，那么利润函数将利润函数变形为，当，时，即（万元），（万元）企业获得最大利润52万元. （6分）(Ⅱ)由得  ，令，，得，由实际意义知、、、都为正数得，又得即，化简得：， （8分）圆的圆心到的距离，所以，即，实际上取一位小数49.9(万元).          （13分）(利用直线与椭圆相切同样可得分)8.(2022成都高中毕业班第一次诊断性检测，18)某种特色水果每年的上式时间从4月114\n号开始仅能持续5个月的时间.上式初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下跌，后期价格在原价格基础上继续下跌.现有三种价格变化的模拟函数可选择：①；②；③，其中均为常数且（注：表示上式时间，表示价格，记表示4月1号，表示5月1号，，依次类推，）.   （Ⅰ）在上述三种价格模拟函数中，哪个更能体现该种水果的价格变动态势，请你选择，并简要说明理由；   （Ⅱ）对（Ⅰ）所选的函数，若，，记，经过多年的统计发现，当函数取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，请预测明年拓展外销市场的时间是几月1号？[答案]8.查看解析[解析]8.   解析 （Ⅰ）根据题意，该种水果的价格变化趋势是先单调递增后一直单调递减，基本符合开口向下的二次函数的变化趋势，故应选择②，      （4分）   （Ⅱ）由，，代入得，解得，即，， （8分)，当且仅当即时取等号.故明年拓展外销的事件应为6月1号.　　           (12分）9.(2022陕西,21,14分)设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R).(1)设n≥2,b=1,c=-1,证明:fn(x)在区间内存在唯一零点;(2)设n=2,若对任意x1,x2∈[-1,1],有|f2(x1)-f2(x2)|≤4,求b的取值范围;(3)在(1)的条件下,设xn是fn(x)在内的零点,判断数列x2,x3,…,xn,…的增减性.[答案]9.(1)证明:b=1,c=-1,n≥2时,fn(x)=xn+x-1.∵fn·fn(1)=×1<0,∴fn(x)在内存在零点.又当x∈时,fn'(x)=nxn-1+1>0,∴fn(x)在上是单调递增的,∴fn(x)在内存在唯一零点.(2)当n=2时,f2(x)=x2+bx+c.对任意x1,x2∈[-1,1]都有|f2(x1)-f2(x2)|≤4等价于f2(x)在[-1,1]上的最大值与最小值之差14\nM≤4.据此分类讨论如下:(i)当>1,即|b|>2时,M=|f2(1)-f2(-1)|=2|b|>4,与题设矛盾.(ii)当-1≤-<0,即0<b≤2时,M=f2(1)-f2=≤4恒成立.(iii)当0≤-≤1,即-2≤b≤0时,M=f2(-1)-f2=≤4恒成立.综上可知,-2≤b≤2.注:(ii),(iii)也可合并证明如下:用max{a,b}表示a,b中的较大者.当-1≤-≤1,即-2≤b≤2时,M=max{f2(1),f2(-1)}-f2=+-f2=1+c+|b|-=≤4恒成立.(3)数列x2,x3,…,xn,…是增函数.理由如下:证法一:设xn是fn(x)在内的唯一零点(n≥2),fn(xn)=+xn-1=0,fn+1(xn+1)=+xn+1-1=0,xn+1∈.于是有fn(xn)=0=fn+1(xn+1)=+xn+1-1<+xn+1-1=fn(xn+1),又由(1)知fn(x)在上是递增的,故xn<xn+1(n≥2),所以,数列x2,x3,…,xn,…是增函数.证法二:设xn是fn(x)在内的唯一零点,fn+1(xn)fn+1(1)=(+xn-1)(1n+1+1-1)=+xn-1<+xn-1=0,则fn+1(x)的零点xn+1在(xn,1)内,故xn<xn+1(n≥2),所以,数列x2,x3,…,xn,…是增函数.14\n9.10.(2022江苏,17,14分)如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.[答案]10.(1)令y=0,得kx-(1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知x>0,k>0,故x==≤=10,当且仅当k=1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a>0,所以炮弹可击中目标⇔存在k>0,使3.2=ka-(1+k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根⇔判别式Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0⇔a≤6.所以当a不超过6(千米)时,可击中目标.10.11.(2022上海,21,14分)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处,如图.现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线y=x2;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发t小时后,失事船所在位置的横坐标为7t.(1)当t=0.5时,写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?[答案]11.(1)t=0.5时,P的横坐标xP=7t=,代入抛物线方程y=x2,得P的纵坐标yP=3.(2分)14\n由|AP|=,得救援船速度的大小为海里/时.(4分)由tan∠OAP=,得∠OAP=arctan,故救援船速度的方向为北偏东arctan弧度.(6分)(2)设救援船的时速为v海里,经过t小时追上失事船,此时位置为(7t,12t2).由vt=,整理得v2=144+337.(10分)因为t2+≥2,当且仅当t=1时等号成立,所以v2≥144×2+337=252,即v≥25.因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.(14分)11.12.(2022河南鹤壁二模,17,12分)某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求,进行了20天的测试,人为地调控每天产品的单价P(元/件):前10天每天单价呈直线下降趋势(第10天免费赠送品尝),后10天呈直线上升,其中4天的单价记录如下表:时间(将第x天记为x)x1101118单价(元/件)P9018而这20天相应的销售量Q(百件/天)与时间x对应的点(x,Q)在如图所示的半圆上.(1)写出每天销售收入y(元)与时间x(天)的函数;(2)在这20天中哪一天销售收入最高?此时单价P定为多少元为好?(结果精确到1元)[答案]12.(1)P=(x∈N*),Q=,x∈[1,20],x∈N*,∴y=100QP=100,x∈[1,20],x∈N*.(2)∵(x-10)2[100-(x-10)2]≤=2500,∴当且仅当(x-10)2=100-(x-10)2,即x=10±5时,y有最大值.∵x∈N*,∴当x=3或17时,ymax=700≈4999(元),此时,P=7(元).答:第3天或第17天销售收入最高,此时应将单价P定为7元为好.12.13.(2022北京,18,13分)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.14\n(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值.[答案]13.(1)f'(x)=2ax,g'(x)=3x2+b.因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f(1)=g(1),且f'(1)=g'(1).即a+1=1+b,且2a=3+b.解得a=3,b=3.(2)记h(x)=f(x)+g(x).当b=a2时,h(x)=x3+ax2+a2x+1,h'(x)=3x2+2ax+a2.令h'(x)=0,得x1=-,x2=-.a>0时,h(x)与h'(x)的情况如下:x-∞,---,---,+∞h'(x)+0-0+h(x)↗↘↗所以函数h(x)的单调递增区间为和;单调递减区间为.当-≥-1,即0<a≤2时,函数h(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为h(-1)=a-a2.当-<-1,且-≥-1,即2<a≤6时,函数h(x)在区间内单调递增,在区间上单调递减,h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为h=1.当-<-1,即a>6时,函数h(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减,在区间上单调递增.又因h-h(-1)=1-a+a2=(a-2)2>0,所以h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为h=1.13.14.(2022安徽,19,13分)设函数f(x)=aex++b(a>0).14\n(1)求f(x)在[0,+∞)内的最小值;(2)设曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=x,求a,b的值.[答案]14.(1)f'(x)=aex-,当f'(x)>0,即x>-lna时,f(x)在(-lna,+∞)上递增;当f'(x)<0,即x<-lna时,f(x)在(-∞,-lna)上递减.(i)当0<a<1时,-lna>0,f(x)在(0,-lna)上递减,在(-lna,+∞)上递增,从而f(x)在[0,+∞)上的最小值为f(-lna)=2+b;(ii)当a≥1时,-lna≤0,f(x)在[0,+∞)上递增,从而f(x)在[0,+∞)上的最小值为f(0)=a++b.(2)依题意f'(2)=ae2-=,解得ae2=2或ae2=-(舍去).所以a=,代入原函数可得2++b=3,即b=.故a=,b=.14.15.(2022山东聊城5月模拟,19,12分)某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室,在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道,沿前侧内墙保留3m宽的空地,当矩形温室的左后两侧边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大面积是多少?[答案]15.设温室的左侧边长为xm,则后侧边长为m.∴蔬菜种植面积y=(x-4)=808-2(4<X<400).span<>∵x+≥2=80,∴y≤808-2×80=648(m2).当且仅当x=,即x=40时,y有最大值.此时=20,y最大=648m2.∴当矩形温室的左侧边长为40m,后侧边长为20m时,蔬菜的种植面积最大,为648m2.15.16.(2022北京海淀区高三11月月考，18,13分）如图所示，已知边长为米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中米，米．为了合理利用这块钢板，将在五边形内截取一个矩形块，使点在边上．（Ⅰ）设米，米，将表示成的函数，求该函数的解析式及定义域；（Ⅱ）求矩形面积的最大值．14\n[答案]16.（I）如图所示，作于，则.所以，………………2分在中，有，所以，………………4分整理得，定义域为.………………6分(II)设矩形的面积为，则有，………………9分所以当，函数是增函数，………………11分所以当米时，矩形面积取得最大值平方米.………………13分16.17.（2022福建厦门高三一月质量检查,20,14分）某新兴城市拟建设污水处理厂，现有两个方案：方案一：建设两个日处理污水量分别为xl和x2（单位：万m3/d）的污水厂，且14\n3≤xl≤5，3≤x2≤5．方案二：建设一个日处理污水量为xl+x2（单位：万m3/d）的污水厂．经调研知：（1）污水处理厂的建设费用P（单位：万元）与日处理污水量x（单位：万m3/d）的关系为P=40x2；（2）每处理1m3的污水所需运行费用Q（单位：元）与日处理污水量x（单位：万m3/d）的关系为：（I）如果仅考虑建设费用，哪个方案更经济？（Ⅱ）若xl+x2=8，问：只需运行多少年，方案二的总费用就不超过方案一的总费用？注：一年以250个工作日计算；总费用=建设费用+运行费用[答案]17.（I）方案一的建设费用，　　方案二的建设费用，　　∵，∴，　　∴如果仅考虑建设费用，方案一更经济.　　　　　　　…………………………5分（Ⅱ）由题意得，运行年后，　　方案一的总费用为　　　　　，方案二的总费用为　，当方案二的总费用就不超过方案一的总费用时，,∴,整理得，又xl+x2=8，∴，　　∴，　　，14\n　　又，∴，　　∴当或5时，，即经过3年，方案二的总费用等于方案一的总费用，　　当时，，即只需经过4年，方案二的总费用就小于方案一的总费用.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………14分17.14