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【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学 高考必会题型 专题4 三角函数与平面向量 第18练 三角函数化简与求值策略
【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学 高考必会题型 专题4 三角函数与平面向量 第18练 三角函数化简与求值策略
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第18练 三角函数化简与求值策略题型一 利用同角三角函数基本关系式化简与求值例1 已知tanα=2,求:(1)的值;(2)3sin2α+3sinαcosα-2cos2α的值.破题切入点 本题是关于正、余弦的齐次式,一般是同时除以余弦的相应次数,构造出关于该角的正切关系式,然后将正切值代入求解.解 (1)方法一 ∵tanα=2,∴cosα≠0,∴====.方法二 由tanα=2,得sinα=2cosα,代入得===.(2)3sin2α+3sinαcosα-2cos2α====.题型二 利用诱导公式化简与求值例2 (1)化简:;(2)求值:sin690°·sin150°+cos930°·cos(-570°)+tan120°·tan1050°.破题切入点 (1)利用诱导公式化成只含有角α的三角函数值,然后利用同角三角函数基本关系式求解.(2)利用诱导公式将各值化成锐角的三角函数值代入计算.解 (1)方法一 原式=-7-\n====-·=-1.方法二 原式====-1.(2)原式=sin(720°-30°)·sin(180°-30°)+cos(1080°-150°)·cos(720°-150°)+tan(180°-60°)·tan(1080°-30°)=-sin30°sin30°+cos150°cos150°+tan60°tan30°=-++1=.题型三 利用其他公式、代换等化简求值例3 (1)已知α是锐角,且=,求角α的值;(2)求值:tan20°+tan40°+tan20°tan40°.破题切入点 (1)利用平方差公式将分子展开,然后再利用二倍角公式将等号左边化成关于角α的某个三角函数,进而求出.(2)逆用两角和的正切公式.解 (1)∵=====-7-\n==tanα,∴由已知可得tanα=.又∵α是锐角,∴α=.(2)tan20°+tan40°+tan20°tan40°=tan60°(1-tan20°tan40°)+tan20°tan40°=tan60°-tan20°tan40°+tan20°tan40°=.总结提高 (1)三角函数的化简是指综合利用诱导公式、同角基本关系式、两角和与差的三角函数公式及二倍角公式,将较复杂的三角函数式进行化简,三角函数的求值问题要始终围绕“角”做文章.特殊角的相互转换,角的分解,角的合并等都在求值的过程中起着重要作用.(2)在运用同角三角函数关系及诱导公式时,要注意象限角对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系求三角函数值,在进行开方时要根据角的象限或范围判断符号.(3)三角化简与求值是三角函数的基础,常用的方法有:①弦切互化:主要利用公式tanx=进行弦切间的互化.②和积转换法:如利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化.③巧用1或其他数值的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan等.注意求值与化简后的结果要尽可能有理化,整式化.1.若sin(π+α)=-,则cosα=________.答案 ±解析 由sin(π+α)=-,得-sinα=-,即sinα=,∴cosα=±=±.2.设tanα,tanβ是方程x2-3x+2=0的两根,则tan(α+β)的值为________.答案 -3解析 tanα+tanβ=3,tanα×tanβ=2,所以tan(α+β)==-3.3.sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)·cos(110°-x)的值为________.答案 解析 sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)cos(110°-x)=sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)[-cos(70°+x)]=sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)sin(x-20°)-7-\n=sin(65°-x+x-20°)=sin45°=.4.的值是________.答案 解析 原式====sin30°=.5.若0<α<,-<β<0,cos=,cos=,则cos=________.答案 解析 ∵cos=,0<α<,∴sin=.又∵cos=,-<β<0,∴sin=,∴cos=cos=coscos+sinsin=×+×=.6.(2022·课标全国Ⅰ改编)设α∈(0,),β∈(0,),且tanα=,则2α-β=________.答案 解析 由tanα=得=,即sinαcosβ=cosα+cosαsinβ,∴sin(α-β)=cosα=sin(-α).∵α∈(0,),β∈(0,),-7-\n∴α-β∈(-,),-α∈(0,),∴由sin(α-β)=sin(-α),得α-β=-α,∴2α-β=.7.已知tanα=2,则的值为________.答案 解析 ===tanα+=.8.·的值为________.答案 1解析 原式=·=·=1.9.已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π),则tanθ=________.答案 -解析 方法一 因为sinθ+cosθ=,θ∈(0,π),所以(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=,所以sinθcosθ=-.由根与系数的关系,知sinθ,cosθ是方程x2-x-=0的两根,所以x1=,x2=-.又sinθcosθ=-<0,所以sinθ>0,cosθ<0.所以sinθ=,cosθ=-.所以tanθ==-.-7-\n方法二 同法一,得sinθcosθ=-,所以=-.齐次化切,得=-,即60tan2θ+169tanθ+60=0,解得tanθ=-或tanθ=-.又θ∈(0,π),sinθ+cosθ=>0,sinθcosθ=-<0.所以θ∈(,),所以tanθ=-.10.已知sinθ+cosθ=(0<θ<),则sinθ-cosθ的值为________.答案 -解析 ∵sinθ+cosθ=,∴(sinθ+cosθ)2=1+2cosθsinθ=,∴2cosθcosθ=,∴(sinθ-cosθ)2=1-=,又θ∈(0,),∴sinθ<cosθ,∴sinθ-cosθ=-.11.已知cosα=,cos(α-β)=,且0<β<α<.(1)求tan2α的值;(2)求β.解 (1)由cosα=,0<α<,得sinα===.∴tanα==×=4,于是tan2α===-.(2)由0<β<α<,得0<α-β<,-7-\n又∵cos(α-β)=,∴sin(α-β)===.由β=α-(α-β),得cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×+×=,∴β=.12.已知向量a=(3sinα,cosα),b=(2sinα,5sinα-4cosα),α∈(,2π),且a⊥b.(1)求tanα的值;(2)求cos(+)的值.解 (1)∵a⊥b,∴a·b=0.而a=(3sinα,cosα),b=(2sinα,5sinα-4cosα),∴a·b=6sin2α+5sinαcosα-4cos2α=0,∵cosα≠0,∴6tan2α+5tanα-4=0.解得tanα=-或tanα=.∵α∈(,2π),∴tanα<0,∴tanα=-.(2)∵α∈(,2π),∴∈(,π).由tanα=-,求得tan=-或tan=2(舍去).∴sin=,cos=-,∴cos(+)=coscos-sinsin=-×-×=-.-7-
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:16:20
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