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2023高考数学一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数Ⅰ第8节函数与方程及函数模型的应用课时跟踪检测理含解析202302331109
2023高考数学一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数Ⅰ第8节函数与方程及函数模型的应用课时跟踪检测理含解析202302331109
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第二章 函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)第八节 函数与方程及函数模型的应用A级·基础过关|固根基|1.(2019届甘肃省平凉市模拟)函数f(x)=lnx-的零点所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析:选B 由题意知,函数f(x)是(0,+∞)上的增函数,因为f(1)<0,f(2)=ln2-=ln2-ln>0,所以f(1)·f(2)<0,所以函数f(x)的零点所在的区间是(1,2),故选B.2.(2019届福建省龙岩市期末)已知函数f(x)=则函数y=f(x)+3x的零点个数是( )A.0B.1C.2D.3解析:选C 令f(x)+3x=0,则或解得x=0或x=-1,所以函数y=f(x)+3x的零点个数是2,故选C.3.(2019届河北九校第二次联考)若函数f(x)=kx-|x-e-x|有两个正实数零点,则k的取值范围是( )A.(0,+∞)B.C.(0,1)D.(0,e)解析:选C 令f(x)=kx-|x-e-x|=0,得kx=|x-e-x|,当x>0时,k==,令g(x)=1-,x>0,则g′(x)=>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,因为g=1-<0,g(1)=1->0,所以在上存在一个a,使得g(a)=0,所以y=|g(x)|的图象如图所示.由题意知,要使直线y=k与y=|g(x)|的图象有两个交点,则0<k<1,故选C.4.(2019届洛阳模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度,现准备拟定一函数用于\n根据当月评价分数x(正常情况下0≤x≤100,且教职工平均月评价分数在50分左右,若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y(元).要求绩效工资不低于500元,不设上限,且让大部分教职工绩效工资在600元左右,另外绩效工资越低或越高时,人数要越少,则下列函数最符合要求的是( )A.y=(x-50)2+500B.y=10+500C.y=(x-50)3+625D.y=50[10+lg(2x+1)]解析:选C 由题意知,拟定函数应满足:①是单调递增函数,且增长速度先快后慢再快;②在x=50左右增长速度较慢,最小值为500.A中,函数y=(x-50)2+500先减后增,不符合要求;B中,函数y=10+500是指数型函数,增长速度是越来越快,不符合要求;D中,函数y=50[10+lg(2x+1)]是对数型函数,增长速度是越来越慢,不符合要求;而C中,函数y=(x-50)3+625是由函数y=x3经过平移和伸缩变换得到的,符合要求,故选C.5.(2019届长春市第一次质量监测)已知函数f(x)=与g(x)=1-sinπx,则函数F(x)=f(x)-g(x)在区间[-2,6]上所有的零点的和为( )A.4B.8C.12D.16解析:选D 令F(x)=f(x)-g(x)=0,得f(x)=g(x),在同一平面直角坐标系中分别画出函数f(x)=1+与g(x)=1-sinπx的图象,如图所示,又f(x),g(x)的图象都关于点(2,1)对称,结合图象可知,f(x)与g(x)的图象在[-2,6]上共有8个交点,交点的横坐标即F(x)=f(x)-g(x)的零点,由对称性可得,所有零点之和为4×2×2=16,故选D.6.(2019届武汉市武昌区高三调考)已知函数f(x)=x3+a,则f(x)的零点可能有( )\nA.1个B.1个或2个C.1个或2个或3个D.2个或3个解析:选A 因为x2+x+2=(x+1)2+>0,所以令f(x)=0,则a=,f(x)的零点可以转化为直线y=a与函数g(x)=的图象的交点的横坐标.因为g′(x)==,令g′(x)=0,即-x4-x3-2x2=0,整理得,-x2·(x2+4x+12)=0,由于x2+4x+12=(x+2)2+8>0,所以g′(x)≤0,所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递减,所以直线y=a与函数g(x)的图象可能有1个交点.所以f(x)的零点可能有1个,故选A.7.(2019届邯郸名校联考)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传,在一年内预计销售量y(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为y=1+(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为4万元,每生产1万件此产品仍需再投入30万元,且能全部售完.若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和,则当广告费为1万元时,该企业甲产品的年利润为( )A.30.5万元B.31.5万元C.32.5万元D.33.5万元解析:选B 由题意,产品的生产成本为(30y+4)万元,销售单价为×150%+×50%,故年销售收入为z=·y=45y+6+x,∴年利润W=z-(30y+4)-x=15y+2-=17+-(万元).∴当广告费为1万元,即x=1时,该企业甲产品的年利润为17+-=31.5(万元),故选B.8.若方程lnx+x-4=0在区间(a,b)(a,b∈Z,且b-a=1)上有一根,则a的值为( )A.1B.2\nC.3D.4解析:选B 方程lnx+x-4=0的根为函数f(x)=lnx+x-4的零点.f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)在定义域上单调递增.因为f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3-1>0,f(2)·f(3)<0,所以f(x)在区间(2,3)上有一个零点,则方程lnx+x-4=0在区间(2,3)上有一根,所以a=2,b=3,故选B.9.(2020届合肥调研)若函数f(x)=2|x-2a|-4|x+a|在区间(-2,+∞)上有且仅有一个零点,则实数a的取值范围是________.解析:令f(x)=2|x-2a|-4|x+a|=0,即方程2|x-2a|=22|x+a|,即方程|x-2a|=2|x+a|,即方程(x-2a)2=4(x+a)2,即方程x(x+4a)=0在区间(-2,+∞)上有且仅有一个实根,当a=0时,方程有唯一实数根x=0,满足条件;当a≠0时,必有-4a≤-2,解得a≥.综上,实数a的取值范围是.答案:10.(2019届唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车,售价为14.4万元,购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元,同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%),试问,大约使用________年后,用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元.解析:设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元,依题意可得,14.4(1-0.9x)+2.4x=14.4,化简得x-6×0.9x=0.令f(x)=x-6×0.9x,易得f(x)为单调递增函数,又f(3)=-1.374<0,f(4)=0.0634>0,所以函数f(x)在(3,4)上有一个零点,故大约使用4年后,用在该车上的费用达到14.4万元.答案:411.某快递公司在某市的货物转运中心拟引进智能机器人分拣系统,以提高分拣效率和降低物流成本,已知购买x台机器人的总成本p(x)=万元.(1)若使每台机器人的平均成本最低,问应买多少台?(2)现按(1)中的数量购买机器人,需要安排m人将邮件放在机器人上,机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣,经实验知,每台机器人的日平均分拣量q(m)=(单位:件),已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为\n1200件,问引进机器人后,日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几?解:(1)由总成本p(x)=万元,可得每台机器人的平均成本y===x++1≥2+1=2,当且仅当x=,即x=300时,上式等号成立.∴若使每台机器人的平均成本最低,应买300台.(2)引进机器人后,每台机器人的日平均分拣量q(m)=当1≤m≤30时,300台机器人的日平均分拣量为160m(60-m)=-160m2+9600m,∴当m=30时,日平均分拣量有最大值144000件;当m>30时,日平均分拣量为480×300=144000(件),∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件.若传统人工分拣144000件,则需要人数为=120(人).∴日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少×100%=75%.B级·素养提升|练能力|12.设m,n∈Z,已知函数f(x)=log2(-|x|+8)的定义域是[m,n],值域是[0,3],当m取最小值时,函数g(x)=2|x-1|+m+1的零点个数为( )A.2B.3C.1D.0解析:选A 因为函数f(x)=log2(-|x|+8)的值域是[0,3],所以1≤-|x|+8≤8,即-7≤x≤7.因为函数f(x)=log2(-|x|+8)的定义域是[m,n],所以m的最小值为-7,此时g(x)=2|x-1|-6.令g(x)=2|x-1|-6=0,解得x=2+log23或x=-log23,即有2个零点,故选A.13.已知定义在R上的奇函数f(x)满足:当x≥0时,f(x)=则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为( )A.2a-1B.2-a-1C.1-2-aD.1-2a解析:选D 因为f(x)为R上的奇函数,所以当x<0时,f(x)=-f(-x)=\n画出函数y=f(x)的图象和直线y=a(0<a<1),如图所示.由图可知,函数y=f(x)与直线y=a(0<a<1)共有5个交点,设其横坐标从左到右分别为x1,x2,x3,x4,x5,则=-3,=3,而-log(-x3+1)=a,即log2(1-x3)=a,可得x3=1-2a,所以x1+x2+x3+x4+x5=1-2a,故选D.14.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且当x≤0时,f(x)=2x-x+a,则函数f(x)有________个零点.解析:由题意知,f(0)=1+a=0,所以a=-1.当x<0时,令f(x)=2x-x-1=0,解得x=-1.又函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(1)=0,所以函数f(x)有3个零点.答案:315.已知函数f(x)=若方程f(x)=m有四个不同的实根x1,x2,x3,x4,且满足x1<x2<x3<x4,则(x3+x4)的取值范围为________.解析:方程f(x)=m有四个不同的实数根x1,x2,x3,x4可转化为函数f(x)的图象与直线y=m有四个不同的交点,且交点的横坐标分别为x1,x2,x3,x4,作出函数f(x)的大致图象如图所示,结合图象得0<m<1,且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4).由f(x1)=f(x2)可得,|log2(x1-1)|=|log2(x2-1)|,又1<x1<2<x2,所以log2(x1-1)+log2(x2-1)=0,得(x1-1)(x2-1)=1,整理得x1x2=x1+\nx2,所以+=1.由f(x3)=f(x4)及二次函数图象的对称性,得x3+x4=9,所以(x3+x4)=m(x3+x4)=9m∈(0,9).答案:(0,9)
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 17:29:16
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