【科学备考】（新课标）2022高考数学二轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数I 函数与方程 理（含2022试题）

【科学备考】（新课标）2022高考数学二轮复习第二章函数的概念与基本初等函数I函数与方程理（含2022试题）理数1.(2022山东,8,5分)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是(　　)A.　　B.　　C.(1,2)　　D.(2,+∞)[答案]1.B[解析]1.f(x)=如图,作出y=f(x)的图象,其中A(2,1),则kOA=.要使方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点,由图可知,<k<1.2.(2022课表全国Ⅰ，11，5分)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是(　　)A.(2,+∞)　　B.(1,+∞)　　C.(-∞,-2)　　D.(-∞,-1)[答案]2.C[解析]2.(1)当a=0时,显然f(x)有两个零点,不符合题意.(2)当a≠0时,f'(x)=3ax2-6x,令f'(x)=0,解得x1=0,x2=.当a>0时,>0,所以函数f(x)=ax3-3x2+1在(-∞,0)与上为增函数,在上为减函数,因为f(x)存在唯一零点x0,且x0>0,则f(0)<0,即1<0,不成立.当a<0时,<0,所以函数f(x)=ax3-3x2+1在和(0,+∞)上为减函数,在上为增函数,因为f(x)存在唯一零点x0,且x0>0,则f>0,即a·-3·+1>0,解得a>2或a<-2,又因为a<0,故a的取值范围为(-∞,-2).选C.30\n3.（2022重庆一中高三下学期第一次月考，7）已知函数的图像与轴恰好有三个不同的公共点，则实数的取值范围是（  ）（A）  （B）   （C）   （D）[答案]3. C[解析]3. ,当或时,可得;当时,,所以函数的极小值为,极大值为,由题意可得,解得.4.(2022山西太原高三模拟考试（一），12)已知方程在（0，+∞）上有两个不同的解a，b（a＜b），则下面结论正确的是( )[答案]4. C[解析]4. 由题意可得上有两个不同的解a，b（a＜b），结合数形结合可得直线与曲线相切于点，且，则根据导数的几何意义可得切线的斜率为，根据两点间的斜率公式可得，由此可得，即，两边同除可得sin2b=2bcos2b.故选C.5.(2022福州高中毕业班质量检测,9)若定义在上的函数满足,,且当时,其图象是四分之一圆(如图所示),则函数在区间上的零点个数为(  )　　　　　　　　　　　　       A.5　　B.4　　C.3　　D.230\n[答案]5. B[解析]5. 因为定义在上的函数满足,,所以函数是偶函数，且关于对称，又因为函数的定义域是,所以，令得，极小值由表中数据可知的单调减区间为，单调增区间为，当时，函数的极小值为，所以在时取得极大值，且函数在上是增函数，所以当时由3个交点；时只有一个交点，故函数在区间上的零点个数为4.6.(2022河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），11)已知函数其中为自然对数的底数，若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为(   )30\nA.　　B.　　C.  　　D.[答案]6. B [解析]6. 先令，则，所以，从而方程只有一个解，即的图像与的图像只有一个交点.由数形结合可知：当时，应满足；当时交点有且只有一个；综上所述，实数的取值范围为.选B.7.(2022贵州贵阳高三适应性监测考试,8)下列命题中假命题的是（  ）A.$，，使B.，函数都不是偶函数　　C.$，使D.$＞0, 函数有零点[答案]7.B[解析]7.当时，为偶函数，所以是假命题.,,显然为真.8.(2022山东实验中学高三第一次模拟考试，8)已知函数的零点分别为的大小关系是（　　）A.　　B.　　C.　　D.[答案]8.A [解析]8.  由已知分别是，，的根,作出，，，的图像，如图所示，由图像可得.9.(2022广东广州高三调研测试，8)对于实数和，定义运算“*”：*30\n设*，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是（   ）A.        B.         C.          D.[答案]9.A [解析]9. 由已知可得，作出的图像，不妨设，由图像可得，且，由重要不等式。又当时，，所以，从而.10.（2022江西红色六校高三第二次联考理数试题，7）函数的所有零点之和等于（  ）A．2　　　　 B．4　　　　C．6　　　　　　  D．8[答案]10. C30\n[解析]10. 函数的图像关于直线对称，直线也是函数的一条对称轴，函数的最小正周期为2，且在区间上有一个半周期，所以其与函数在区间上有3个交点，又因为他们的图像都关于直线对称，所以它们的和为.11.（2022吉林实验中学高三年级第一次模拟，7）已知函数，则使函数有零点的实数的取值范围是（　　）A.　　         B.   C.  D.[答案]11. C[解析]11. 令，当，；当，，所以函数在（0，+为增函数，所以.所以欲使有零点，只需使.12.（2022湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，10）函数，直线与函数的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为，下列说法错误的是（）A．　　　　   B． C．D．若关于的方程恰有三个不同实根，则取值唯一[答案]12. D[解析]12. 根据函数解析可得函数图像如图所示，30\n由图像可知，选项D的说法错误.13.(2022重庆五区高三第一次学生调研抽测，3)函数的零点所在区间是（   ）A.           B.           C.            D.[答案]13. B[解析]13. 在上单调递增，又，，所以选B.14.(2022周宁、政和一中第四次联考，2)函数的零点所在的区间是（  ）  　　        A．    B．　　C．（0，1）　　   D．（1，2）[答案]14. B[解析]14. 作函数与的图象，如图，由图知，函数的零点所在的区间是. 30\n15.(2022吉林高中毕业班上学期期末复习检测,12)若关于的方程有五个互不相等的实根，则的取值范围是（  ） A. 　　　　　　　　　　　　 B.   C. 　　　　　　  D. [答案]15. D[解析]15. 函数是偶函数，依题意，函数的图象与的图象有五个不同的交点，如图，由图知，当时，函数与的图象有两个交点，由直线与曲线相切，则方程有等根，即，满足条件，根据偶函数图象的对称性知也满足条件，故所求的的取值范围是.16.(2022天津七校高三联考,8)已知定义在上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程在区间[-8,8]上有四个不同的根,则=（  ）（A）0   （B）8    （C）-8  （D）16[答案]16. C[解析]16. 依题意，此函数是周期函数，又是奇函数，且在上是增函数，综合条件得出函数示意图，，由图知，四个交点中两个的横坐标之和为，另两个横坐之和为，故四个交点的横坐标之和.17.(2022河北衡水中学高三上学期第五次调研考试,9)函数若关于30\n的方程有五个不同的实数解，则的取值范围是（）A.　　B.　　C.　　D.[答案]17.B[解析]17.如图，方程要有五个不同的解，必须，所以，从而，因为只有2个解，所以要有3个解，由数形结合可得：.18.(2022成都高中毕业班第一次诊断性检测，10)已知和是定义在上的两个函数，则下列命题正确的的是（   ）（A）关于的方程恰有四个不相等的实数根的充要条件是（B）关于的方程恰有四个不相等的实数根的充要条件是（C）当时，对，，成立（D）若，，成立，则[答案]18. D[解析]18.  函数的图象如图所示，故函数的图象关于直线对称，即①正确；由图象知，关于的方程恰有四个不相等的实数根的充要条件是，故②正确；当时，，时，，时，，故时，不存在，使得成立，故③错误；时，，30\n若，，成立，则，故④正确.故正确的命题是D.19.(2022广州高三调研测试,8)对于实数a和b，定义运算“*”：*，设*，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是（  ）  A．    B．     C．     D．[答案]19. A[解析]19. 由得，由定义，则，即由于函数在的最大值是，由图知，关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，，，设，则，由，则，由，，，即.故的取值范围是.30\n20.(2022江苏,13,5分)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)=.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是________.[答案]20.[解析]20.当x∈[0,3)时,f(x)==,由f(x)是周期为3的函数,作出f(x)在[-3,4]上的图象,如图.由题意知方程a=f(x)在[-3,4]上有10个不同的根.由图可知a∈.21.(2022辽宁,16,5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,-+的最小值为________.[答案]21.-2[解析]21.设2a+b=t,则2a=t-b,由已知得关于b的方程(t-b)2-b(t-b)+4b2-c=0有解,即6b2-3tb+t2-c=0有解.故Δ=9t2-24(t2-c)≥0,所以t2≤c,所以|t|max=,此时c=t2,b=t,2a=t-b=,30\n所以a=.故-+=-+=8=8-2≥-2.22.(2022天津,14,5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为________.[答案]22.(0,1)∪(9,+∞)[解析]22.记g(x)=a|x-1|,则g(x)的图象过定点(1,0).原方程恰有四个互异的实数根,则f(x)与g(x)的图象恰有四个不同交点,故a>0.分以下三种情况:i)四个交点的横坐标均小于1.由得x2+(3-a)x+a=0,由Δ1=(3-a)2-4a>0得a<1(a>9舍去).故0<a<1时恰有四个交点.ii)三个交点的横坐标小于1,一个交点的横坐标大于1.则y=a(1-x)与y=-x2-3x(-3<x<0)相切,且y=a(x-1)与y=x2+3x(x>1)也相切,解得a=1且a=9,此种情形不存在.iii)两个交点的横坐标小于1,另两个交点的横坐标大于1,由得x2+(3-a)x+a=0,由Δ2=(3-a)2-4a>0得a>9(a<1舍去).故a>9时恰有四个交点.综上,a∈(0,1)∪(9,+∞).23.(2022山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，15)已知,有且仅有一个零点时，则的取值范围是           .[答案]23. 或[解析]23. 令，因为是定义域的减函数，而是定义域的增函数，所以当时为减函数，其值域为；，欲使函数只有一30\n个零点，只需使函数的图像与函数的图像有一个交点即可，因此可得或.24.(2022重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考，13)的零点个数是.[答案]24.0个[解析]24.  函数的图象如图，由图知零点的个数是0个.25.(2022北京东城高三第二学期教学检测，11)若函数有零点，则的取值范围为_______.[答案]25.或[解析]25. 由已知，所以不是零点。从而函数有零点等价于方程有解.设，故的范围是函数的值域.，易得在单调递减，单调递减，单调递增.又当时，，当时，为最小值，所以.故的值域是，从而或26.(2022湖北武汉高三2月调研测试，14)已知函数f(x)＝sin2x＋2cos2x＋m在区间[0，]上的最大值为3，则（Ⅰ）m＝  ；（Ⅱ）对任意a∈R，f(x)在[a，a＋20π]上的零点个数为    ．30\n[答案]26. （1）0；（2）40或41[解析]26. （1）＝因为：，所以， ，所以，，.（2）由（1），周期，在长为的闭区间内有两个或三个零点，区间的长度为十个周期，故零点个数为40个或41个.27.(2022湖南株洲高三教学质量检测（一），13)若关于的方程有四个不同的实数根，则的取值范围是           .[答案]27. [解析]27.   由方程有四个不同的实数根，是其中1个根，当时，方程有三个不同的实根，即函数与应有3个不同的交点，如图，显然不成立，当时，与的图象有一个交点，只需与的图象有2个交点即可，联立方程组，消去得，由，解得或（舍去），30\n即当时，与的图象有2个交点，综上所述，的取值范围是.28.(2022河南郑州高中毕业班第一次质量预测,16)定义在上的函数的单调增区间为，若方程恰有6个不同的实根，则实数的取值范围是__________.[答案]28. [解析]28. ，又函数的递增区间为，，即，，又恰有6个不同的实根，等价于恰有6个不同的实根，即，要使恰有6个不同的实根，也就是方程各有3个不同的实根，，，当得，此时函数单调递增，当得或，此时函数单调递减，当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，此时必有，即，，故.29.(2022湖北黄冈高三期末考试)定义在上的偶函数，满足，都有，且当时，.若函数在上有三个零点，则的取值范围是         .[答案]29. [解析]29.由函数是偶函数，则，令，又对都有成立，则，即，是周期为2的函数，又当时，，又，，由得，分别作与的图象，若不满足条件，当时，要函数在上有三个零点，则30\n，即.30.(2022北京东城高三12月教学质量调研)给定下列四个命题：①，使成立；②，都有；③若一个函数没有减区间，则这个函数一定是增函数；④若一个函数在为连续函数，且，则这个函数在上没有零点.其中真命题个数是       .[答案]30.  1[解析]30. ①方程无整数解，假命题；②由，则恒成立，所以②是真命题；③这个函数可能是常数函数，故是假命题；④可能有零点，故错误.故真命题个数是②，正确的个数是1个.31.(2022天津,20,14分)设f(x)=x-aex(a∈R),x∈R.已知函数y=f(x)有两个零点x1,x2,且x1<x2.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)证明随着a的减小而增大;(Ⅲ)证明x1+x2随着a的减小而增大.[答案]31.查看解析[解析]31.(Ⅰ)由f(x)=x-aex,可得f'(x)=1-aex,下面分两种情况讨论:①a≤0时,f'(x)>0在R上恒成立,可得f(x)在R上单调递增,不合题意.②a>0时,由f'(x)=0,得x=-lna.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-lna)-lna(-lna,+∞)f'(x)+0-f(x)↗-lna-1↘这时,f(x)的单调递增区间是(-∞,-lna);单调递减区间是(-lna,+∞).于是,“函数y=f(x)有两个零点”等价于如下条件同时成立:(i)f(-lna)>0;(ii)存在s1∈(-∞,-lna),满足f(s1)<0;(iii)存在s2∈(-lna,+∞),满足f(s2)<0.由f(-lna)>0,即-lna-1>0,解得0<a<e-1.而此时,取s1=0,满足s1∈(-∞,-ln30\na),且f(s1)=-a<0;取s2=+ln,满足s2∈(-lna,+∞),且f(s2)=+<0.所以a的取值范围是(0,e-1).(Ⅱ)证明:由f(x)=x-aex=0,有a=.设g(x)=,由g'(x)=,知g(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.并且,当x∈(-∞,0]时,g(x)≤0;当x∈(0,+∞)时,g(x)>0.由已知,x1,x2满足a=g(x1),a=g(x2).由a∈(0,e-1),及g(x)的单调性,可得x1∈(0,1),x2∈(1,+∞).对于任意的a1,a2∈(0,e-1),设a1>a2,g(ξ1)=g(ξ2)=a1,其中0<ξ1<1<ξ2;g(η1)=g(η2)=a2,其中0<η1<1<η2.因为g(x)在(0,1)上单调递增,故由a1>a2,即g(ξ1)>g(η1),可得ξ1>η1;类似可得ξ2<η2.又由ξ1,η1>0,得<<.所以随着a的减小而增大.(Ⅲ)证明:由x1=a,x2=a,可得lnx1=lna+x1,lnx2=lna+x2.故x2-x1=lnx2-lnx1=ln.设=t,则t>1,且解得x1=,x2=.所以x1+x2=.(*)令h(x)=,x∈(1,+∞),则h'(x)=.令u(x)=-2lnx+x-,得u'(x)=.当x∈(1,+∞)时,u'(x)>0.因此,u(x)在(1,+∞)上单调递增,故对于任意的x∈(1,+∞),u(x)>u(1)=0,由此可得h'(x)>0,故h(x)在(1,+∞)上单调递增.因此,由(*)可得x1+x2随着t的增大而增大.而由(Ⅱ),知t随着a的减小而增大,所以x1+x2随着a的减小而增大.32.(2022山西太原高三模拟考试（一），21)已知函数，.30\n  （I）若函数在区间（0,）无零点，求实数的最小值；  （Ⅱ）若对任意给定的，在上方程总存在两个不等的实根，求实数的取值范围.[答案]32.查看解析[解析]32.30\n33.（2022广东汕头普通高考模拟考试试题，21）已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间；(Ⅱ)试探究函数在定义域内是否存在零点，若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由；(Ⅲ)若，且在上恒成立，求实数的取值范围.[答案]33.查看解析30\n[解析]33.(Ⅰ)由，当时，则有函数在区间单调递增；当时，,，函数的单调增区间为，单调减区间为，综合①②的当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为.（5分)(Ⅱ)函数定义域为，又，令，则，(7分)，故函数在上单调递减，在上单调递增，，(8分)有由（1）知当时，对，有，即，当且趋向0时，趋向，随着的增长，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢。故当且趋向时，趋向，得到函数的草图如图所示，30\n故①当时，函数有两个不同的零点；②当时，函数有且仅有一个零点；③当时，函数无零点；(10分)（3）由（2）知当时，，故对，先分析法证明：要证只需证即证构造函数故函数在单调递增，，则成立.(12分)①当时，由（1）知，函数在单调递增，则在上恒成立.②当时，由（1）知，函数在单调递增，在单调递减，故当时，，所以，则不满足题意.综合①②得，满足题意的实数的取值范围.(14分)30\n34.(2022广东广州高三调研测试，20)设函数，.(Ⅰ)若曲线与在它们的交点处有相同的切线，求实数，的值；(Ⅱ)当时，若函数在区间内恰有两个零点，求实数的取值范围；(Ⅲ)当，时，求函数在区间上的最小值.[答案]34.查看解析[解析]34.解：(Ⅰ)因为，，所以，.因为曲线与在它们的交点处有相同切线,所以,且.即,且,解得，.（3分）(Ⅱ)当时，，所以.令，解得，.当变化时，，的变化情况如下表：0030\n↗极大值↘极小值↗所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.（5分）故在区间内单调递增，在区间内单调递减.从而函数在区间内恰有两个零点，当且仅当，即，解得.所以实数的取值范围是.（8分）(Ⅲ)当，时，.所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.由于，，所以.（9分）①当，即时，.②当时，.③当时，在区间上单调递增，.综上可知，函数在区间上的最小值为（14分）35.（2022山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，21）已知函数30\n．  (I)求函数的零点的个数；  (Ⅱ)令，若函数在(0，)内有极值，求实数a的取值范围；  (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，对任意，求证：[答案]35.查看解析[解析]35.30\n36.(2022湖北八市高三下学期3月联考，22)定义在R上的函数及二次函数满足：且。（I）求和的解析式；（II）；（III）设，讨论议程的解的个数情况．[答案]36.查看解析[解析]36. (Ⅰ),①即②由①②联立解得:.   ………………………………………………………………2分是二次函数,且,可设,由,解得..………………………………………………………………4分30\n(Ⅱ)设,,依题意知:当时,,在上单调递减,    ………………………………………………………………6分在上单调递增,解得:实数的取值范围为.……………………………9分(Ⅲ)设,由(Ⅱ)知,的图象如图所示:设,则当,即时,,有两个解,有个解;当,即时,且,有个解;……………………………………………………………………………………………………………11分当,即时,,有个解;当,即时,,有个解.……13分综上所述:当时,方程有个解;30\n当时,方程有个解;当时,方程有个解;当时,方程有个解.…………………………………………………………………14分37.(2022湖南株洲高三教学质量检测（一），21)设函数.   （Ⅰ）求函数的单调区间   (Ⅱ)若函数有两个零点，，且，求证：[答案]37.查看解析[解析]37. （Ⅰ），当时，，函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间为， （4分）当时，由，得；由，得所以函数的单调增区间为，单调减区间为  ，   （6分）   (Ⅱ)因为是函数的两个零点，有则，两式相减得即所以，又因为，当时，；当时，故只要证即可，即证明, （10分）即证明，即证明，设.令，则，因为，所以，当且仅当时，所以在是增函数；又因为，所以当时，总成立.所以原题得证.　　　　   (13分)30\n38.（2022陕西宝鸡高三质量检测(一)，21）已知函数，设  （Ⅰ）求函数的单调区间；  （Ⅱ）若以函数图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；  （Ⅲ）是否存在实数，使得函数的图象与函数的图象恰有四个不同交点？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.[答案]38.查看解析[解析]38. （Ⅰ），∵，由得，∴在上是增函数.由得，∴在上是减函数.∴的单调递减区间为，单调递增区间为. （4分）（Ⅱ）由，得恒成立，即恒成立.∵当时，取得最大值，∴，的最小值为. （8分）（Ⅲ）若的图像与的图像恰有四个不同交点，即有四个不同的根，亦即有四个不同的根.令.则(x)=.当变化时、的变化情况如下表： （-¥，-1）（-1,0）（0,1）（1，+¥）的符号 +-+ -的单调性↗↘↗ ↘ 由上表知：,，画出草图和验证，可知，当时，与恰有四个不同交点.∴当时，的图像与的图像恰有四30\n个不同交点.39.(2022广州高三调研测试,20)设函数，.（Ⅰ）若曲线与在它们的交点处有相同的切线，求实数，的值；（Ⅱ）当时，若函数在区间内恰有两个零点，求实数的取值范围；（Ⅲ）当，时，求函数在区间上的最小值.[答案]39.查看解析[解析]39.       解析　（Ⅰ）因为，，所以，.因为曲线与在它们的交点处有相同切线,所以,且。即,且,解得.　　（3分）       （Ⅱ）当时，，所以.令，解得.当变化时，的变化情况如下表：00↗极大值↘极小值↗所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.故在区间内单调递增，在区间内单调递减.从而函数在区间内恰有两个零点，当且仅当30\n即解得.所以实数的取值范围是.         （8分）       （Ⅲ）当，时，.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.由于，，所以.①当，即时，.②当时，.　　        （12分）③当时，在区间上单调递增，.综上可知，函数在区间上的最小值为　　  （14分）30