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【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学 高考必会题型 专题4 三角函数与平面向量 第19练 三角函数的图象与性质

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第19练 三角函数的图象与性质题型一 三角函数的图象例1 (2022·四川改编)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,-<φ<)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是________.破题切入点 考查“五点作图法”的逆用,由图象求解析式,先看周期,再看什么时候取得最值以及函数零点等.答案 2,-解析 T=-,T=π,∴ω=2,∴2×+φ=2kπ+,k∈Z,∴φ=2kπ-,k∈Z.又φ∈,∴φ=-.题型二 三角函数的简单性质例2 (2022·山东)设函数f(x)=-sin2ωx-sinωx·cosωx(ω>0),且y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求ω的值;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.破题切入点 (1)先根据倍角公式以及两角和与差的三角函数公式将f(x)的解析式化简为“一角一函数名”的形式,然后根据“y=f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为”确定该函数的周期,代入周期公式即可求出ω的值;(2)先根据(1)确定函数解析式,然后利用给定区间确定f(x)的区间,根据该函数在区间上的图象即可确定所求函数的最值.解 (1)f(x)=-sin2ωx-sinωxcosωx=-×-sin2ωx-9-\n=cos2ωx-sin2ωx=-sin.依题意知=4×,ω>0,所以ω=1.(2)由(1)知f(x)=-sin.当π≤x≤时,≤2x-≤.所以-≤sin≤1.所以-1≤f(x)≤.故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为,-1.题型三 三角函数图象的变换例3 已知函数f(x)=sin(ωx+),其中ω>0,且函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于.若函数f(x)的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数,则最小正实数m=________.破题切入点 由相邻两对称轴间距离得出周期进而求出ω,再由平移后为偶函数得出m的最小值.答案 解析 依题意,可得=,又T=,故ω=3,所以f(x)=sin(3x+).函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)=sin[3(x+m)+].g(x)是偶函数当且仅当3m+=kπ+(k∈Z),即m=+(k∈Z),从而最小正实数m=.总结提高 (1)利用三角函数图象确定解析式的基本步骤:①最值定A:即根据给定函数图象确定函数的最值即可确定A的值.②-9-\n周期定ω:即根据给定函数图象的特征确定函数的周期,利用周期计算公式T=求解ω.③最值点定φ:即根据函数图象上的最高点或最低点的坐标,代入函数解析式求解φ的取值,注意利用中心点求解φ时,要验证该点所在的单调区间以确定φ,否则会产生增解.(2)三角函数的简单性质主要包括:定义域、值域、对称性、奇偶性、周期性和单调性,对称性注意各三角函数的对称中心和对称轴,求解奇偶性时首先应利用诱导公式将函数化成最简再去研究,周期性的求解注意公式中应为|ω|而不是ω,单调性要将x的系数化成正的.本部分题目注意要将ωx+φ当作一个整体.(3)对于三角函数图象变换问题,平移变换规则是“左加右减上加下减”并且在变换过程中只变换其中的自变量x,要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向,当两个函数的名称不同时,首先要将函数名称统一,其次把ωx+φ写成ω(x+)最后确定平移的单位和方向.伸缩变换时注意叙述为“变为原来的”这个字眼,变换的倍数要根据横向和纵向,要加以区分.1.已知函数y=Asin(ωx+φ)+k(0<φ<)的最大值为4,最小值为0,最小正周期为,直线x=是其图象的一条对称轴,则函数解析式为________.答案 y=2sin(4x+)+2解析 由题意得解得又函数y=Asin(ωx+φ)+k的最小正周期为,所以ω==4,所以y=2sin(4x+φ)+2.又直线x=是函数图象的一条对称轴,所以4×+φ=kπ+(k∈Z),所以φ=kπ-(k∈Z),又∵0<φ<,故φ=.故得y=2sin(4x+)+2.2.已知函数f(x)=sin2ωx+sinωx·cosωx,x∈R,又f(α)=-,f(β)=,若|α-β|的最小值为,则正数ω的值为________.答案 -9-\n解析 f(x)=+sin2ωx=sin2ωx-cos2ωx+=sin(2ωx-)+,又由f(α)=-,f(β)=,且|α-β|的最小值为可知T=3π,于是ω=.3.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,|φ|<)的图象如图所示,为了得到g(x)=sin3x的图象,则只要将f(x)的图象向________平移________个单位长度.(答案不唯一)答案 右 解析 由题意,得函数f(x)的周期T=4=,ω=3,所以sin=-1,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=sin=sin,所以将函数f(x)的图象向右平移个单位长度可以得到函数g(x)=sin3x的图象.4.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<),y=f(x)的部分图象如图所示,则f()=________.答案 解析 由图象知,T==2(-)=,ω=2.由2×+φ=kπ,k∈Z,得φ=kπ-,k∈Z.又∵|φ|<,∴φ=.由Atan(2×0+)=1,知A=1,∴f(x)=tan(2x+),-9-\n∴f()=tan(2×+)=tan=.5.若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间[0,]上单调递增,在区间[,]上单调递减,则ω=________.答案 解析 由题意知f(x)的一条对称轴为直线x=,和它相邻的一个对称中心为原点,则f(x)的周期T=,从而ω=.6.将函数f(x)=-4sin的图象向右平移φ个单位,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍,所得图象关于直线x=对称,则φ的最小正值为________.答案 π解析 依题意可得y=f(x)⇒y=-4sin[2(x-φ)+]=-4sin[2x-(2φ-)]⇒y=g(x)=-4sin[4x-(2φ-)],因为所得图象关于直线x=对称,所以g=±4,得φ=π+π(k∈Z).故φ的最小正值为.7.已知函数f(x)=3sin(ωx-)(ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)+1的图象的对称轴完全相同.若x∈[0,],则f(x)的取值范围是________.答案 [-,3]解析 ∵f(x)和g(x)的对称轴完全相同,∴二者的周期相同,即ω=2,f(x)=3sin(2x-).∵x∈[0,],∴2x-∈[-,],sin(2x-)∈[-,1],-9-\n∴f(x)∈[-,3].8.(2022·北京)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间上具有单调性,且f=f=-f,则f(x)的最小正周期为________.答案 π解析 ∵f(x)在上具有单调性,∴≥-,∴T≥.∵f=f,∴f(x)的一条对称轴为x==.又∵f=-f,∴f(x)的一个对称中心的横坐标为=.∴T=-=,∴T=π.9.函数f(x)=sin(x∈R)的图象为C,以下结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号)①图象C关于直线x=对称;②图象C关于点对称;③函数f(x)在区间内是增函数;④由y=sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.答案 ①②③解析 当x=时,f=sin=sin=sin=-1,为最小值,所以图象C关于直线x=对称,所以①正确;当x=时,f=sin=sinπ=0,图象C关于点对称,所以②正确;当-≤x≤时,-≤2x-≤-9-\n,此时函数单调递增,所以③正确;y=sin2x的图象向右平移个单位长度,得到y=sin2=sin,所以④错误,所以正确的是①②③.10.已知函数f(x)=sinωx·cosωx+cos2ωx-(ω>0),直线x=x1,x=x2是y=f(x)图象的任意两条对称轴,且|x1-x2|的最小值为.(1)求f(x)的表达式;(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,若关于x的方程g(x)+k=0在区间上有且只有一个实数解,求实数k的取值范围.解 (1)f(x)=sin2ωx+-=sin2ωx+cos2ωx=sin,由题意知,最小正周期T=2×=,T===,所以ω=2,所以f(x)=sin.(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到y=sin的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到y=sin的图象.所以g(x)=sin.令2x-=t,∵0≤x≤,∴-≤t≤.g(x)+k=0在区间上有且只有一个实数解,即函数g(x)=sint与y=-k在区间上有且只有一个交点.如图,由正弦函数的图象可知-≤-k<或-k=1.所以-<k≤或k=-1.11.(2022·天津)已知函数f(x)=cosx·sin(x+)-cos2x+,x∈R.-9-\n(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在闭区间[-,]上的最大值和最小值.解 (1)由已知,有f(x)=cosx·(sinx+cosx)-cos2x+=sinx·cosx-cos2x+=sin2x-(1+cos2x)+=sin2x-cos2x=sin(2x-).所以f(x)的最小正周期T==π.(2)因为f(x)在区间[-,-]上是减函数,在区间[-,]上是增函数,f(-)=-,f(-)=-,f()=,所以,函数f(x)在闭区间[-,]上的最大值为,最小值为-.12.已知函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0),g(x)=tanx,它们的最小正周期之积为2π2,f(x)的最大值为2g().(1)求f(x)的单调递增区间;(2)设h(x)=f2(x)+2cos2x.当x∈[a,)时,h(x)有最小值为3,求a的值.解 (1)由题意,得·π=2π2,所以ω=1.又A=2g()=2tanπ=2tan=2,所以f(x)=2sin(x+).令2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z).故f(x)的单调递增区间为[2kπ-,2kπ+](k∈Z).(2)因为h(x)=f2(x)+2cos2x-9-\n=×4×sin2(x+)+2cos2x=3(sinx+cosx)2+2cos2x=3+3sin2x+(cos2x+1)=3++2sin(2x+),又h(x)有最小值为3,所以有3++2sin(2x+)=3,即sin(2x+)=-.因为x∈[a,),所以2x+∈[2a+,),所以2a+=-,即a=-.-9-

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发布时间:2022-08-26 00:16:20 页数:9
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文章作者:U-336598

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