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【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学 高考必会题型 专题4 三角函数与平面向量 第22练 关于平面向量数量积运算的三类经典题型

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第22练 关于平面向量数量积运算的三类经典题型题型一 平面向量数量积的基本运算例1 已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为切点,那么·的最小值为________.破题切入点 对于四边形OAPB中变化的量,可以是切线的长度、也可以是∠APB,这两个变化的量都可以独立地控制四边形OAPB.因此可以用这两个量中的一个来表示·;还可以建立平面直角坐标系,使问题数量化.答案 -3+2解析 方法一 设||=||=x,∠APB=θ,则tan=,从而cosθ==.·=||·||·cosθ=x2·===x2+1+-3≥2-3,当且仅当x2+1=,即x2=-1时取等号,故·的最小值为2-3.方法二 设∠APB=θ,0<θ<π,则||=||=.·=||||cosθ=()2cosθ-11-\n=·(1-2sin2)=.令x=sin2,0<x≤1,则·==2x+-3≥2-3,当且仅当2x=,即x=时取等号.故·的最小值为2-3.方法三 以O为坐标原点,建立平面直角坐标系xOy,则圆O的方程为x2+y2=1,设A(x1,y1),B(x1,-y1),P(x0,0),则·=(x1-x0,y1)·(x1-x0,-y1)=x-2x1x0+x-y.由OA⊥PA⇒·=(x1,y1)·(x1-x0,y1)=0⇒x-x1x0+y=0,又x+y=1,所以x1x0=1.从而·=x-2x1x0+x-y=x-2+x-(1-x)=2x+x-3≥2-3.故·的最小值为2-3.题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角例2 若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量b与a+b的夹角为________.破题切入点 先把向量模之间的关系平方之后转化为向量数量积之间的关系,然后分别求出所求向量的数量积与模,代入公式求解即可;也可利用向量的几何意义转化为三角形中的问题求解.答案 解析 方法一 由已知,得|a+b|=|a-b|,将等式两边分别平方,-11-\n整理可得a·b=0.①由已知,得|a+b|=2|a|,将等式两边分别平方,可得a2+b2+2a·b=4a2.②将①代入②,得b2=3a2,即|b|=|a|.而b·(a+b)=a·b+b2=b2,故cos〈b,a+b〉====.又〈b,a+b〉∈[0,π],所以〈b,a+b〉=.方法二 如图,作=a,=b,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则=a+b,=a-b.由|a+b|=|a-b|=2|a|,可得||=||=2||,所以平行四边形OACB是矩形,==a.从而||=2||.在Rt△BOC中,||==||,故cos∠BOC==,所以∠BOC=.-11-\n从而〈b,a+b〉=∠BOC=.题型三 利用数量积求向量的模例3 已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为________.破题切入点 建立平面直角坐标系,利用点坐标表示出各向量,或用向量的关系一一代换得出最简式,从而求出最小值.答案 5解析 方法一 以D为原点,分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设DC=a,DP=x.∴D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x),=(2,-x),=(1,a-x),∴+3=(5,3a-4x),|+3|2=25+(3a-4x)2≥25,∴|+3|的最小值为5.方法二 设=x(0<x<1),∴=(1-x),=-=-x,=+=(1-x)+,∴+3=+(3-4x),|+3|2=2+2××(3-4x)·+(3-4x)2·2=25+(3-4x)22≥25,∴|+3|的最小值为5.总结提高 (1)平面向量数量积的运算有两种形式:一是依据模和夹角,二是利用坐标运算,具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择,注意两向量a,b的数量积a·b与代数中a,b的乘积写法不同,不应该漏掉其中的“·”.(2)求向量的夹角时要注意:①向量的数量积不满足结合律,②-11-\n数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角.1.(2022·课标全国Ⅱ改编)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=________.答案 1解析 |a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=10,|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=6,将上面两式左右两边分别相减,得4a·b=4,∴a·b=1.2.(2022·四川改编)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=________.答案 2解析 因为a=(1,2),b=(4,2),所以c=ma+b=(m,2m)+(4,2)=(m+4,2m+2).根据题意可得=,所以=,解得m=2.3.(2022·江西)设e1,e2为单位向量,且e1,e2的夹角为,若a=e1+3e2,b=2e1,则向量a在b方向上的投影为________.答案 解析 a在b方向上的投影为|a|cos〈a,b〉=.∵a·b=(e1+3e2)·2e1=2e+6e1·e2=5.|b|=|2e1|=2.∴=.4.如图,在等腰直角△ABO中,OA=OB=1,C为AB上靠近点A的四等分点,过C作AB的垂线l,P为垂线上任一点,设=a,=b,=p,则p·(b-a)=________.答案 --11-\n解析 以OA,OB所在直线分别作为x轴,y轴,O为坐标原点建立平面直角坐标系,则A(1,0),B(0,1),C(,),直线l的方程为y-=x-,即x-y-=0.设P(x,x-),则p=(x,x-),而b-a=(-1,1),所以p·(b-a)=-x+(x-)=-.5.在平面上,⊥,||=||=1,=+.若||<,则||的取值范围是________.答案 (,]解析 由题意,知B1,B2在以O为圆心的单位圆上,点P在以O为圆心,为半径的圆的内部.又⊥,=+,所以点A在以B1B2为直径的圆上,当P与O点重合时,||取得最大值,当P在半径为的圆周上时,||取得最小值.6.(2022·江苏)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,·=2,则·的值是________.-11-\n答案 22解析 由=3,得==,=+=+,=-=+-=-.因为·=2,所以(+)·(-)=2,即2-·-2=2.又因为2=25,2=64,所以·=22.7.(2022·湖北)设向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),则实数λ=________.答案 ±3解析 由题意得,(a+λb)·(a-λb)=0,即a2-λ2b2=18-2λ2=0,解得λ=±3.8.设非零向量a,b的夹角为θ,记f(a,b)=acosθ-bsinθ.若e1,e2均为单位向量,且e1·e2=,则向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为________.答案 解析 由e1·e2=,可得cos〈e1,e2〉==,故〈e1,e2〉=,〈e2,-e1〉=π-〈e2,e1〉=.f(e1,e2)=e1cos-e2sin=e1-e2,f(e2,-e1)=e2cos-(-e1)sin=e1-e2.f(e1,e2)·f(e2,-e1)=(e1-e2)·(e1-e2)=-e1·e2=0,所以f(e1,e2)⊥f(e2,-e1).故向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为.9.在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足||=||=·=2,则点集{P|=λ+μ,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是________.答案 4解析 方法一 (坐标法)由||=||=·=2,可得∠AOB=.又A,B是定点,可设A(,1),B(0,2),P(x,y).由=λ+μ,可得⇒因为|λ|+|μ|≤1,-11-\n所以|x|+|-x|≤1.整理,得2|x|+|y-x|≤2.当x≥0,且y-x≥0时,不等式为x+y≤2;当x≥0,且y-x<0时,不等式为x-y≤2;当x<0,且y-x≥0时,不等式为x-y≥-2;当x<0,且y-x<0时,不等式为x+y≥-2.画出不等式所表示的可行域,如图中的阴影部分所示.求得E(0,2),F(-,-1),C(0,-2),D(,1).显然该平面区域是一个矩形,边长EF=2,ED=2,故该平面区域的面积S=EF×ED=4.方法二 (向量法)由||=||=·=2,知〈,〉=.当λ≥0,μ≥0,λ+μ=1时,在△OAB中,取=λ,过点C作CD∥OB交AB于点D,作OE∥AB交OB于点E,显然=λ+.由于==1-λ,所以=(1-λ).于是=λ+(1-λ)=λ+μ=.故当λ+μ=1时,点P在线段AB上.所以λ≥0,μ≥0,λ+μ≤1时,点P必在△OAB内(包括边界).考虑|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R的其他情形,点P构成的集合恰好是以AB为一边,以OA,OB为对角线一半的矩形,其面积S=4S△OAB=4××2×2sin=4.10.(2022·安徽)已知两个不相等的非零向量a,b,两组向量x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5均由2个a和3个b排列而成,记S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4+x5·y5,Smin表示S所有可能取值中的最小值,则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号).①S有5个不同的值;-11-\n②若a⊥b,则Smin与|a|无关;③若a∥b,则Smin与|b|无关;④若|b|>4|a|,则Smin>0;⑤若|b|=2|a|,Smin=8|a|2,则a与b的夹角为.答案 ②④解析 ∵xi,yi(i=1,2,3,4,5)均由2个a和3个b排列而成,∴S=xiyi,可能情况有以下三种:(1)S=2a2+3b2;(2)S=a2+2a·b+2b2;(3)S=4a·b+b2.∵2a2+3b2-(a2+2a·b+2b2)=a2+b2-2a·b=a2+b2-2|a||b|cosθ≥0,a2+2a·b+2b2-4a·b-b2=a2+b2-2a·b≥0,∴S的最小值为Smin=b2+4a·b.因此S最多有3个不同的值,故①不正确.当a⊥b时,S的最小值为Smin=b2与|a|无关,故②正确.当a∥b时,S的最小值为Smin=b2+4|a||b|或Smin=b2-4|a||b|与|b|有关,故③不正确.当|b|>4|a|时,Smin=b2+4|a||b|cosθ≥b2-4|a||b|=|b|(|b|-4|a|)>0,故④正确.当|b|=2|a|时,由Smin=b2+4a·b=8|a|2知,4a·b=4a2,即a·b=a2,∴|a||b|cosθ=a2,∴cosθ=,∴θ=,故⑤不正确.因此正确命题的编号为②④.11.已知向量a=(sinx,),b=(cosx,-1).(1)当a∥b时,求cos2x-sin2x的值;(2)设函数f(x)=2(a+b)·b,已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=,b=2,sinB=,求f(x)+4cos(2A+)(x∈[0,])的取值范围.解 (1)因为a∥b,所以cosx+sinx=0.所以tanx=-.故cos2x-sin2x===.(2)f(x)=2(a+b)·b-11-\n=2(sinx+cosx,-)·(cosx,-1)=sin2x+cos2x+=sin(2x+)+.由正弦定理,得=,所以sinA===.所以A=或A=.因为b>a,所以A=.所以f(x)+4cos(2A+)=sin(2x+)-.因为x∈[0,],所以2x+∈[,].所以-1≤f(x)+4cos(2A+)≤-.所以f(x)+4cos(2A+)的取值范围为[-1,-].12.在△ABC中,AC=10,过顶点C作AB的垂线,垂足为D,AD=5,且满足=.(1)求|-|;(2)存在实数t≥1,使得向量x=+t,y=t+,令k=x·y,求k的最小值.解 (1)由=,且A,B,D三点共线,可知||=||.又AD=5,所以DB=11.在Rt△ADC中,CD2=AC2-AD2=75,在Rt△BDC中,BC2=DB2+CD2=196,所以BC=14.所以|-|=||=14.(2)由(1),知||=16,||=10,||=14.由余弦定理,得cosA==.-11-\n由x=+t,y=t+,知k=x·y=(+t)·(t+)=t||2+(t2+1)·+t||2=256t+(t2+1)×16×10×+100t=80t2+356t+80.由二次函数的图象,可知该函数在[1,+∞)上单调递增,所以当t=1时,k取得最小值516.-11-

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发布时间:2022-08-26 00:16:19 页数:11
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文章作者:U-336598

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