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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第8章 第3节 空间图形的基本关系与公理(含解析)北师大版
【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第8章 第3节 空间图形的基本关系与公理(含解析)北师大版
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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第8章第3节空间图形的基本关系与公理北师大版一、选择题1.下列命题中,不是公理的是( )A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线[答案] A[解析] 由空间几何中的公理可知,仅有A不是公理,其余皆为公理.2.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过( )A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M[答案] D[解析] ∵ABγ,M∈AB,∴M∈γ.又α∩β=l,M∈l,∴M∈β.根据公理3可知,M在γ与β的交线上.同理可知,点C也在γ与β的交线上.3.设l是直线,α,β是两个不同的平面( )A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l∥α,l⊥β,则α⊥βC.若α⊥β,l⊥α,则l⊥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β[答案] B[解析] A选项中由l∥α,l∥β不能确定α与β的位置关系,C选项中由α⊥β,l⊥α可推出l∥β或lβ,D选项由α⊥β,l∥α不能确定l与β的位置关系.4.(文)已知a、b是异面直线,直线c∥直线a,则c与b( )A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线[答案] C[解析] a、b是异面直线,直线c∥直线A.因而c不与b平行,否则,若c∥b,则a∥-9-\nb,与已知矛盾,因而c不与b平行.(理)给出下列命题:①和一条直线都相交的两条直线在同一个平面内;②三条两两相交的直线在同一个平面内;③有三个不同公共点的两个平面重合;④两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3[答案] A[解析] 对于①两条直线可以异面;对于②三条直线若交于一点,则可以异面;对于③这三点若共线,则两平面可以相交;对于④两两平行的三条直线也可以在三个平面.5.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )A.若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊥α或n⊥βB.若m不垂直于α,则m不可能垂直于α内的无数条直线C.若α∩β=m,n∥m,且n⃘α,n⃘β,则n∥α且n∥βD.若α⊥β,m∥n,n⊥β,则m∥α[答案] C[解析] ∵n∥m,mα,n⃘α,∴n∥α,同理有n∥β,故C正确.6.(文)已知a,b是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,下列命题中:①若α∩β=a,β∩γ=b,且a∥b,则α∥γ;②若a,b相交,且都在α,β外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,则α∥β;③若α⊥β,α∩β=a,bβ,a⊥b,则b⊥α;④若aα,bα,l⊥a,l⊥b,则l⊥α.其中正确命题的序号是( )A.①②③B.①③C.②③D.①②③④[分析] 本题是研究直线与平面的平行与垂直关系的问题,解答时注意选择合适的图形来说明,还要能举出反例.[答案] C[解析] ①错误,三个平面可以两两相交且交线互相平行;④错误,a,b相交时结论才成立.-9-\n(理)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E、F分别是CC1,AD的中点,那么异面直线OE与FD1所成角的余弦值等于( )A. B. C. D.[答案] B[解析] 取C1D1的中点G,连OG,GE,易知∠GOE就是两直线OE与FD1所成的角或所成角的补角.在△GOE中由余弦定理知cos∠GOE===.二、填空题7.平面α、β相交,在α、β内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定________个平面.[答案] 1或4[解析] 若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行,则确定一个平面;否则确定四个平面.8.(文)已知a,b为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a,b在α上的射影有可能是:①两条平行直线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其外一点.在上面结论中,正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号).[答案] ①②④[解析] 只有当a∥b时,a,b在α上的射影才可能是同一条直线,故③错,其余都有可能.(理)对于空间三条直线,有下列四个条件:-9-\n①三条直线两两相交且不共点;②三条直线两两平行;③三条直线共点;④有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相交.其中,使三条直线共面的充分条件有________.[答案] ①④[解析] ①中两直线相交确定平面,则第三条直线在这个平面内;②中可有线和平面平行;③中直线最多可确定3个平面;④同①.9.空间四边形ABCD中,各边长均为1,若BD=1,则AC的取值范围是________.[答案] (0,)[解析] 如图①所示,△ABD与△BCD均为边长为1的正三角形,当△ABD与△CBD重合时,AC=0,将△ABD以BD为轴转动,到A,B,C,D四点共面时,AC=,如图②,故AC的取值范围是0<AC<.三、解答题10.如图,空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD上的点,请回答下列问题:(1)满足什么条件时,四边形EFGH为平行四边形?(2)满足什么条件时,四边形EFGH为矩形?(3)满足什么条件时,四边形EFGH为正方形?[分析] 四边形是平行四边形、矩形、正方形,首先转化为线线平行问题,而证线线平行或用平面几何的方法也可用公理4.[解析] 本题是一个开放性问题.(1)E、F、G、H为所在边的中点时,四边形EFGH为平行四边形.证明如下:-9-\n∵E、H分别是AB、AD的中点,∴EH∥BD,且EH=BD.同理,FG∥BD,且FG=BD,从而EH∥FG,且EH=FG,所以四边形EFGH为平行四边形.一般地===时四边形EFGH为平行四边形.(2)===且BD⊥AC时,四边形EFGH为矩形.(3)当E、F、G、H为所在边的中点且BD⊥AC,AC=BD时,四边形EFGH为正方形.[点评] 上述答案并不唯一,如当AEAB=AHAD=CFCB=CGCD时,四边形EFGH也为平行四边形.一、选择题1.(文)对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面α,使得( )A.aα,bαB.aα,b∥αC.a⊥α,b⊥αD.aα,b⊥α[答案] B[解析] a、b异面时,A错,C错;若D正确,则必有a⊥b,故排除A、C、D,选B.(理)一个正方体纸盒展开后如图,在原正方体纸盒中有下列结论:①AB⊥EF;②AB与CM成60°的角;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.其中正确的是( )A.①②B.③④C.②③D.①③[答案] D[解析] 如图,画出折叠后的正方体后,由正方体的性质知①③正确,故选D.-9-\n2.(文)如图是某个正方体的侧面展开图,l1,l2是两条侧面对角线,则在正方体中,l1与l2( )A.互相平行B.异面且互相垂直C.异面且夹角为D.相交且夹角为[答案] D[解析] 将侧面展开图还原成正方体如图所示,则B,C两点重合.故l1与l2相交,连接AD,△ABD为正三角形,所以l1与l2的夹角为.故选D.(理)(2022·安徽高考)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有( )A.24对B.30对C.48对D.60对[答案] C[解析] 解法1:先找出正方体一个面上的对角线与其余面对角线成60°角的对数,然后根据正方体六个面的特征计算总对数.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与面对角线AC成60°角的面对角线有B1C,BC1,C1D,CD1,A1D,AD1,A1B,AB1共8条,同理与BD成60°角的面对角线也有8条,因此一个面上的对角线与其相邻4个面的对角线,共组成16对,又正方体共有6个面,所有共有16×6=96对.因为每对都被计算了两次(例如计算与AC成60°角时,有AD1,计算与AD1成60°角时有AC,故AD1与AC这一对被计算了2次),因此共有×96=48对.解法2:间接法.正方体的面对角线共有12条,从中任取2条有C种取法,其中相互平行的有6对,相互垂直的有12对,∴共有C-6-12=48对.二、填空题3.已知线段AB、CD分别在两条异面直线上,M、N分别是线段AB、CD的中点,则MN________-9-\n(AC+BD)(填“>”,“<”或“=”).[答案] <[解析] 如图所示,四边形ABCD是空间四边形,而不是平面四边形,要想求MN与AB、CD的关系,必须将它们转化到平面来考虑.我们可以连接AD,取AD的中点为G,再连接MG、NG,在△ABD中,M、G分别是线段AB、AD的中点,则MG∥BD,且MG=BD,同理,在△ADC中,NG∥AC,且NG=AC,又根据三角形的三边关系知,MN<MG+NG,即MN<BD+AC=(AC+BD).4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱C1D1,C1C的中点.给出以下四个结论:①直线AM与直线C1C相交;②直线AM与直线BN平行;③直线AM与直线DD1异面;④直线BN与直线MB1异面.其中正确结论的序号为________.(注意:把你认为正确的结论序号都填上)[答案] ③④[解析] AM与C1C异面,故①错;AM与BN异面,故②错;③,④正确.三、解答题5.已知四棱锥P-ABCD以及其三视图如图所示,其中正视图和侧视图都是直角三角形,俯视图是矩形.(1)求此四棱锥的体积;(2)若E是PD的中点,求证:AE⊥平面PCD;(3)在(2)的条件下,若F是PC的中点,证明:直线AE和直线BF既不平行也不异面.[解析] (1)由题意可知,四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形,高h=2,所以此四棱锥的体积V=S·h=×4×2=.(2)由三视图可知,PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD,∴CD⊥PA,∵四边形ABCD是正方形,∴CD⊥AD.-9-\n又PA∩AD=A,PA平面PAD,AD平面PAD,∴CD⊥平面PAD,∵AE平面PAD,∴AE⊥CD.∵△PAD是等腰直角三角形,E是PD的中点,∴AE⊥PD.又PD∩CD=D,PD平面PCD,CD平面PCD,∴AE⊥平面PCD.(3)∵E,F分别是PD,PC的中点,∴EF∥CD且EF=CD,又∵CD∥AB且CD=AB,∴EF∥AB且EF=AB.∴四边形ABEF为梯形,AE,BF是梯形的两腰,∴AE与BF所在的直线必相交.即直线AE和直线BF既不平行也不异面.6.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2,∠PAB=60°.M是PD的中点.(1)证明:PB∥平面MAC;(2)证明:平面PAB⊥平面ABCD;(3)求四棱锥P-ABCD的体积.[解析] (1)证明:连接OM.∵M是PD中点,矩形ABCD中O为BD中点,∴OM∥PB.又OM平面MAC,PB⃘平面MAC,∴PB∥平面MAC.(2)证明:由题设知PA=2,AD=2,PD=2,有PA2+AD2=PD2,∴AD⊥PA.在矩形ABCD中,AD⊥AB.又PA∩AB=A,∴AD⊥平面PAB.∵AD平面ABCD,-9-\n∴平面PAB⊥平面ABCD.(3)解:过点P作PH⊥AB于点H.∵平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,∴PH⊥平面ABCD.在Rt△PHA中,PH=PAsin60°=2×=,VP-ABCD=AB×AD×PH=×3×2×=2.-9-
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:13:38
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