【考前三个月】（江苏专用）2022高考数学 高考必会题型 专题4 三角函数与平面向量 第20练 解三角形问题 (1)

第20练　解三角形问题题型一　活用正、余弦定理求解三角形问题例1　(1)(2022·辽宁改编)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a＞b，则B＝________.(2)在△ABC中，acosA＝bcosB，则△ABC的形状为________．破题切入点　(1)先由正弦定理对已知三角关系式进行转化，然后利用三角恒等变换公式进行化简，可求得sinB的值，再结合a>b的条件即可判断得出结果．(2)可以先利用余弦定理将条件化为边的形式，再进行判断；或者先利用正弦定理将条件化为角的形式，再转化判断即可．答案　(1)　(2)等腰三角形或直角三角形解析　(1)由条件得sinBcosC＋sinBcosA＝，依正弦定理，得sinAcosC＋sinCcosA＝，∴sin(A＋C)＝，从而sinB＝，又a＞b，且B∈(0，π)，因此B＝.(2)方法一　因为acosA＝bcosB，所以由余弦定理，得a×＝b×，即a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，所以(a2＋b2－c2)(a2－b2)＝0.所以a2＋b2＝c2或a＝b.所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．方法二　因为acosA＝bcosB，由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，所以sin2A＝sin2B.又A，B为△ABC的内角，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．题型二　正、余弦定理在解决实际问题中的应用技巧-9-\n例2　(2022·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量cosA＝，cosC＝.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？破题切入点　(1)在△ABC中，已知两角及一边长，利用同角三角函数的基本关系式及三角形内角和求得第三个角，再由正弦定理即可求得AB的长；(2)设出在乙出发tmin后甲、乙距离最短时所行走的距离，再利用余弦定理即可求得结果；(3)在△ABC中，利用正弦定理求得BC的长，再分别计算出甲、乙到达C点的时间，然后由甲、乙在C处相互等待不超过3min为条件列出不等式计算即可求得．解　(1)在△ABC中，因为cosA＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝.从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.由正弦定理＝，得AB＝×sinC＝×＝1040(m)．所以索道AB的长为1040m.(2)假设乙出发tmin后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)，由于0≤t≤，即0≤t≤8，故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理＝，得BC＝×sinA＝×＝500(m)．乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m才能到达C.-9-\n设乙步行的速度为vm/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内．题型三　解三角形中相关交汇性问题例3　已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(sinB,1－cosB)与向量n＝(2,0)的夹角θ的余弦值为.(1)求角B的大小；(2)若b＝，求a＋c的范围．破题切入点　(1)根据向量的数量积求两向量的夹角，然后利用同角三角函数关系式及二倍角公式进行恒等变形即可解决问题；(2)消元后，利用两角和的正弦公式把sinA＋sinC化为sin(A＋)，并求出sin(A＋)的取值范围，再根据正弦定理，求出a＋c的范围，也可以利用余弦定理结合基本不等式求出a＋c的范围．解　(1)因为m＝(sinB,1－cosB)，n＝(2,0)，所以m·n＝2sinB.又|m|＝＝＝＝＝2|sin|，因为0<B<π，0<<，所以sin>0，因为|m|＝2sin.而|n|＝2，所以cosθ＝＝＝＝cos，即cos＝.由0<B<π，得＝，所以B＝.-9-\n(2)方法一　由B＝，得A＋C＝.所以sinA＋sinC＝sinA＋sin(－A)＝sinA＋(sincosA－cossinA)＝sinA＋cosA＝sin(A＋)．又0<A<，所以<A＋<.所以<sin(A＋)≤1.所以sinA＋sinC∈(，1]．由正弦定理，得＝＝＝＝2，所以a＋c＝2sinA＋2sinC＝2(sinA＋sinC)．所以a＋c∈(，2]．方法二　由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos＝(a＋c)2－2ac＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－()2＝，当且仅当a＝c时，取等号．所以(a＋c)2≤4，故a＋c≤2.又a＋c>b＝，所以<a＋c≤2，即a＋c∈(，2]．总结提高　(1)在根据正、余弦定理解三角形问题中，要结合大边对大角进行判断．一般地，斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，有两解，已知大角求小角有一解；在解三角形问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号防止增解等扩大范围的现象．(2)在求解三角形的实际问题时，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、仰角、俯角等，其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用，再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识，建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答．1．(2022·陕西改编)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为________三角形．答案　直角解析　由bcosC＋ccosB＝asinA，得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A-9-\n，所以sinA＝1，由0<A<π，得A＝，所以△ABC为直角三角形．2．(2022·课标全国Ⅱ改编)钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝________.答案　解析　∵S＝AB·BCsinB＝×1×sinB＝，∴sinB＝，∴B＝或.当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2＋2＝5，∴AC＝，此时△ABC为钝角三角形，符合题意；当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2－2＝1，∴AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意．故AC＝.3．(2022·江西改编)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是________．答案　解析　∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①∵C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab.②由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.∴S△ABC＝absinC＝×6×＝.4．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝________.答案　解析　设CD为AB边上的高，则由题设知BD＝CD＝，∴AD＝－＝，AC＝＝，-9-\n∴sin∠BAC＝sin(π－∠BAC)＝＝.5．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为________．答案　解析　∵a2＋b2＋2ab－c2＝4，cosC＝＝，∴＝，∴ab＝.6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝2A，cosA＝，b＝5，则△ABC的面积为________．答案　解析　cosA＝，cosC＝2cos2A－1＝，sinC＝，tanC＝3，如图，设AD＝3x，AB＝4x，CD＝5－3x，BD＝x.在Rt△DBC中，tanC＝＝＝3，解之得：BD＝x＝，S△ABC＝BD·AC＝.7．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别是a，b，c，C＝，c＝，则的值为________．答案　4解析　由正弦定理，得＝⇒a＝2sinA.所以＝＝＝4.8．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2，B＝且sin2A＋sin(A－C)＝sinB，则△ABC的面积为________．答案　-9-\n解析　∵sin2A＝sinB－sin(A－C)，∴2sinAcosA＝sin(A＋C)－sin(A－C)，∴2sinAcosA＝2cosAsinC.∵△ABC是锐角三角形，∴cosA≠0，∴sinA＝sinC，即A＝C＝B＝，∴S△ABC＝×2×2×＝.9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，a＝，则b2＋c2的取值范围为________．答案　(3,6]解析　由正弦定理，得＝＝＝2，b＝2sinB，c＝2sinC，所以b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C)＝2(1－cos2B＋1－cos2C)＝4－2cos2B－2cos2(－B)＝4＋sin2B－cos2B＝4＋2sin(2B－)．又0<B<，所以－<2B－<.所以－1<2sin(2B－)≤2.所以3<b2＋c2≤6.10．(2022·课标全国Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为________．答案　解析　∵＝＝＝2R，a＝2，又(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC可化为(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c，∴a2－b2＝c2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.∴＝＝＝cosA，∴A＝60°.∵△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos60°＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(当且仅当b＝c时取“＝”)，∴S△ABC＝·bc·sinA≤×4×＝.-9-\n11.如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦察发现，在南偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民．此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的距离赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？(≈1.41，≈1.73，≈2.45)解　如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.因为∠CAD＝45°，AC＝10海里，所以△ACD是等腰直角三角形．所以AD＝CD＝AC＝×10＝5(海里)．在Rt△ABD中，因为∠DAB＝60°，所以BD＝AD×tan60°＝5×＝5(海里)．所以BC＝BD－CD＝(5－5)海里．因为中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行，所以中国海监船到达C点所用的时间t1＝＝＝(小时)，某国军舰到达C点所用的时间t2＝＝≈＝0.4(小时)．因为<0.4，所以中国海监船能及时赶到．12．在△ABC中，角A为锐角，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m＝(cosA，sinA)，n＝(cosA，－sinA)，且m与n的夹角为.(1)求m·n的值及角A的大小；(2)若a＝，c＝，求△ABC的面积S.解　(1)因为|m|＝＝1，|n|＝＝1，所以m·n＝|m|·|n|·cos＝.因为m·n＝cos2A－sin2A＝cos2A，所以cos2A＝.-9-\n因为0<A<，0<2A<π，所以2A＝，A＝.(2)因为a＝，c＝，A＝，及a2＝b2＋c2－2bccosA，所以7＝b2＋3－3b，即b2－3b－4＝0，解得b＝－1(舍去)或b＝4.所以S＝bcsinA＝×4××sin＝.-9-