首页
登录
字典
词典
成语
近反义词
字帖打印
造句
组词
古诗
谜语
书法
文言文
歇后语
三字经
百家姓
单词
翻译
会员
投稿
首页
同步备课
小学
初中
高中
中职
试卷
小升初
中考
高考
职考
专题
文库资源
您的位置:
首页
>
高考
>
二轮专题
>
【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学 高考必会题型 专题4 三角函数与平面向量 第22练 关于平面向量数量积运算的三类经典题型
【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学 高考必会题型 专题4 三角函数与平面向量 第22练 关于平面向量数量积运算的三类经典题型
资源预览
文档简介为自动调取,内容显示的完整度及准确度或有误差,请您下载后查看完整的文档内容。
侵权申诉
举报
1
/11
2
/11
剩余9页未读,
查看更多内容需下载
充值会员,即可免费下载
文档下载
第22练 关于平面向量数量积运算的三类经典题型题型一 平面向量数量积的基本运算例1 已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为切点,那么·的最小值为________.破题切入点 对于四边形OAPB中变化的量,可以是切线的长度、也可以是∠APB,这两个变化的量都可以独立地控制四边形OAPB.因此可以用这两个量中的一个来表示·;还可以建立平面直角坐标系,使问题数量化.答案 -3+2解析 方法一 设||=||=x,∠APB=θ,则tan=,从而cosθ==.·=||·||·cosθ=x2·===x2+1+-3≥2-3,当且仅当x2+1=,即x2=-1时取等号,故·的最小值为2-3.方法二 设∠APB=θ,0<θ<π,则||=||=.·=||||cosθ=()2cosθ-11-\n=·(1-2sin2)=.令x=sin2,0<x≤1,则·==2x+-3≥2-3,当且仅当2x=,即x=时取等号.故·的最小值为2-3.方法三 以O为坐标原点,建立平面直角坐标系xOy,则圆O的方程为x2+y2=1,设A(x1,y1),B(x1,-y1),P(x0,0),则·=(x1-x0,y1)·(x1-x0,-y1)=x-2x1x0+x-y.由OA⊥PA⇒·=(x1,y1)·(x1-x0,y1)=0⇒x-x1x0+y=0,又x+y=1,所以x1x0=1.从而·=x-2x1x0+x-y=x-2+x-(1-x)=2x+x-3≥2-3.故·的最小值为2-3.题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角例2 若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量b与a+b的夹角为________.破题切入点 先把向量模之间的关系平方之后转化为向量数量积之间的关系,然后分别求出所求向量的数量积与模,代入公式求解即可;也可利用向量的几何意义转化为三角形中的问题求解.答案 解析 方法一 由已知,得|a+b|=|a-b|,将等式两边分别平方,-11-\n整理可得a·b=0.①由已知,得|a+b|=2|a|,将等式两边分别平方,可得a2+b2+2a·b=4a2.②将①代入②,得b2=3a2,即|b|=|a|.而b·(a+b)=a·b+b2=b2,故cos〈b,a+b〉====.又〈b,a+b〉∈[0,π],所以〈b,a+b〉=.方法二 如图,作=a,=b,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则=a+b,=a-b.由|a+b|=|a-b|=2|a|,可得||=||=2||,所以平行四边形OACB是矩形,==a.从而||=2||.在Rt△BOC中,||==||,故cos∠BOC==,所以∠BOC=.-11-\n从而〈b,a+b〉=∠BOC=.题型三 利用数量积求向量的模例3 已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为________.破题切入点 建立平面直角坐标系,利用点坐标表示出各向量,或用向量的关系一一代换得出最简式,从而求出最小值.答案 5解析 方法一 以D为原点,分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设DC=a,DP=x.∴D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x),=(2,-x),=(1,a-x),∴+3=(5,3a-4x),|+3|2=25+(3a-4x)2≥25,∴|+3|的最小值为5.方法二 设=x(0<x<1),∴=(1-x),=-=-x,=+=(1-x)+,∴+3=+(3-4x),|+3|2=2+2××(3-4x)·+(3-4x)2·2=25+(3-4x)22≥25,∴|+3|的最小值为5.总结提高 (1)平面向量数量积的运算有两种形式:一是依据模和夹角,二是利用坐标运算,具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择,注意两向量a,b的数量积a·b与代数中a,b的乘积写法不同,不应该漏掉其中的“·”.(2)求向量的夹角时要注意:①向量的数量积不满足结合律,②-11-\n数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角.1.(2022·课标全国Ⅱ改编)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=________.答案 1解析 |a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=10,|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=6,将上面两式左右两边分别相减,得4a·b=4,∴a·b=1.2.(2022·四川改编)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=________.答案 2解析 因为a=(1,2),b=(4,2),所以c=ma+b=(m,2m)+(4,2)=(m+4,2m+2).根据题意可得=,所以=,解得m=2.3.(2022·江西)设e1,e2为单位向量,且e1,e2的夹角为,若a=e1+3e2,b=2e1,则向量a在b方向上的投影为________.答案 解析 a在b方向上的投影为|a|cos〈a,b〉=.∵a·b=(e1+3e2)·2e1=2e+6e1·e2=5.|b|=|2e1|=2.∴=.4.如图,在等腰直角△ABO中,OA=OB=1,C为AB上靠近点A的四等分点,过C作AB的垂线l,P为垂线上任一点,设=a,=b,=p,则p·(b-a)=________.答案 --11-\n解析 以OA,OB所在直线分别作为x轴,y轴,O为坐标原点建立平面直角坐标系,则A(1,0),B(0,1),C(,),直线l的方程为y-=x-,即x-y-=0.设P(x,x-),则p=(x,x-),而b-a=(-1,1),所以p·(b-a)=-x+(x-)=-.5.在平面上,⊥,||=||=1,=+.若||<,则||的取值范围是________.答案 (,]解析 由题意,知B1,B2在以O为圆心的单位圆上,点P在以O为圆心,为半径的圆的内部.又⊥,=+,所以点A在以B1B2为直径的圆上,当P与O点重合时,||取得最大值,当P在半径为的圆周上时,||取得最小值.6.(2022·江苏)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,·=2,则·的值是________.-11-\n答案 22解析 由=3,得==,=+=+,=-=+-=-.因为·=2,所以(+)·(-)=2,即2-·-2=2.又因为2=25,2=64,所以·=22.7.(2022·湖北)设向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),则实数λ=________.答案 ±3解析 由题意得,(a+λb)·(a-λb)=0,即a2-λ2b2=18-2λ2=0,解得λ=±3.8.设非零向量a,b的夹角为θ,记f(a,b)=acosθ-bsinθ.若e1,e2均为单位向量,且e1·e2=,则向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为________.答案 解析 由e1·e2=,可得cos〈e1,e2〉==,故〈e1,e2〉=,〈e2,-e1〉=π-〈e2,e1〉=.f(e1,e2)=e1cos-e2sin=e1-e2,f(e2,-e1)=e2cos-(-e1)sin=e1-e2.f(e1,e2)·f(e2,-e1)=(e1-e2)·(e1-e2)=-e1·e2=0,所以f(e1,e2)⊥f(e2,-e1).故向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为.9.在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足||=||=·=2,则点集{P|=λ+μ,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是________.答案 4解析 方法一 (坐标法)由||=||=·=2,可得∠AOB=.又A,B是定点,可设A(,1),B(0,2),P(x,y).由=λ+μ,可得⇒因为|λ|+|μ|≤1,-11-\n所以|x|+|-x|≤1.整理,得2|x|+|y-x|≤2.当x≥0,且y-x≥0时,不等式为x+y≤2;当x≥0,且y-x<0时,不等式为x-y≤2;当x<0,且y-x≥0时,不等式为x-y≥-2;当x<0,且y-x<0时,不等式为x+y≥-2.画出不等式所表示的可行域,如图中的阴影部分所示.求得E(0,2),F(-,-1),C(0,-2),D(,1).显然该平面区域是一个矩形,边长EF=2,ED=2,故该平面区域的面积S=EF×ED=4.方法二 (向量法)由||=||=·=2,知〈,〉=.当λ≥0,μ≥0,λ+μ=1时,在△OAB中,取=λ,过点C作CD∥OB交AB于点D,作OE∥AB交OB于点E,显然=λ+.由于==1-λ,所以=(1-λ).于是=λ+(1-λ)=λ+μ=.故当λ+μ=1时,点P在线段AB上.所以λ≥0,μ≥0,λ+μ≤1时,点P必在△OAB内(包括边界).考虑|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R的其他情形,点P构成的集合恰好是以AB为一边,以OA,OB为对角线一半的矩形,其面积S=4S△OAB=4××2×2sin=4.10.(2022·安徽)已知两个不相等的非零向量a,b,两组向量x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5均由2个a和3个b排列而成,记S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4+x5·y5,Smin表示S所有可能取值中的最小值,则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号).①S有5个不同的值;-11-\n②若a⊥b,则Smin与|a|无关;③若a∥b,则Smin与|b|无关;④若|b|>4|a|,则Smin>0;⑤若|b|=2|a|,Smin=8|a|2,则a与b的夹角为.答案 ②④解析 ∵xi,yi(i=1,2,3,4,5)均由2个a和3个b排列而成,∴S=xiyi,可能情况有以下三种:(1)S=2a2+3b2;(2)S=a2+2a·b+2b2;(3)S=4a·b+b2.∵2a2+3b2-(a2+2a·b+2b2)=a2+b2-2a·b=a2+b2-2|a||b|cosθ≥0,a2+2a·b+2b2-4a·b-b2=a2+b2-2a·b≥0,∴S的最小值为Smin=b2+4a·b.因此S最多有3个不同的值,故①不正确.当a⊥b时,S的最小值为Smin=b2与|a|无关,故②正确.当a∥b时,S的最小值为Smin=b2+4|a||b|或Smin=b2-4|a||b|与|b|有关,故③不正确.当|b|>4|a|时,Smin=b2+4|a||b|cosθ≥b2-4|a||b|=|b|(|b|-4|a|)>0,故④正确.当|b|=2|a|时,由Smin=b2+4a·b=8|a|2知,4a·b=4a2,即a·b=a2,∴|a||b|cosθ=a2,∴cosθ=,∴θ=,故⑤不正确.因此正确命题的编号为②④.11.已知向量a=(sinx,),b=(cosx,-1).(1)当a∥b时,求cos2x-sin2x的值;(2)设函数f(x)=2(a+b)·b,已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=,b=2,sinB=,求f(x)+4cos(2A+)(x∈[0,])的取值范围.解 (1)因为a∥b,所以cosx+sinx=0.所以tanx=-.故cos2x-sin2x===.(2)f(x)=2(a+b)·b-11-\n=2(sinx+cosx,-)·(cosx,-1)=sin2x+cos2x+=sin(2x+)+.由正弦定理,得=,所以sinA===.所以A=或A=.因为b>a,所以A=.所以f(x)+4cos(2A+)=sin(2x+)-.因为x∈[0,],所以2x+∈[,].所以-1≤f(x)+4cos(2A+)≤-.所以f(x)+4cos(2A+)的取值范围为[-1,-].12.在△ABC中,AC=10,过顶点C作AB的垂线,垂足为D,AD=5,且满足=.(1)求|-|;(2)存在实数t≥1,使得向量x=+t,y=t+,令k=x·y,求k的最小值.解 (1)由=,且A,B,D三点共线,可知||=||.又AD=5,所以DB=11.在Rt△ADC中,CD2=AC2-AD2=75,在Rt△BDC中,BC2=DB2+CD2=196,所以BC=14.所以|-|=||=14.(2)由(1),知||=16,||=10,||=14.由余弦定理,得cosA==.-11-\n由x=+t,y=t+,知k=x·y=(+t)·(t+)=t||2+(t2+1)·+t||2=256t+(t2+1)×16×10×+100t=80t2+356t+80.由二次函数的图象,可知该函数在[1,+∞)上单调递增,所以当t=1时,k取得最小值516.-11-
版权提示
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,莲山负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服vx:lianshan857处理。客服热线:13123380146(工作日9:00-18:00)
其他相关资源
2022年新教材高考数学一轮复习第6章平面向量复数3平面向量的数量积与平面向量的应用课件(人教版)
【高考总动员】2023高考数学大一轮复习 第4章 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例课时提升练 文 新人教版
高考总动员2022届高考数学大一轮复习第4章第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例课时提升练文新人教版
福建专用2022高考数学一轮复习课时规范练26平面向量的数量积与平面向量的应用理新人教A版
全国通用2022版高考数学考前三个月复习冲刺专题4第21练关于平面向量数量积运算的三类经典题型理
【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学 高考必会题型 专题4 三角函数与平面向量 第21练 平面向量中的线性问题
【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学 高考必会题型 专题4 三角函数与平面向量 第20练 解三角形问题 (1)
【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学 高考必会题型 专题4 三角函数与平面向量 第19练 三角函数的图象与性质
【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学 高考必会题型 专题4 三角函数与平面向量 第18练 三角函数化简与求值策略
文档下载
收藏
所属:
高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:16:19
页数:11
价格:¥3
大小:122.53 KB
文章作者:U-336598
分享到:
|
报错
推荐好文
MORE
统编版一年级语文上册教学计划及进度表
时间:2021-08-30
3页
doc
统编版五年级语文上册教学计划及进度表
时间:2021-08-30
6页
doc
统编版四年级语文上册计划及进度表
时间:2021-08-30
4页
doc
统编版三年级语文上册教学计划及进度表
时间:2021-08-30
4页
doc
统编版六年级语文上册教学计划及进度表
时间:2021-08-30
5页
doc
2021统编版小学语文二年级上册教学计划
时间:2021-08-30
5页
doc
三年级上册道德与法治教学计划及教案
时间:2021-08-18
39页
doc
部编版六年级道德与法治教学计划
时间:2021-08-18
6页
docx
部编五年级道德与法治上册教学计划
时间:2021-08-18
6页
docx
高一上学期语文教师工作计划
时间:2021-08-14
5页
docx
小学一年级语文教师工作计划
时间:2021-08-14
2页
docx
八年级数学教师个人工作计划
时间:2021-08-14
2页
docx
推荐特供
MORE
统编版一年级语文上册教学计划及进度表
时间:2021-08-30
3页
doc
统编版一年级语文上册教学计划及进度表
统编版五年级语文上册教学计划及进度表
时间:2021-08-30
6页
doc
统编版五年级语文上册教学计划及进度表
统编版四年级语文上册计划及进度表
时间:2021-08-30
4页
doc
统编版四年级语文上册计划及进度表
统编版三年级语文上册教学计划及进度表
时间:2021-08-30
4页
doc
统编版三年级语文上册教学计划及进度表
统编版六年级语文上册教学计划及进度表
时间:2021-08-30
5页
doc
统编版六年级语文上册教学计划及进度表
2021统编版小学语文二年级上册教学计划
时间:2021-08-30
5页
doc
2021统编版小学语文二年级上册教学计划
三年级上册道德与法治教学计划及教案
时间:2021-08-18
39页
doc
三年级上册道德与法治教学计划及教案
部编版六年级道德与法治教学计划
时间:2021-08-18
6页
docx
部编版六年级道德与法治教学计划
部编五年级道德与法治上册教学计划
时间:2021-08-18
6页
docx
部编五年级道德与法治上册教学计划
高一上学期语文教师工作计划
时间:2021-08-14
5页
docx
高一上学期语文教师工作计划
小学一年级语文教师工作计划
时间:2021-08-14
2页
docx
小学一年级语文教师工作计划
八年级数学教师个人工作计划
时间:2021-08-14
2页
docx
八年级数学教师个人工作计划